重庆市南开中学2025-2025学年第一学期高一数学周测试题12月27日

重庆市南开中学2025——2025学年第一学期高一数学周测试题12月27日考试时间：90分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.请保持答题卡的清洁和完整。---一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|x²-3x+2<0}，集合B={x|2x-3>0}，则A∩B等于（）A.(1,2)B.(2/3,1)C.(3/2,2)D.(1,3/2)2.函数f(x)=√(x+1)+1/(2-x)的定义域是（）A.[-1,2)B.[-1,+∞)C.(-1,2)∪(2,+∞)D.[-1,2)∪(2,+∞)3.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（）A.y=(1/2)^xB.y=log₂xC.y=-x²D.y=sinx4.已知sinα=3/5，且α为第二象限角，则cosα的值为（）A.4/5B.-4/5C.3/4D.-3/45.函数f(x)=x³+sinx的奇偶性是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数6.已知函数f(x)=2^x+1，则f⁻¹(x)的表达式为（）A.log₂(x-1)B.log₂x-1C.2^(x-1)D.(x-1)/27.将函数y=sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移π/3个单位长度，则所得函数图像的解析式为（）A.y=sin(2x+π/3)B.y=sin(2x-π/3)C.y=sin(x/2+π/3)D.y=sin(x/2-π/3)8.已知函数f(x)={x²+1,x≤0;ax+b,x>0}在R上是单调递增函数，则实数a,b的取值范围是（）A.a>0,b≥1B.a>0,b≤1C.a<0,b≥1D.a<0,b≤1---二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.计算：log₂8+2^0-(1/3)^(-1)=____________.10.函数f(x)=x²-4x+3在区间[0,4]上的最大值是__________.11.已知角θ的终边经过点P(1,√3)，则tanθ=____________.12.函数f(x)=logₐ(x-1)+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点__________.13.若函数f(x)=x²+2mx+3在区间(-∞,1]上是减函数，则实数m的取值范围是__________.14.关于x的方程2^x=3-a有实数解，则实数a的取值范围是__________.---三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分12分）已知集合A={x|x²-5x+6=0}，B={x|mx-1=0}，且A∪B=A，求实数m的值组成的集合.16.（本小题满分13分）已知函数f(x)=sinxcosx-√3cos²x+√3/2.（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值.17.（本小题满分13分）已知函数f(x)=log₂(x+1)，g(x)=log₂(3x+1).（Ⅰ）解方程f(x)+g(x)=1；（Ⅱ）解不等式f(x)>g(x).18.（本小题满分14分）某商品在近几周内的价格波动较大.开始时定价为每件a元，每周涨价一次，连续涨了三周，第一周涨价百分之五，第二周涨价百分之四，第三周涨价百分之三.然后开始降价，连续降了两周，每周降价百分之二.问：经过这五周后，该商品每件的价格是最初定价的百分之几？（精确到0.01%）19.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x²-2ax+3，x∈[0,4].（Ⅰ）当a=1时，求函数f(x)的最大值和最小值；（Ⅱ）若函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为1，求实数a的值.20.（本小题满分14分）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，对任意x,y∈R恒成立，且当x>0时，f(x)<0.（Ⅰ）求证：f(x)是奇函数；（Ⅱ）判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若f(1)=-2，求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.---附加题（本大题共1小题，共10分。不计入总分，供学有余力的同学选做）21.已知函数f(x)=|x-a|+|x+2|.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)≥5的解集；（Ⅱ）若f(x)≤|2x+4|的解集包含[-2,-1]，求实数a的取值范围.---参考答案与评分标准（简要）一、选择题(每小题5分，共40分)1.C2.D3.B4.B5.A6.A7.C8.A二、填空题(每小题5分，共30分)9.010.311.√312.(2,2)13.m≤-114.a<3三、解答题15.解：A={2,3}，因为A∪B=A，所以B⊆A.当B=∅时，m=0；当B≠∅时，x=1/m∈A，所以1/m=2或1/m=3，即m=1/2或m=1/3.综上，实数m的值组成的集合为{0,1/3,1/2}.（12分）16.解：（Ⅰ）f(x)=(1/2)sin2x-√3*(cos2x+1)/2+√3/2=(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x=sin(2x-π/3).所以最小正周期T=2π/2=π.（6分）（Ⅱ）因为x∈[0,π/2]，所以2x-π/3∈[-π/3,2π/3].当2x-π/3=π/2，即x=5π/12时，f(x)取得最大值1；当2x-π/3=-π/3，即x=0时，f(x)取得最小值-√3/2.（13分）17.解：（Ⅰ）f(x)+g(x)=log₂[(x+1)(3x+1)]=1，所以(x+1)(3x+1)=2，且x+1>0,3x+1>0.解得x=(-2+√10)/3(负根舍去).（6分）（Ⅱ）f(x)>g(x)即log₂(x+1)>log₂(3x+1)，所以x+1>3x+1>0，解得-1/3<x<0.（13分）18.解：设原价为a元.涨价后价格为a*(1+5%)*(1+4%)*(1+3%)=a*1.05*1.04*1.03.降价后价格为a*1.05*1.04*1.03*(1-2%)*(1-2%)=a*1.05*1.04*1.03*0.98².计算得结果约为1.0822a，即约为最初定价的108.22%.（14分）19.解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=x²-2x+3=(x-1)^2+2，x∈[0,4].最小值为f(1)=2，最大值为f(4)=11.（6分）（Ⅱ）f(x)=(x-a)^2+3-a²，对称轴x=a.当a≤0时，f(x)min=f(0)=3=1（舍）；当0<a<4时，f(x)min=f(a)=3-a²=1，解得a=√2(a=-√2舍)；当a≥4时，f(x)min=f(4)=19-8a=1，解得a=9/4(舍).综上，a=√2.（14分）20.（Ⅰ）证明：令x=y=0，得f(0)=0.令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数.（4分）（Ⅱ）解：f(x)在R上是减函数.证明：设x₁<x₂，则x₂-x₁>0，f(x₂-x₁)<0.f(x₂)=f(x₁+(x₂-x₁))=f(x₁)+f(x₂-x₁)<f(x₁)，所以f(x)在R上是减函数.（9分）（Ⅲ）解：因为f(x)是减函数，所以在[-3,3]上，最大值为f(-3)，最小值为f(3).f(3)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6.所以最大值为6，最小值为-6.（14分）附加题21.（Ⅰ）当a=1时，f(x)=|x-1|+|x+2|.解集为(-∞,-3]∪[2,+∞).（5分）（Ⅱ）f(x)≤|2x+4|即|x-a|≤|2x+4|-|x+2|=|x+2|.所以-|x+2|≤x-a≤|x+2|.当x∈[-2,-1]时，|x+2|=x+2.不等式化为-(x+2)≤x