初升高中数学暑假衔接材料：第12讲共点力的平衡（培优讲义）（原卷版）

2/14第12讲共点力的平衡（培优讲义）课标要点课标要点1.理解共点力的概念，掌握共点力平衡的条件。2.能够运用正交分解法解决共点力平衡问题。3.掌握动态平衡问题的分析方法。4.理解整体法和隔离法在平衡问题中的应用。5.能够分析和解决实际生活中的平衡问题。1.通过受力分析，确定物体所受的共点力。2.通过平衡条件，建立方程求解未知量。3.通过正交分解，将复杂问题简化为两个方向的平衡问题。4.通过图解法，直观分析动态平衡问题。5.通过整体与隔离，选择最优解题策略。方法指导考点01共点力平衡的基本条件和方法知识点梳理1.1共点力的概念定义：几个力作用在物体的同一点，或它们的作用线相交于同一点特点：所有力可以平移到同一点进行分析判断方法：力的作用线是否相交于一点1.2共点力平衡的条件二力平衡：大小相等、方向相反、作用在同一直线上三力平衡：任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反多力平衡：所有力的矢量和为零数学表达：ΣF=0或ΣFₓ=0且ΣFᵧ=01.3平衡问题的解题方法合成法：将多个力合成，利用平衡条件求解分解法：将力分解到两个方向，分别应用平衡条件正交分解法：建立坐标系，分别在x轴和y轴方向列平衡方程图解法：通过力的矢量三角形分析力的变化1.4平衡问题的解题步骤确定研究对象，进行受力分析建立合适的坐标系（通常选择使尽可能多的力落在坐标轴上）将不在坐标轴上的力分解到坐标轴方向分别在x轴和y轴方向列平衡方程求解方程，验证结果的合理性【深化点拨】2.1三力汇交定理内容：当物体在三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点应用：判断未知力的方向证明：假设三个力不汇交，会产生力矩使物体转动，与平衡状态矛盾2.2平衡条件的矢量形式矢量和：F₁+F₂+F₃+...+Fₙ=0多边形法则：将各力首尾相接，构成封闭多边形三角形法则：三个共点力平衡时，构成封闭三角形2.3正交分解法的坐标系选择原则：尽量使更多的力落在坐标轴上，减少分解的力的个数一般选择：水平面问题：水平方向为x轴，竖直方向为y轴斜面问题：沿斜面方向为x轴，垂直斜面方向为y轴对称问题：选择对称轴为坐标轴1．（25-26高一下·浙江·阶段检测）茶农常用倾角可调的竹架晾晒茶青。如图所示，一竹匾放在倾角的竹架上，竹匾恰好能保持静止。不计空气作用力，下列说法正确的是（

）A．竹匾所受重力沿竹架向下的分力与竹架对竹匾的静摩擦力是一对相互作用力B．当时，竹匾仍能保持静止C．当时，竹架对竹匾的作用力竖直向上D．在静止的竹匾中放入茶青，竹匾一定沿竹架下滑2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）质量相等的两个小球A、B用三根轻质细绳按如图所示方式悬挂，绳AC与竖直方向的夹角为，绳AD水平，下列关于三根轻绳的拉力大小关系，正确的是（）A． B．C． D．考点02动态平衡和整体隔离法知识点梳理1.1动态平衡问题定义：物体在缓慢变化的力作用下始终处于平衡状态特点：每一时刻都满足平衡条件分析方法：图解法、解析法、相似三角形法1.2图解法分析动态平衡步骤：确定不变的力（通常是重力）确定变化的力的方向作力的矢量三角形分析力的变化趋势适用条件：一个力大小方向不变，另一个力方向不变，第三个力大小方向都变1.3整体法和隔离法整体法：将多个物体看作一个整体，分析整体受力隔离法：将某个物体单独隔离出来，分析其受力选择原则：求系统外力时用整体法求系统内力时用隔离法通常先整体后隔离1.4典型的动态平衡问题缓慢移动的物体逐渐增大的拉力缓慢转动的杆逐渐变化的角度【深化点拨】2.1动态平衡的临界条件临界状态：平衡即将被破坏的状态临界条件：摩擦力达到最大静摩擦力，或绳子拉力达到最大承受力分析方法：在临界状态下应用平衡条件2.2相似三角形法适用条件：力的矢量三角形与几何三角形相似步骤：作力的矢量三角形作几何三角形利用相似关系建立比例式求解未知量优点：避免复杂的三角函数运算2.3整体法与隔离法的综合应用"先整体后隔离"原则：①先用整体法分析系统外力②再用隔离法分析系统内力③对于连接体问题，通常需要联立方程④注意作用力与反作用力的关系3．（25-26高一下·湖北恩施·期中）如图所示，小明同学家装修了新房子，他打算给家里装一盆绿植，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于墙角，开始时OB绳水平，OA绳与竖直方向的夹角为。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至C点，此时OC与OA恰好垂直。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法中正确的是（）A．FOA与FOB的合力一直增大B．FOB一直减小C．FOB先减小，后增大D．FOA一直增大4．（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，细线一端固定在横梁上，另一端系着一个小球。给小球施加一力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角为θ，现保持θ不变，将F由图示位置逆时针缓慢转至与细线垂直的过程中。则下列说法正确的是（）A．F一直变小 B．F先变小后变大C．细线的拉力一直变大 D．细线的拉力先变小后变大共点力平衡的综合应用及解题步骤11.共点力平衡基本方法"三步法"：①受力分析：确定研究对象，画出受力示意图②建系分解：建立合适的坐标系，将力分解到坐标轴③列式求解：分别在x轴和y轴方向列平衡方程2.动态平衡问题技巧"图解分析法"：①确定不变的力（通常是重力）②确定变化的力的方向③作力的矢量三角形④分析力的变化趋势和极值3.整体与隔离法技巧"先整体后隔离"：①先用整体法分析系统外力②再用隔离法分析系统内力③对于连接体，注意内力与外力的关系④选择最简便的方法求解4.临界问题技巧"临界条件法"：①确定临界状态（如即将滑动、即将脱离等）②分析临界状态下的受力情况③应用平衡条件建立方程④求解临界值角度01静态平衡问题的基本计算1．（25-26高一下·浙江·期中）如图为一根筷子斜放在光滑的青花瓷碗里的剖面模型图，为方便研究可简单认为曲线是点为圆心的半圆，是水平直径，筷子的段的长度是半径的倍。已知筷子的质量为，碗面点提供的支持力是（）A． B． C． D．2．（2026·广东广州·二模）如图（a）是一款手机支架，其支撑面采用的特殊材料可与手机表面相互吸引。如图（b），若手机倾斜静置在支架上，则（）A．手机受到三个力作用B．支撑面对手机的支持力竖直向上C．支撑面对手机的摩擦力与支持力的合力竖直向上D．支撑面对手机的作用力大小等于手机的重力大小3．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）如图所示，物体A靠在竖直的墙面C上，在竖直向上的力F作用下，A、B物体均保持静止，则物体A受力分析正确的是（）A．只受三个力 B．可能受四个力C．受墙面施加的静摩擦力向上 D．受B施加的静摩擦力沿斜面向下角度02动态平衡问题的分析4．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）小明在假期中去野营，如图甲所示，他将吊床的拉索固定在两棵树等高的位置上，有时他躺在吊床上休息，有时又坐在吊床中点处看书。模型简化如图乙所示，两种状态下吊床的长度视为不变，小明均处于静止且未与地面接触，下列说法正确的是（

）A．小明躺着时受到吊床的合力小于坐着时受到吊床的合力B．小明躺或坐，拉索的拉力大小相等C．小明坐着时，拉索的拉力较大D．小明躺着时，拉索的拉力较大5．（25-26高一下·湖北恩施·期中）如图所示，小明同学家装修了新房子，他打算给家里装一盆绿植，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于墙角，开始时OB绳水平，OA绳与竖直方向的夹角为。现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至C点，此时OC与OA恰好垂直。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法中正确的是（）A．FOA与FOB的合力一直增大B．FOB一直减小C．FOB先减小，后增大D．FOA一直增大6．（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，细线一端固定在横梁上，另一端系着一个小球。给小球施加一力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角为θ，现保持θ不变，将F由图示位置逆时针缓慢转至与细线垂直的过程中。则下列说法正确的是（）A．F一直变小 B．F先变小后变大C．细线的拉力一直变大 D．细线的拉力先变小后变大角度03整体与隔离法在复杂问题中的应用7．（25-26高一下·贵州遵义·期中）质量相等的两个小球A、B用三根轻质细绳按如图所示方式悬挂，绳AC与竖直方向的夹角为，绳AD水平，下列关于三根轻绳的拉力大小关系，正确的是（）A． B．C． D．8．（25-26高一下·安徽·期中）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽静止在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力。小球半径远小于凹槽半径。若小球始终位于内壁最低点，凹槽始终保持静止，则下列说法中正确的是（

）A．小球一定受到凹槽给它的支持力B．凹槽对小球的支持力有可能小于小球对凹槽的压力C．地面与凹槽之间不存在摩擦力D．凹槽对地面的摩擦力方向水平向右9．（25-26高一下·浙江舟山·期中）如图所示，水平面上放置3个完全相同、紧靠在一起的质量均为m的半球，在它们上方放置1个圆球，质量为2m，它们的半径均为R，且球面光滑，球体密度均匀，而半球底部圆截面和水平面间的最大静摩擦力是正压力的2倍，整个系统处于静止状态，下列说法正确的是（）A．圆球受到3个力B．地面对每个半球的摩擦力为0C．地面对每个半球的支持力为D．适当增大半球间距离，在系统仍能静止时，地面对每个半球的摩擦力大小不变1．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）秧马是古代插秧时用的一种农具，苏轼用“日行千畦”形容其高效。如图，人抬脚跨坐在秧马上，与其一起向前减速滑行的过程中（

）A．秧马的加速度方向向后B．秧马受到秧田的摩擦力方向向前C．秧马对人的支持力和人对秧马的压力是一对平衡力D．秧马对人的支持力和人受到的重力是一对作用力与反作用力2．（2026·云南·高考真题）如图所示，两挂钩可沿固定水平横梁滑动到任意位置后锁定。一挎包质量为m，其轻质包带长度约为4d，a、b为包与包带的连接点，相距为d。将挎包悬挂在两挂钩上，两挂钩相距为x时，锁定挂钩。挎包静止时，a、b在同一水平直线上，包带的张力大小为FT，重力加速度为g，不计包带与挂钩之间的摩擦及两挂钩尺寸。能正确反映随x变化的图像是（）A． B．C． D．3．（2026·陕晋青宁卷·高考真题）我国科研人员利用仿生机器鱼研究湖泊生态，当仿生机器鱼在湖中匀速直线下潜时，它受到水的合力方向是（

）A．斜向下 B．竖直向下 C．斜向上 D．竖直向上4．（2025·贵州·高考真题）一不可伸长的轻绳跨过同一水平线上的定滑轮，中间两定滑轮的间距为，在绳中央固定有一轻质吊环，绳两端分别挂有质量均为的配重物，配重物静止在地面上且绳恰好伸直。如图，某同学在健身时把吊环竖直向下缓慢拉的距离后保持静止，已知重力加速度大小为，不计摩擦及滑轮大小，则静止时该同学对吊环的拉力大小为（）A． B． C． D．二、多选题5．（2026·湖南·高考真题）如图，某同学将两个相同的球形氦气球用等长的轻绳系在一起，拉着绳使气球随人一起做水平匀速运动。运动过程中，球心始终在绳的延长线上且球心连线水平，两绳所构成的平面与水平面的夹角为（），两球间的弹力为。气球受到空气阻力的大小与相对空气的速率成正比，空气始终相对于地面静止，忽略气球形状的变化。该同学沿原方向运动速度缓慢增大，下列说法正确的是（

）A．增大 B．减小 C．增大 D．减小1．（25-26高一下·浙江·阶段检测）茶农常用倾角可调的竹架晾晒茶青。如图所示，一竹匾放在倾角的竹架上，竹匾恰好能保持静止。不计空气作用力，下列说法正确的是（

）A．竹匾所受重力沿竹架向下的分力与竹架对竹匾的静摩擦力是一对相互作用力B．当时，竹匾仍能保持静止C．当时，竹架对竹匾的作用力竖直向上D．在静止的竹匾中放入茶青，竹匾一定沿竹架下滑2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图所示，粗糙地面上有一上表面光滑的斜面，斜面上有一个重力为100N的小球，被轻绳拴住悬挂在天花板上。已知绳子与竖直方向的夹角为45°，斜面倾角为37°，，整个装置处于静止状态。现用外力推斜面向右缓慢移动，移动过程中，绳拉力的最小值为（）A．60N B．100N C． D．80N3．（25-26高一下·山西运城·期中）如图所示，轻弹簧上端固定在天花板上，下端与轻弹簧的上端连接，轻弹簧的下端悬挂着质量为的重物，重物处于静止状态。重力加速度。轻弹簧的劲度系数为，两弹簧的总伸长量为，两弹簧均在弹性限度内，则轻弹簧的劲度系数为（）A． B． C． D．4．（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，弹性绳（满足胡克定律）穿过固定在点的光滑小环，一端系于点，另一端系于物块上，物块初始时刻静止在斜面上的点，斜面粗糙均匀；间距离刚好等于弹性绳的原长，垂直于斜面，。在沿斜面向下的外力图中未画出）的作用下物块从点缓慢运动到点，在运动过程中（）A．弹性绳上的弹力减小 B．力先增大后减小C．斜面对物块的支持力先增大后减小 D．物块受到斜面的摩擦力不变5．（25-26高二上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，一个质量为的滑块静止置于倾角为的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的点，另一端系在滑块上，轻弹簧与竖直方向的夹角为则（）A．弹簧一定处于压缩状态 B．滑块一定受到三个力作用C．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于 D．斜面对滑块的支持力大小可能为零6．（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）如图所示，某健身爱好者手拉着轻绳，在粗糙的水平地面上缓慢地移动，保持绳索始终平