2027届高考数学一轮总复习10.6二项分布与超几何分布（课件）

第六讲二项分布与超几何分布知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一二项分布1．n重伯努利试验只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果______

______.两个相互独立np

np(1－p)2．二项分布与超几何分布的比较归

纳

拓

展1．二项分布的适用范围及本质(1)适用范围①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；③随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．(2)本质：二项分布是有放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．2．超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数Y的概率分布．(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(

)[答案]

(1)√

(2)√

(3)×

(4)×题组二走进教材2．(选择性必修3P76T1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，X表示“正面向上”出现的次数，则P(X＝2)＝______，E(X)＝________.3．(选择性必修3P79T6改编)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)(

)[答案]

C5．(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望E(X)＝________.[答案]

0.6

3.2考点突破·互动探究n重伯努利试验——自主练透[答案]

A名师点拨：n重伯努利试验的判断及相应概率的求解策略1．符合n重伯努利试验必须满足的两个特征(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；(2)各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．【变式训练】(2026·江苏镇江期初测试)某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为________.二项分布——多维探究[答案]

C[答案]

8[引申]本例1中E(2X＋3)＝________，P(x≤2)＝________.角度2二项分布的实际应用(2025·福建连城一中月考)为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可拋掷骰子两次，若两次点数之和等于7，则获得5个积分；若点数之和不等于7，则获得2个积分．(1)记两次点数之和等于7为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件A，B是独立事件；(2)现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望．名师点拨：1．二项分布问题的解题关键(1)定型①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．注：有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np，求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．[答案]

AD(1)设甲3次点球的总得分为X，求X的概率分布列和数学期望；(2)求乙总得分为100分的概率．超几何分布——师生共研(2026·江苏苏州开学测试)2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行．(1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率；(2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中参加800米服务的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．名师点拨：1．超几何分布的特点(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)超几何分布是不放回抽样问题；(4)随机变量为抽取的某类个体的个数；(5)考查某类个体抽取个数X的概率分布．3．超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于随机变量正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题．【变式训练】(2026·江苏南京调研)袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为X，求P(X≥1)；(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为Y，求Y的分布列和数学期望．名师讲坛·素养提升二项分布与超几何分布的综合应用(2025·广东揭阳月考)某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元．(1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．名师点拨：二项分布、超几何分布的区别与联系区别二项分布超几何分布①有放回抽取(总体不改变)；②随机变量为n次试验中“抽到红球”的次数，其取值为0到n；③每一次试验是独立重复试验．概率运算依据的是n重伯努利试验的概率运算，只需要知道p即可.①不放回抽样(总体在变化)；②随机变量为抽取n个个体中含“红球”的个数，其取值要由具体问题定；③考察对象分为两类，且已知各类对象的个数．概率运算依据计数原理与古典概型的概率运算，且需知道N和M.联系当总体容量很大而抽取数很小时超几何分布可近似看作二项分布.(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；(2)设甲答对的题目个数为X，求X的分布列及数学期望；(3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，可知甲乙答对题目的均值是一样的，而甲的方差小于乙的方差，所以甲的发挥较稳定，所以可以选拔甲代表学校参加体验活动．提能训练练案[67]A组基础巩固一、单选题[答案]

A[答案]

C3．(2026·陕西汉中联考)某实验室有6只小白鼠，其中有3只测量过某项指标．若从这6只小白鼠中随机取出4只，则恰好有2只测量过该指标的概率为(

)[答案]

C4．(2025·广西示范性高中质检)甲同学每次投篮命中的概率为p，在投篮6次的实验中，命中次数X的均值为2.4，则X的方差为(

)A．1.24 B．1.44C．1.2 D．0.96[答案]

B[解析]

由题意得X服从二项分布，为X～P(6，p)，E(X)＝6p＝2.4，则p＝0.4，所以D(X)＝6p(1－p)＝1.44.故选B.[答案]

C6．(2025·四川统测)某班在一次以“弘扬伟大的抗疫精神，在抗疫中磨炼成长”为主题的班团活动中，拟在2名男生和4名女生这六名志愿者中随机选取3名志愿者分享在参加抗疫志愿者活动中的感悟，则所选取的3人中女生人数的均值为(

)[答案]

C[答案]

D[答案]

AC9．(2026·陕西渭南高级中学测试)某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查．已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则(

)[答案]

ACD三、填空题10.(2026·陕西西安西北工大附中适应性训练)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为“阳爻”和“阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是________.12．(2026·安徽六校教育研究会入学测试)一个袋中装有形状大小完全相同的6个球，其中2个红球，4个白球．从袋中有放回地取球，每次随机取1个记下颜色后放回，直到取出3次红球即停止，记X为4次之内(含4次)取到红球的次数，则X的数学期望E(X)＝________.14．(2026·河北十校联考)人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查(满分100分)，若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表：

男教师女教师总计优秀201030非优秀101020总计302050(1)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？(2)从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828B组能力提升

1．(多选题)(2025·云南、广西、贵州诊断性联考)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(

)[答案]

ACD2．(2025·福建莆田一中测试)如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左