初等数论及应用（第二版）课件 课程引论

初等数论课程简介《初等数论》是一门古老的数学课程，有着悠久的历史，它以整数作为研究对象，它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。学科特点是理论易懂，习题难做。初等数论课程目标目标1：能概述数论的发展史，知道数论的育人价值；能概述整除、质因数、公因数、公倍数、同余等基本概念，知道并能解释其基本性质，能够进行相关的计算与推理论证。【毕业要求3学科素养】目标2：知道数论知识的生活与文化背景，能利用数论知识解决实际生活问题，领悟分类讨论、转化、数学建模等思想方法，提高分析解决问题的能力。【毕业要求3学科素养】目标3：知道小学数学与小学数学竞赛中关于数论知识的内容，知道数论与小学数学的联系，能高观点认识小学数学知识；认识高等数学对小学数学的指导意义，能将数论知识与解决问题的思想方法用于今后小学数学教学实践与小学数学竞赛指导中。【毕业要求4教学能力】课程学习资源1.超星平台上已建《初等数论》课程。2.相关文献：（1）《初等数论》，李同贤编，复旦大学出版社，2020年7月第一版。（2）《初等数论》，闵嗣鹤,严士健

主编，高等教育教育出版社，2003年第3版。（3）《初等数论》，张贤科主编，高等教育出版社，2016年第1版。（4）《初等数论》，潘承洞、潘承彪主编，北京大学出版社，2013年第3版。（5）《初等数论》，课程教材研究所主编，人民教育出版社，2005年第1版。课程考核（一）、平时成绩考核（权重40%）：1.教师考勤与课程学习表现(权重10％)。2.半期测试或自测或随堂测验(权重5％)。3.课后作业(权重20％)。4.拓展性作业（文化、学科素养）或研究性或者反思性作业，小论文形式(权重5％)。（二）、期末考核（权重60%）期末采用集中闭卷考试。题目范围包括：数论史、整除性、同余与剩余、不定方程。感受数论3、几个速算方法（1）同头尾合十（两位数乘两位数）

例如23×27，尾×尾，即3×7的积写在积的后两位，头×（头+1）的各积作为百位或百位以上的部分，即2×（2+1）=6，23×27=621（2）尾同头合十（两位数乘两位数）

例如32×72，尾×尾作积的后两位，2×2=4作积的后两位，不足两位在4前面加0，头×头＋尾作高位上的数字，即3×7+2=23作高位上的数字，这个积就是2304（3）几十一×几十一（积的个位是1，十位上的数字先加后乘依次写在十位、百位或百位以上）31×51个位先写1，十位上的3和5相加写在十位上（如果满十往前进位），最后3×5写在百位以上，即得1581（4）十几×十几（尾×尾写在个位上，满十进位，取一个十几的数加另一个的个位所得的和写在积的前面）

例如14×13，4×3=12，2写在积的个位，并往十位进一，然后取14加13的个位数字3，14＋3=17，再加上进位1所得的和18，写在积的前面，即得182（5）两位数×99，三位数×999，…43×99积末两位100-43=57，称为43的补数，43-1=42作积的前面部分，即得4257（6）一个数×5

将这个数除以2，再将商扩大10倍。如32×5，32÷2=16，在16后面加个0就得积160（7）一个数÷5将这个数乘2，再将商缩小10倍。如320÷5，320×2=640，在将640缩小10倍可得商644、两个特殊数列

（1）关于等比数列1、2、4、8、16…的一个小游戏1357

9111315

17192123

252729312367

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28293031（2）斐波拉齐数列：意大利数学家LeonardoFibonacci(约公元1175-1250）在《算盘书》中提出的兔子问题：如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在出生后的第三个月里又能开始生一对小兔，在不发生死亡的情况下，由一对出生的小兔开始，一年后会有多少对兔子？由此得到如下称为斐波拉齐数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…

这个数列有许多有趣的性质，如：（1）通项公式用无理数表达；（2）当n趋向无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，所以极限是黄金分割比；（3）从第2项起，每个奇数项的平方都比前后两项的积少1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多1；（4）将杨辉三角左对齐，将同一对角线斜行的数相加，即可得到斐波拉齐数列；（5）整除性和素数的生成性；（6）尾数循环；（7）在自然界中有着特殊的意义。初等数论中的两个著名问题（1）哥德巴赫猜想（1+1）1742年6月，德国数学家哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中问到：是不是所有的大于2的偶数都可以表示为两个素数之和？6月30日，欧拉回信认为猜想可能是真的，但他无法证明。于是这个猜想被人们称为哥德巴赫猜想。一般提法：≥6的偶数，都可以表示为两个奇素数之和；（1+1）≥9的奇数，都可以表示为三个奇素数之和。（2）费尔马大定理费尔马，法国数学家，在数论、解析几何、微积分、概率等方面都有巨大贡献，被称为业余数学家之王。1