2026年河北省中考数学试卷（含答案及解析）

数学试卷第1页（共8页）后附后附试卷扫描版2026年河北省初中学业水平考试（九年级）数学试卷注意事项：1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置.3.所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.4.答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题.5.考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）1.计算：a+a+b+b＝A.2ab B.2a+2bC.a2b2 2.如图1，点P在直线AB外，点C是直线AB上的动点，则∠1与∠2的关系一定成立的是A.∠1＞∠2 B.∠1＝3∠2C.∠1－∠2＝90° D.∠1+∠2＝180°3.A.5 B.5C.56 D.654.河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图2－1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2－2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是A.三角形 B.矩形C.半圆 D.菱形数学试卷第2页（共8页）5.嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色.如图3，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类.用6g红色颜料和4g黄色颜料调配出的颜色属于A.①类B.②类C.③类D.④类6A.x－1xC.（x－17.如图4，将一个边长为a的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则a的值为A.6 B.8C.12 D.168.掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为n的概率相等，则n＝A.3 B.4C.11 D.129.如图5，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，过点A作AE∥DC交BC于点E，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E.B′A，B′E分别与直线DC交于M，N两点，则△MB′N与△ABE的面积之比为A.12 B.13C.14 D. 数学试卷第3页（共8页）10.如图6，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在AC上.若∠CBO＝n°，则∠ADC＝A.9B.18C.19D.2n°11.平面直角坐标系中有A（1，n），B（m，6），C（m，n）三点.若直线AB经过原点，则点C一定在A.函数y＝16x的图象上 BC.函数y＝－x+5的图象上 D.函数y＝6x的图象上12.如图7，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m，n，则m－n＝A.18 B.C.12 D.0二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.计算：4－（－6）＝.14.某楼梯装有护栏，其侧面如图8所示.其中AB∥CD，BD⊥DE于点D，AC⊥DE于点E，若∠BAC＝60°，AB＝4m，则CE＝m.15.已知关于x的一元二次方程x2+14则m＝.16.一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地.该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A.若图9中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为百元.数学试卷第4页（共8页）三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分7分）（1）解方程：3x＝12+x;（18.（本小题满分8分）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：9＝＝100×96+4＝9604.（1）证明a2＝a+b（2）计算：﹣19.（本小题满分8分）（1）尺规作图：如图10－1，在△ABC中，作出AB边的垂直平分线l；（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图10－2，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，点D在BC边上，且DA＝DB.若AC＝6，BC＝9，求线段CD的长.数学试卷第5页（共8页）20.（本小题满分8分）为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动.在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长t（单位：h）并提交.（计算方法：t＝家长一周家务劳动时间总和收集数据淇淇随机抽取了40名同学提交的数据，如下：3.6 2.1 1.9 3.2 2.4 3.1 2.0 2.6 1.9 3.21.3 2.8 2.9 1.4 2.1 2.5 1.7 3.5 2.6 2.62.3 3.7 2.7 1.9 3.3 2.0 2.6 2.0 1.6 2.83.4 2.5 2.1 2.2 1.8 2.4 3.0 2.5 3.5 2.3整理数据淇淇将数据适当分组后，绘制了如图11所示的不完整的频数直方图.分析数据（1）①补全上面的频数直方图；估计全校学生提交的数据中，t＞2.25的占比为%.②把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替（如1.25~1.75的中间值为1.5），并利用图中信息，计算这40名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数ī.（2）资料显示，我国6周岁以上居民的日均家务劳动时长约为1.28h，淇淇发现7与之相比有明显差异，请结合统计知识分析原因.（写出一条即可）数学试卷第6页（共8页）21.（本小题满分9分）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告，主题求生活中的圆弧长研究内容本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图12－1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求PQ的长l.工具软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等研究方案与实践成果方案一方案二方案三用软尺直接测量PQ的长.测量数据：第一次6.36m第二次6.32m用测角仪测角，利用弧长公式计算PQ的长.测量数据：∠POQ≈36°查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图测量数据：PQ≈6.20mMN≈0.50m取两次测量结果的平均数，则l＝6.34m.利用弧长公式，……根据“会圆术”，……反思应用①方案一可通过的方法减少误差；②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图12－2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长lπ和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出.计算过程如下：……请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：（1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）（2）分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算PQ的长l：（3）求图12－2中弧长l和圆心角∠AEB.（π取3.1）数学试卷第7页（共8页）22.（本小题满分9分）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时t（分钟）的模型：t＝l1+l2.其中，t1＝kx（k为常数），x（千米）表示登山路线的长度；t2（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间）（1）①求k，h的值;②计算路线3的长度.（2）已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图13所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）.若该登山爱好者从B出发到山顶M的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶M的预估用时.23.（本小题满分11分）如图14，二次函数y＝（x－t）（x－3t）（其中t＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为P.将点B绕点A顺时针旋转90∘（1）若t＝1，求直线PD的函数表达式，并判断点C关于二次函数图象对称轴的对称点C′是否在直线PD上：（2）当3≤x≤6时，二次函数的最大值为9，求t的值；（3）连接OP，当点D不在直线OP上时，过点D作直线DE‖OP交y轴于点E（0，m），请直接写出m24.（本小题满分12分）如图15－1和图15－2，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，，正方形DEFG的顶点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，CA上.当点D从点B出发沿BA向点A移动时，点E，F随之分别在BC，CA上移动（正方形DEFG的大小发生变化），当点F与点C重合时，移动停止.（1）tan∠ABC＝.（2）如图15－1，当.∠BED＝45∘（3）①如图15－2，当BD＝207②当BE＝407时，直接写出正方形（4）在移动过程中，每当点G移动1个单位长度时，点E均移动d个单位长度，直接写出d的值.双击打开原卷扫描版：数学试卷第8页（共8页）2026年河北省初中学业水平考试（九年级）数学试卷参考答案及解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意）题号123456789101112答案BDADCABDCCBB答案解析1.B【详解】解:a+a+b+b＝2a+2B.2.D【详解】解：∵点C是直线AB上的点，∴∠ACB是平角,即.∠ACB由图可知，∠1与∠2组成了平角∠ACB，∴∠3.A【详解】解：4.D【解析】【分析】根据三视图的定义，分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图形状，即可得出结论.【详解】解：该几何体上部是圆锥，中部是半球，下部是圆柱∴圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形∴这个几何体的主视图中出现的图形有三角形、半圆、矩形，没有菱形.5.C【解析】【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断.【详解】解：∵红色颜料质量为6g，黄色颜料质量为4g∴调配出的颜料总质量为6+4＝10(g)∴∵50%＜60%＜75%∴该颜色属于③类.6.A【解析】【详解】解：7.B【解析】【分析】根据图形切割的特点，每切一刀，总周长增加两个切线长度，据此建立方程求解即可.【详解】解：根据题意可知正方形的边长为a，由图可知，将正方形分成6个全等矩形，需要横向切2刀，纵向切1刀，∵每切一刀，周长之和增加2a，∴6个矩形的周长之和比原正方形周长多2a·(2+1)＝6a，∵6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，∴6a＝48,解得:a＝8.8.D【解析】【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解.【详解】解：列表如下：123|5623467345|784568956791067810117891112∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有6·6＝36种，点数之和为2的结果只有1种，∴对各选项逐一验证：当当当当∴n9.C【解析】【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形，得到AD＝EC，推出BE＝2EC，由折叠得，BE＝B'E,SVABE＝SVAB'E,∠BEA＝∠B'EA,得到EN＝B'N＝12B'E,证明【详解】解:∵ADPBC,AEPDC∴四边形AECD是平行四边形∴AD＝EC∴BC＝3AD＝3EC＝BE+EC∴BE＝2EC由折叠得，∵AEPDC∴∠ENC＝∠B'EA,∠BEA＝∠C∴∠ENC＝∠C∴EN＝EC∴BE＝BE＝2EN∴EN∵AEPDC∴∠B'MN＝∠B'AE,∠B'NM＝∠B'EA∴VB'MN∽VB'AE∴∴10.C【解析】【分析】如图,连接CO并延长交eO于点E,连接AE,首先利用等边对等角得到∠OCB＝∠CBO＝r°,然后利用三角形内角和定理求出∠BOC＝180°-∠B-∠OCB＝180°-2rf,然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可.【详解】解：如图，连接CO并延长交eO于点E，连接AE∵OB＝OC∴∠OCB＝∠CBO＝r°∴∠BOC＝180°-∠B-∠OCB＝180°-2rf∴∠AOC＝∠AOB-∠BOC＝150°-(180°-2n°)＝2n°-30°∴∠E∴∠ADC11.B【解析】【分析】先根据直线AB过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到m与n的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式.【详解】解：∵直线AB经过原点，∴设直线AB的解析式为y＝kx，把A(1,n)代入解析式得n＝k·1,即k＝n,∴直线AB的解析式为y＝nx，把B(m6)代入y＝nx得6＝n·m,即mn＝6,∵点C的坐标为(mn),∴点C横纵坐标的乘积为m·n＝6，对函数y＝6x变形可得xy＝∴点C一定在函数y＝12.B【解析】【分析】首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为I1:y＝3x,I2:y＝3x-3,I3:y【详解】解：如图，过点B作BJPx轴交直线l₁于点J，过点F作EF∥x轴交直线l₁于点E，∵CD∥x轴,GHPx轴,∴CDPBJ,GH∥EF,由图可知,l₁过(0,0),(1,3);l₂过(1,0),(2,3);l₃过(0,3),(3,2);l₄过(0,2),(3,1),设l₁的直线解析式为，y＝ax(a≠0),将(1，3)代入上式，则a＝3,∴l₁的直线解析式为.y＝3x;同理可得另外三条直线的解析式分别为：∵直线l₁与I2的斜率均为3∴∴四边形JBDC,EFHG是平行四边形,当y＝1时,1＝3x,解得x＝13当y＝1时,1＝3x-3,解得x＝43当y＝2时,2＝3x,解得x＝23当y＝2时,2＝3x-3,解得x＝53∴GH＝BC＝1,联立l₂与l₃得:3x-3＝-13x+3,解得:x＝1.8,则y＝2.4,∴B(1.8联立l₁与l₃得:3x＝-13x+3,解得:x＝0.9,则y＝2.7,∴A(0.9联立l₂与l₄得:3x-3＝-13x+2,解得:x＝1.5,则y＝1.5,∴F(1.5联立l₁与l₄得:3x＝-13x+2,解得:x＝0.6,则y＝1.8,∴/(0.6∴阴影部分n的面积：＝阴影部分m的面积：＝∴m-n二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.计算:4-【答案】10【解析】【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题的关键.根据减去一个数等于加上它的相反数将减法变加法计算即可.【详解】解:4-(-6)＝4+6＝10,故答案为：10.14.某楼梯装有护栏,其侧面如图所示.其中ABPCD,BD⊥DE于点D,AC⊥DE于点E,若∠BAC＝60°,AB＝4m,则CE＝m.【答案】2【解析】【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得BDPAC，结合已知ABPCD可判定四边形ABDC为平行四边形，从而得出CD＝AB；利用平行线的性质得出∠DCE＝∠BAC，最后在RtVCDE中利用三角函数求解CE的长，即可求解.【详解】解:∵BD⊥DE,AC⊥DE,∴BD∥AC,又∵AB∥CD,∴四边形ABDC是平行四边形，∴CD＝AB＝4m,∵AB∥CD,∴∠DCE＝∠BAC＝60°,在RtVCDE中,∠CED＝90°,∠DCE＝60°,∴CE15.已知关于x的一元二次方程x2+14x+m【答案】【解析】【分析】设方程的两根分别为t和t²，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解t的值，再计算m，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可.【详解】解：设一元二次方程x2+14x+m根据根与系数的关系可得整理t+t2＝-14解得t将t＝-12代入验证判别式：16.一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地.该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如A→D→B→C→A.若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用(单位：百元)，则此次旅游的交通费用最少为百元.【答案】21【解析】【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值.【详解】解：根据题意，从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案：方案一:路线为A→B→C→D→A,交通费用为:3+5+7+6＝21(百元);方案二:路线为A→B→D→C→A,交通费用为:3+8+7+4＝22:22(百元);方案三:路线为A→C→B→D→A,交通费用为:4+5+8+6＝23(百元);方案四:路线为A→C→D→B→A,交通费用为:4+7+8+3＝22(百元);方案五∶路线为A→D→B→C→A,交通费用为:(6+8+5+4＝23(百元);方案六:路线为A→D→C→B→A,交通费用为:(6+7+5+3＝21(百元);因为21＜22＜23,所以此次旅游的交通费用最少为21百元.三、解答题(本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.解方程、解不等式：(1)3x＝12+x;2【答案】(1)x＝6(2)x＞5【解析】【小问1详解】解：3x＝12+X,移项,得3x-x＝12合并同类项,得2x＝12,系数化为1,得x＝6;【小问2详解】解：去分母，得2(x-3)＞x-1,去括号,得2x-6＞x-1,移项，得2x-X＞-1+6,合并同类项，得x＞5.18.用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：9＝＝＝9604.(1)证明a2＝a+b(2)计算:(-105【答案】(1)证明：∵右边＝a+ba-b+9(2)11025【解析】【小问1详解】证明见答案解：9＝(99+1)·(99-1)+1＝100·98+1＝9800+1＝9801;【小问2详解】解：-105＝＝＝11000+25＝11025.19.按要求解答下列问题：(1)尺规作图：如图1，在VABC中，作出AB边的垂直平分线/；(保留作图痕迹，不写作法)(2)如图2,在VABC中,∠BAC＝2∠B,点D在BC边上，且.DA＝DB.若AC＝6,BC＝9,求线段【答案】(1)如图1，直线/即为所求；【解析】【分析】(1)根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；(2)根据等边对等角以及三角形的外角性质证明.∠BAC＝∠CDA,，即可证明【小问1详解】略【小问2详解】解:∵DA＝DB∴∠B＝∠BAD∴∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B∵∠BAC＝2∠B∴∠BAC＝∠CDA∵∠C＝∠C∴△CDA∽△CAB∵AC＝6,BC＝9∴∴解得CD＝4.20.（1）①第一组1.