【解析卷】专题二：求数列的通项公式（4考点6考法）期末专项训练-2025-2026学年高二下学期人教A版数学

第2页，共17页专题二：求数列的通项公式（解析卷）TOC\u\t"标题2,1,标题3,2,副标题,1"考点1：由递推关系求通项——累加法 1考法1：形如an+1-an=f(n)考点2：由递推关系求通项——累乘法 3考法2：形如an+1an=f(n)的累乘法考点3：由递推关系求通项——构造法 4考法3：数列的周期性判断与应用 4考法4：形如an+1=pan+f(n)考点4：利用Sn与an的关系求通项 7考法5：已知Sn与n的关系求an 7考法6：已知Sn与an的关系求通项 812345BABA见解析6nn678910CBAC-见解析1112131415见解析见解析64见解析见解析1617181920见解析见解析CD见解析见解析2122232425见解析见解析见解析AABD考点1：由递推关系求通项——累加法考法1：形如an+1-1.（单选）【答案】B【解析】设该数列为{an}，则记bn=an可知{bn}是以1为首项，所以bn当n≥2==2当n=1时，1所以an当n=27时，故选B.【点拨】本题考查利用累加法求数列的通项公式.对于形如an+1-an=2.（多选）【答案】AB【解析】对于A，由an=n2则Δ2显然当M>2时，Δ2a对于B：由Δbn=(n当n≥2即bn于是2b两式相减得-b因此bn=n×2n-1，显然对于C：由bn所以数列{bn}是递增数列，则bn当0<M<1时，不存在n∈N对于D，Δ2bn=(n+显然数列1+4n是递减数列，且1<因此当M>5时，不存在n∈N*，使得Δ故选：AB.【点拨】本题考查了数列的新定义问题，涉及累加法求通项公式以及错位相减法的应用.在处理累加法时，要注意项数的对应关系，并在最后验证n=13.（单选）【答案】A【解析】由an+2+a所以数列{an+1-an}则an当n≥2=1当n=1时，a1=1因为2an⋅b则数列{bn}的前50项和为故选A.【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和.通过构造等差数列求出an+1-a考点2：由递推关系求通项——累乘法考法2：形如an+1a4.（解答）【答案】见解析【解析】解：（2）设{an}的公差为d，{bn}的公比为因为a1=b1=所以(1+2d)q=50(由于{bn}是各项都为正整数的等比数列，所以所以an=1因为bn=23n-所以dndn+两式相除得：dn+由d1=16，d1d所以d1,d3,d5,⋯是以d2,d4,d6,⋯是以d所以当n为奇数时，dn当n为偶数时，dn=所以{dn}的通项公式【点拨】本题考查了等差、等比数列的基本量计算，以及利用累乘法或奇偶项讨论求数列的通项公式.处理dndn+1=f5.（填空）【答案】6nn【解析】解：由于3a所以当n≥2时，有两式相减可得3anan+1=当n=1时，求得a2=6所以an由于λan≥4由于cn当n=4时，c4=c5，当n所以c1<c2<c3【点拨】本题考查了由递推关系求数列的通项公式以及数列的最值问题.通过作差法求出相邻两项的比值，再利用累乘法求出通项公式是解题的关键.考点3：由递推关系求通项——构造法考法3：数列的周期性判断与应用6.（单选）【答案】C【解析】由(1-an)(因为a1=2，所以a2=1+所以数列{an}是周期为则a1000故选C.【点拨】本题考查了由递推关系求数列的项.对于非线性的递推关系，通常通过计算前几项寻找数列的周期性，进而求出高次项的值.7.（单选）【答案】B【解析】由an+1=a因为a1所以a3=3-6=-3，a4=-所以数列{an}是周期为因为2025=所以a2025故选B.【点拨】本题考查了数列周期性的判断与应用.遇到an+2=an8.（多选）【答案】AC【解析】由an+1=1得a2=1a3=1所以数列{an}是周期为3因为a3>a4，所以{因为2025=675×3，所以a故选AC.【点拨】本题考查了由递推公式求数列的项及周期性.对于分式线性递推数列，常通过计算前几项寻找周期规律.9.（填空）【答案】-【解析】由a1=-1得a2=11-(-所以数列{an}是周期为因为100=所以a100【点拨】本题考查了数列周期性的应用.通过递推公式依次求出数列的前几项，发现周期为3是解题的关键.考法4：形如an+1=p10.（解答）【答案】见解析【解析】证明：（1）由an+1=3an+2因为bn=an2即bn+又b1所以数列{bn+1}是以32【点拨】本题考查了利用构造法证明等比数列.对于形如an+1=pan+qn11.（解答）【答案】见解析【解析】证明：（1）由an+1-3an=3因为bn=3-n又b1所以数列{bn}是以1为首项，13【点拨】本题考查了利用构造法证明等差数列.对于形如an+1=pan12.（解答）【答案】见解析【解析】证明：（2）在由正整数1,2,3①在递减数列n,n-1,⋯,1中任选一项的右边放n+②在由正整数1,2,3,⋯,n构成1阶相邻递增数列中，若只有第i项满足ai<ai+1，则将n+1放在故bn+所以bn+易知b1=0，则所以{bn+n+1}是首项为所以bn+n+1【点拨】本题考查了利用递推关系求数列通项公式以及排列组合的构造思想.通过分类讨论建立bn+1与b考点4：利用Sn与an的关系求通项考法5：已知Sn与n的关系求an13.（填空）【答案】64【解析】当n=1时，当n≥2时，当n=1时，a1=2因为p+所以ap当且仅当p=q=所以ap+aq【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式，以及基本不等式求最值.注意在求通项公式时，必须检验n=1的情况是否符合14.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）由题意知3n-1所以Sn=当n=1时，a当n≥2时，a=3n-当n=1时，故an=【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式.在利用an=Sn-15.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）当n=1时，a当n≥2时，a=12=12当n=1时，a所以数列{an}的通项公式为【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式.熟练掌握并运用公式an考法6：已知Sn与an的关系求通项16.（解答）【答案】见解析【解析】证明：（1）由an+Sn=1当n=1时，a1+S1=1当n≥2时，a整理得2an=an又a1所以数列{an}是以12为首项，1【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系证明等比数列.遇到含有Sn与an的混合关系式时，通常利用Sn-Sn-117.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）由2Sn当n≥2时，2Sn-1①-②得：2Sn即2an整理得2an-1=所以an=n+【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式.通过写出第n-1项的关系式并作差，是消去18.（多选）【答案】CD【解析】已知an+1=a1由an+1=可得an+2-当n=1时，a3=2a2，即数列{an=1S2=a当n=1时，当n≥2,n∈N故选：CD.【点拨】本题考查了由Sn与an的关系求通项公式及前n项和.通过作差法找到an19.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）由an2可得an+12+a由②-①得an即an+∵an>∴an又当n=1时，得a12+a1=2S可得数列{an}是首项为2即an=【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式.20.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）因为Snn+n=an+1当n≥2时，Sn-1+(①-②得：Sn-所以an所以2(所以an-因为a1=1，所以{an}所以an=【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式.先将分式化为整式，再利用作差法消去S21.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）当n=1时，且an>0当n≥2时，两式相减得2an即(a∵an>0∴an∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以设数列{bn}的公比为q(即b1q=3b所以bn=【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式以及等比数列的基本运算.22.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）当n=1时，且2a1=当n≥2时，两式相减得2an-2a所以{an}是以2为首项，所以an=【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式.直接写出第n-23.（解答）【答案】见解析【解析】解：（1）因为Sn所以an+即an所以an+所以{an}设公差为d，又a1=1解得d=1所以an=【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式.将Sn+2-24.（单选）【答案】A【解析】由1a当n=1时，1a1当n≥2时，1nan=4n2n所以4nλ≤4nan+37因为n+9n≥2所以λ的最大值为6.故选A.【点拨】本题考查了利用Sn与an的关系求通项公式，以及基本不等式求最值.构造新数列的前n25.（多选）【答案】ABD【解析】因为