【练习卷】专题三：数列求和（8考点12考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期人教A版数学

第2页，共17页专题三：数列求和TOC\u\t"标题2,1,标题3,2,副标题,1"考点1：等差数列的判断与证明 1考法1：利用定义证明等差数列 1考点2：等比数列的判断与证明 1考法2：利用定义证明等比数列 1考点3：利用与的关系求通项 2考法3：已知与的关系求通项 2考点4：分组求和法 3考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和 3考法5：符号变化的数列并项求和 4考点5：裂项相消法 5考法6：形如的裂项相消 5考法7：形如的裂项相消 6考法8：形如的裂项相消 7考点6：错位相减法 7考法9：等差×等比的数列求和（错位相减） 7考点7：等比数列求和 9考法10：等比数列求和公式的应用 9考点8：数列求和的综合应用 10考法11：周期数列求和 10考法12：多种求和方法综合运用 10注意事项1.本试卷主要考查数列求和的多种方法，包括分组求和、裂项相消、错位相减等.2.请在答题时注意观察数列的通项特征，选择合适的求和方法.3.解答题请写出详细的推导和计算步骤.考点1：等差数列的判断与证明考法1：利用定义证明等差数列1.（解答）已知数列中，，且.求证：数列为等差数列.考点2：等比数列的判断与证明考法2：利用定义证明等比数列2.（解答）设为非零实数且，数列满足.判断数列是否为等比数列，若是，给出证明；若不是，说明理由.

考点3：利用与的关系求通项考法3：已知与的关系求通项3.（解答）记为数列的前项和，已知，且.（1）求；（2）在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）①是等比数列；②是等比数列.（3）记为数列的前项和，求.4.（解答）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和为.考点4：分组求和法考法4：将数列拆分为等差与等比分别求和5.（多选）已知数列，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（） A. B. C.有且仅有一个正整数，使得 D.存在无数个正整数，使得6.（解答）已知且，函数.设，为数列的前项和，当时，求.7.（解答）已知数列满足，记，求满足的所有正整数的值.8.（解答）已知数列的首项是1，求的前项和.9.（解答）已知数列的前项和为，且.若数列满足求的前项和.10.（解答）已知正项数列的前项和为，且满足，数列为公比大于0的等比数列，且，.若在与之间插入个1，由此构成一个新的数列，求的值.考法5：符号变化的数列并项求和11.（解答）已知等差数列的各项均为正数，且.若，且，求正整数的值.考点5：裂项相消法考法6：形如的裂项相消12.（多选）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（） A. B.是等差数列 C.为偶数 D.13.（填空）如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则＿＿＿＿＿＿，数列的前50项和为＿＿＿＿＿＿.14.（解答）已知数列满足，且.若数列满足，.求的前13项和.考法7：形如的裂项相消15.（解答）已知数列中，，，且数列为等差数列．记为数列的前项和，证明：．16.（解答）为数列的前项和，已知．设，求数列的前项和．17.（解答）已知等差数列满足.设，求数列的前项和.

18.（解答）已知数列的前项和为，若点都在函数的图象上，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证：.考法8：形如的裂项相消19.（填空）若数列满足，则数列前15项的和＿＿＿＿＿＿.20.（解答）已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列.已知，求数列的前项和.

考点6：错位相减法考法9：等差×等比的数列求和（错位相减）21.（解答）已知数列的前项和为，且.若，①证明：数列为等比数列；②求数列的前项和.22.（解答）已知是数列的前项和，.求数列的前项和.23.（解答）已知数列满足，，.若，求数列的前项和.

24.（解答）记为数列的前项和，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.25.（解答）已知：.在（1）的条件下（已知），数列满足.①设数列，求数列的前项和；②是否存在，对于任意满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.26.（解答）设为非零实数且，数列满足.设，求数列的前项和.考点7：等比数列求和考法10：等比数列求和公式的应用27.（解答）已知数列满足，数列满足.设，求满足不等式的所有正整数的值.考点8：数列求和的综合应用考法11：周期数列求和28.（填空）记数列的前项和为，且，则＿＿＿＿＿＿.考法12：多种求和方法