第十一变分法

第十一变分法演示文稿1第1页，共57页。2优选第十一变分法第2页，共57页。§11-1弹性体的形变势能一变形比能能量原理与变分法应变余能密度设弹性体只在x方向受有均匀的正压力，相应的线应变为，弹性体的应变能密度或比能：第3页，共57页。在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量，根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及形变的最终大小。全部的应变能密度为能量原理与变分法形变势能为比能用应变分量表示第4页，共57页。比能用应变分量表示其中在所有的形变分量都等于零的情况下，形变势能才等于零，相应于任何形变，形变势能都是正的。第5页，共57页。因此，我们有比能对应变分量的偏导能量原理与变分法第6页，共57页。应变余能对应力分量的偏导二形变势能由于应力分量和形变分量，进而比能都是位置坐标的函数，所以整个弹性体的形变势能为：将比能的三种表达形式代入，得形变势能的三种积分形式能量原理与变分法第7页，共57页。将几何方程代入，形变势能还可用位移分量来表示能量原理与变分法第8页，共57页。一变分及其性质高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的增量。那么什么是变分呢？变分是函数的增量，通常用δ表示。变分具有以下的性质：

§11-2位移变分方程能量原理与变分法第9页，共57页。二位移变分方程设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。现在假设位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变（虚位移）δu、δv、δw，这时外力在虚位移上作虚功应和变形能的增加相等，即这个方程就是所谓位移变分方程。其中

为体力分量，为面力分量。能量原理与变分法第10页，共57页。三虚功方程能量原理与变分法代入位移形变方程——虚功方程第11页，共57页。四最小势能原理由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中，外力的大小和方向可以当做保持不变，只是作用点有了改变。利用变分的性质，位移变分方程可改写为：设外力势能为则该式的意义是：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能为最小。如果考虑二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又称为极小势能原理。能量原理与变分法第12页，共57页。显然，实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足位移表示的平衡方程和应力边界条件；现在又看到，实际存在的位移，除了满足位移边界条件外，还满足位移变分方程。而且，通过运算，还可以从位移变分方程导出用位移表示的平衡微分方程和应力边界条件。于是可见：位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。能量原理与变分法五伽辽金变分方程形变分量的变分为形变势能的变分为第13页，共57页。将应变能密度看做形变分量的函数，则能量原理与变分法应用奥高公式，对上式中的第一项，我们有第14页，共57页。能量原理与变分法对于其余各项也进行同样的处理，则代入位移变分方程，在受约束的边界上，位移变分若应力边界条件也满足整理后可得——伽辽金变分方程第15页，共57页。已知如图所示的悬臂梁，其跨度为l,抗弯刚度为EI,在自由端受集中载荷P的作用，试用最小势能原理求最大挠度值扭转第16页，共57页。扭转解：(1)设梁的挠度曲线为

第17页，共57页。应用最小势能原理扭转第18页，共57页。

§11-3位移变分法先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式，其中包含若干个待定的系数，再根据极小势能原理，决定这些系数。取位移分量的表达式如下：一里茨法能量原理与变分法其中

为设定的函数，它们的边界值等于边界上的已知位移；为边界值等于零的设定函数，Am、Bm、Cm为待定的系数，位移的变分由它们的变分来实现。位移分量的变分是第19页，共57页。形变势能的变分为外力势能的变分为能量原理与变分法代入第20页，共57页。上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。这种方法称为里茨法。能量原理与变分法第21页，共57页。二伽辽金法能量原理与变分法将代入伽辽金变分方程，可得第22页，共57页。由于的任意性，它们的系数应当分别为零于是得将上列三方程中的应力分量通过物理方程用形变分量表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化后即得：能量原理与变分法第23页，共57页。这样就得到位移函数待定常数的线性方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。这种方法称为伽辽金法。要注意的是：用位移变分法求位移分量，只须取几项就可达到较高的精度，然而由此求出的应力却很不精确。为了求得的应力充分精确，必须取更多的项。能量原理与变分法第24页，共57页。两端简支的等截面梁，受均布荷载q作用，试求挠度解一用里茨法求解(1)

设满足位移边界条件的挠度函数（2）求总势能，求扭转第25页，共57页。析若只取一项时，最大挠度及弯矩分别为

与精确解（）相比，误差只有0．38％，与精确解（）相比，误差为3．21％。由此可见，位移变分法所求得的内力要比位移的收敛性差，误差也大。扭转第26页，共57页。扭转第27页，共57页。

误差仅为扭转第28页，共57页。与精确解相比，误差仅为

扭转第29页，共57页。(2)用伽辽金法解,设代入平衡方程

代入伽辽金方法的积分式中，得当时，得当时，得扭转第30页，共57页。将位移变分法应用于平面问题，瑞次法和伽辽金法都将得到简化。由于两种平面问题都不必考虑z方向的位移w

，且u和v

都不随坐标z

而变，所以位移分量的表达式可设为在z方向取一个单位长度形变势能用位移分量表示形式简化如下，平面应变问题能量原理与变分法

§11-4位移变分法应用于平面问题平面应力问题第31页，共57页。在采用伽辽金法时，对于平面应变问题，要应用如下二式来求解线性方程组20能量原理与变分法采用里茨法时，z方向取一个单位长度，且所有变量都不随z变化第32页，共57页。对于平面应力问题，要求解的方程组如以下二式形式伽辽金方法的计算工作量较小，但对位移函数的要求较高，除了要求满足位移边界条件外，还要求根据位移函数求得的应力应满足应力边界条件。在特殊情况，如仅有位移边界，而无应力边界，这也表示着应力边界条件得到满足，这时用伽辽金方法十分方便。瑞次法的要点是要找到满足全部边界条件的位移函数，而这种函数一般仍然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以瑞次方法的应用在这一点上受到极大的限制。能量原理与变分法第33页，共57页。能量原理与变分法解：（1）设置位移函数为如图所示的薄板，不计体力，求薄板的位移因为边界上没有不等于零的已知位所以式(11-14)中的都取为零，显然，不论（a）式中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用里茨法求解。(a)（2）计算形变势能。为简便起见，只取两个系数。

第34页，共57页。能量原理与变分法在平面应力状态下，代入（11－13）式，可得（3）确定系数和，求出位移解答

因为不计体力（），且注意到，式(11-15)简化为第35页，共57页。23能量原理与变分法在薄板的右边界上有在薄板的上边界上有第36页，共57页。能量原理与变分法第37页，共57页。例2：如图所示，宽为2a而高度为b的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为不计体力，试求薄板的位移和应力。解：取坐标轴如图所示。设位移分量为能量原理与变分法第38页，共57页。可以满足位移边界条件，即在该问题中，并没有应力边界条件，因此可以认为所设位移既然满足了位移边界条件，也就满足了全部边界条件，这就可以应用伽辽金法求解，使数学运算比较简单一些。能量原理与变分法注意体力

，伽辽金方程成为第39页，共57页。将位移分量的各二阶导数以及代入伽辽金方程，进行积分并求解得能量原理与变分法第40页，共57页。为简单起见，取b=a而µ=0.2，将A1和B1代入所设位移函数得应用几何方程及物理方程，可有上式求得应力分量能量原理与变分法第41页，共57页。

§11-5应力变分方程设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命σij为实际存在的应力分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程。现在，假想体力不变,而应力分量发生了微小的变化δσij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为σij+δσij

，设它们只满足平衡微分方程和应力边界条件。一应力变分方程既然两组应力分量都满足同样体力作用下的平衡微分方程，应力分量的变分必然满足无体力时的平衡方程和应力边界条件，即能量原理与变分法(a)第42页，共57页。(b)同时，在位移给定的边界上（面力不可能给定），应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分。根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足能量原理与变分法由于应力分量的变分，应变余能有相应的变分。把应变余能看做应力分量的函数，则形变势能的变分应为代入几何方程，得第43页，共57页。根据分步积分和奥－高公式，对上式右边的各项进行处理，例如最后可得能量原理与变分法这就是所谓应力变分方程(卡斯提安诺变分方程)。方程的右边代表面力的变分在实际位移上所做的功。由此可见，由于应力发生的变分，形变势能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功。第44页，共57页。如果在某一部分边界上，面力是给定的，则该部分边界上的面力不能有变分，于是，而应力变分方程右边的相应积分项成为零；如果在某一部分边界上，给定的位移等于零，则应力变分方程右边的相应积分项也成为零。因此，应力变分方程右边的积分，只须在这样的边界上进行：面力没有给定，而给定的位移又不等于零。二极小余能原理将应力变分方程改写为由于在需要积分的边界上，位移是给定的，在变分过程中保持不变，所以上式可以改写为能量原理与变分法第45页，共57页。中括号内的表达式称为弹性体的余能。因此，在满足平衡方程和应力边界条件的各组应力中间，实际存在的一组应力应使弹性体的余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明这个极值是极小值，所以上述结论称为极小余能原理。以前看到，实际存在的应力，除了满足平衡微分方程以外，还应当满足相容方程。现在又看到，实际存在的应力，除了满足平衡微分方程和应力边界条件以外，还满足应力变分方程。而且，通过运算，还可以从应力变分方程导出相容条件。于是可见，应力变分方程可以代替相容条件。能量原理与变分法第46页，共57页。设定应力分量的表达式，使其满足平衡方程和应力边界条件，但其中包含若干待定系数，然后根据应力变分方程决定这些系数。应力分量一般可设为其中Am为互不依赖的m个系数。

σij

0是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，

σij

m是满足“无体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设定函数。这样，不论系数Am如何取值，σij总能满足平衡微分方程和应力边界条件。注意：应力的变分只是由系数Am的变分来实现。(11-19)能量原理与变分法

§11-6应力变分法第47页，共57页。如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程简化为显然，形变势能U是Am的二次函数，因而(11-20)式将是Am的一次方程。这样的方程共有m

个，恰好可以用来求解系数Am，回代(11-19)式，求得应力分量。即(11-20)如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程，即能量原理与变分法（a）第48页，共57页。在这里，u、v、w是已知的，积分只包括该部分边界。将面力的变分与应力的变分两者之间的关系，即代入方程的右边积分后，将得出如下的结果：其中Bm是常数。另一方面能量原理与变分法第49页，共57页。因而得上式仍然是Am的一次方程，总共有m个，且各个Am是互不相关的，因而可以求出所有的Am

，回代(11-19)式，求得应力分量。在应用应力变分法时，要使设定的应力分量既满足应力边界条件，又满足平衡微分方程，这往往是很困难的。但是，在某些类型的问题中存在着应力函数，而且用应力函数表示的应力分量又能满足平衡微分方程。这时，我们就只须设定应力函数的表达式，使它给出的应力分量能满足应力边界条件，困难就大大减少了。能量原理与变分法第50页，共57页。其中Am为互不依赖的m个系数。φ0给出的应力满足实际的应力边界条件，φm给出的应力满足无面力时的应力边界条件。由于应力分量的数量较多，确定起来有困难，通常用应力函数方法。在平面应力问题中，如果体力分量为常数，则存在应力函数。将应力函数设定为在平面应力状态，用应力分量表示的形变势能为能量原理与变分法

§11-6应力变分法应用于平面问题第51页，共57页。如果考虑单连体，且是应力边界问题，应力分量应与

无关，可设其为零。则两类平面问题皆简化为用应力函数表示为对于平面应变问题能量原理与变分法(11-