北师大版（2024）八年级下册数学 暑假专题训练：三角形内角和定理（含答案）

北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形内角和定理一、选择题1.如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是()A.13°B.49°C.62°D.75°2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.110°3.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是()A.59°B.60°C.56°D.22°5.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为()A.110°B.120°C.130°D.140°6.如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是()A.40°B.50°C.60°D.70°7.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为()A.35°B.40°C.70°D.110°8.如图，在△ABC中，∠A的度数是()A.60°B.40°C.30°D.20°9.在下列条件中，可以确定△ABC是直角三角形的是()A.∠A+∠B+∠C＝180°B.∠A＝∠B＝∠CC.∠A＝∠C﹣∠BD.∠A＝∠B＝2∠C10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为()A.80°B.30°C.35°D.50°11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是()A.70°B.80°C.100°D.110°12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是()A.30°B.35°C.40°D.45°二、填空题13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为．14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为

．15.在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝

．16.如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝

．三、解答题18.阅读下列材料，并完成相应任务．(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是

，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是；(单选，将正确选项填入空格处)A．数形结合思想B．分类思想C．转化思想(2)将证法二补充完整．19.在小学我们通过观察、实验的方法得到“三角形的内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明确认他的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路，如图1，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：延长BC，过点C作CM//BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．(1)小明的证明过程依据有哪些？(写两条即可)

；

.(2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．20.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．21.如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数．22.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A．(1)求△ABC各内角的度数；(2)求∠ADB的度数．北师大版（2024）八年级下册暑假专题训练：三角形内角和定理（参考答案）一、选择题1.如图，一艘轮船在A处看见巡逻艇C在其北偏东62°的方向上，此时一艘客船在B处看见巡逻艇C在其北偏东13°的方向上．则此时在巡逻艇上看这两艘船的视角∠ACB的度数是()A.13°B.49°C.62°D.75°【答案】B【解析】由题意得，∠CAB＝90°﹣62°＝28°，∠ABC＝90°+13°＝103°，∴∠ACB＝180°−∠CAB﹣∠ABC＝49°．故选：B．2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.110°【答案】C【解析】∠ACB＝180°－30°－50°＝100°，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝50°，∠ADC＝180°－30°－50°＝100°.故选：C.3.已知在△ABC中，∠A﹣∠B＝30°，且∠C＝4∠B，则△ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】由∠A﹣∠B＝30°，可得出∠A＝∠B+30°，在△ABC中，∠A=∠B+30°,∠C=4∠B.利用三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=∠B+30°+∠B+4∠B=180°，解得∠B=25°，∠C=100°，结合∠C＝100°＞90°，可得出△ABC为钝角三角形．故选：C．4.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是()A.59°B.60°C.56°D.22°【答案】A【解析】∵BE为△ABC的高，∴∠AEB＝90°.∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，∴∠CAB＝62°，∵AF是角平分线，∴∠1＝∠CAB＝31°，在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．∴∠3＝∠EFA＝59°.故选：A．5.如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝100°，则∠BPC的度数为()A.110°B.120°C.130°D.140°【答案】D【解析】在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°，即∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠2+2∠4＝80°，∴∠2+∠4＝40°，在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4＝180°，∴∠BPC＝140°.故选：D．6.如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是()A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】B【解析】∵DE∥AB，∠BDE＝50°，∴∠ABD＝∠BDE＝50°，而BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝100°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°．故选：B．7.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，则∠A的度数为()A.35°B.40°C.70°D.110°【答案】B【解析】∵△ABC中∠A∶∠B∶∠C＝2:3:4，∴设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝4x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+3x+4x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝2x＝40°．故选：B．8.如图，在△ABC中，∠A的度数是()A.60°B.40°C.30°D.20°【答案】A【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+2x+4x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝3×20°＝60°．故选：A．9.在下列条件中，可以确定△ABC是直角三角形的是()A.∠A+∠B+∠C＝180°B.∠A＝∠B＝∠CC.∠A＝∠C﹣∠BD.∠A＝∠B＝2∠C【答案】C【解析】∠A+∠B+∠C＝180°，∠A，∠B，∠C的度数不确定，A不能确定△ABC是直角三角形；∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是等边三角形，B不能确定△ABC是直角三角形；由∠A=∠C﹣∠B得∠A+∠B＝∠C，根据三角形内角和定理得到∠C＝90°，C可以确定△ABC是直角三角形；∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是等腰三角形，D不能确定△ABC是直角三角形.故选：C．10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为()A.80°B.30°C.35°D.50°【答案】C【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝35°，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC＝35°.故选：C．11.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是()A.70°B.80°C.100°D.110°【答案】B【解析】∵AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，∴∠BAC＝2×30°＝60°，∵∠B＝40°，∴∠C＝180°－40°－60°＝80°.故选：B.12.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是()A.30°B.35°C.40°D.45°【答案】C【解析】如图，由题意得∠5＝180°﹣(∠1+∠2)＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣(∠3+∠4)＝180°﹣2∠3，∵∠α＝70°，∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，∵∠β＝180°﹣(∠5+∠6)∴∠β＝180°﹣(180°﹣2∠2+180°﹣2∠3)＝2(∠2+∠3)﹣180°＝2×110°﹣180°＝220°﹣180°＝40°．故选：C．二、填空题13.三角形三个内角度数之比为1:2:3，其中最大的角度数为．【答案】90°【解析】若三角形三个内角度数的比为1:2:3，设一个角是x度，则另两角分别是2x度，3x度．根据三角形内角和定理得到x+2x+3x＝180，解得x＝30．则最大的角是3x＝90．故答案为：90°．14.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，则∠BAC的度数为

．【答案】70°或30°【解析】如图1，∵AD为边BC上的高，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝50°+20°＝70°，如图2，∵AD为边BC上的高，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝50°﹣20°＝30°.故答案为：70°或30°．15.在△ABC中，∠A+∠B＝2∠C，则∠C＝

．【答案】60°【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝2∠C，∴3∠C＝180°，∴∠C＝60°．故答案为60°16.如图，某轮船上午8时在A处测得灯塔S在其北偏东60°的方向上，向东行驶至中午12时，在B处测得灯塔S在其北偏西30°的方向上(自己完成图形)，已知轮船行驶的速度为20km/h，则∠ASB＝________，AB的长为________km.【答案】90°；80【解析】由图可知，∠SAB＝90°－∠SAD＝90°－60°＝30°，∠SBA＝90°－∠SBC＝90°－30°＝60°，∴∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝180°－30°－60°＝90°，∴AB＝20×(12－8)＝80(km)．故答案为：90°；80.17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠BDC＝118°，则∠A＝

．【答案】56°【解析】由三角形内角和定理知∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝62°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACB＝2∠DCB，∴∠ABC+∠ACB＝2(∠DBC+∠DCB)＝124°，由三角形内角和定理知∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝180°﹣124°＝56°．故答案为：56°．三、解答题18.阅读下列材料，并完成相应任务．(1)证法一的思路是先用平行线的性质得到∠B＝∠1，∠C＝∠2，此处，括号内应填写的理由是

，再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是；(单选，将正确选项填入空格处)A．数形结合思想B．分类思想C．转化思想(2)将证法二补充完整．【答案】解：(1)两直线平行，内错角相等；转化思想．故答案为：C.(2)∵CN∥AB，∴∠A＝∠ACN，∠B＝∠NCM，∵∠ACB+∠ACN+∠NCM＝180°，∴∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°．19.在小学我们通过观察、实验的方法得到“三角形的内角和是180°”的结论．小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明确认他的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路，如图1，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．证明：延长BC，过点C作CM//BA．∴∠A＝∠1，∠B＝∠2．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°．(1)小明的证明过程依据有哪些？(写两条即可)

；

.(2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程．【答案】(1)解：延长BC，过点C作CM∥BA．∴∠A＝∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定义)，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°(等量代换)．故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；平角的定义；等量代换(写两条即可).(2)证