2.2 导数基本运算法则

第二节

导数基本运算法则本节学习目标010203能熟练利用运用四则法则进行导数计算掌握导数的四则运算法则了解函数导数与反函数导数的关系掌握基本初等函数的导数公式04一、导数基本运算法则

尽管导数的定义给出了求导数的具体方法,但是若对每一个函数都直接根据定义求得导数,则工作量是很大的.因此有必要给出导数基本运算法则,以简化求导数的计算.下面给出导数基本运算法则:法则1如果函数u=u(x),v=v(x)都可导,则导数(u±v)'=u'±v'3证:对应于自变量改变量Δx≠0,函数u,v分别取得改变量Δu,Δv,从而函数y=u±v取得改变量Δy=[(u+Δu)±(v+Δv)]-(u±v)

=Δu±Δv4

即导数(u±v)'=u'±v'

=u'±v'5法则2如果函数u=u(x),v=v(x)都可导,则导数(uv)'=u'v+uv'证:对应于自变量改变量Δx≠0,函数u,v分别取得改变量Δu,Δv,从而函数y=uv取得改变量Δy=(u+Δu)(v+Δv)-uv=Δu·v+uΔv+ΔuΔv6

=u'v+uv'+u'·0=u'v+uv'7法则3如果函数u=u(x),v=v(x)都可导,且函数v≠0,则导数

8于是导数

9法则1可以推广：

它对于m个函数的代数和也是适用的如果有限个函数u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可导,则导数(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm10二、运算法则推广法则2可以推广,它对于m个函数的积也是适用的如果有限个函数u1=u1(x),u2=u2(x),…,um=um(x)都可导,则导数(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm特别地,如果函数u=u(x),v=v(x)及w=w(x)都可导,根据导数基本运算法则2的推论,则导数(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'11考虑特殊情况下的法则2:如果函数v=v(x)可导,k为常数,则导数(kv)'=(k)'v+kv'=0+kv'=kv'说明常系数可以提到导数记号外面.12考虑特殊情况下的法则3:如果函数v=v(x)可导,且函数v≠0,则导数

13三、函数导数与反函数导数的关系为了推导导数基本公式的需要,下面给出函数导数与反函数导数的关系.定理2.3

14证:由于函数x=f-1(y)在开区间J内单调,说明变量x与y一一对应;又由于函数x=f-1(y)在开区间J内可导,当然连续这样,函数x=f-1(y)的反函数y=f(x)也在对应区间内单调连续.于是当变量x有了改变量Δx≠0时,变量y的改变量Δy≠0,且当Δx→0时,也有Δy→0.所以导数

15总结：综合上面的讨论,得到导数基本运算法则:法则1

(u±v)'=u'±v'法则2

(uv)'=u'v+uv'

16导数基本运算法则推论推论1

(u1+u2+…+um)'=u'1+u'2+…+u'm推论2

(u1u2…um)'=u'1u2…um+u1u'2…um+…+u1u2…u'm推论3

(kv)'=kv'

(k为常数)

17四、导数基本公式基本初等函数的导数构成导数基本公式1.常量函数y=c

(c为常数)在§2.1中已经得到导数y'=0182.正整数指数幂函数y=xn(n为正整数)

=nxn-1可以证明:对于任意常数α,幂函数y=xα的导数y'=αxα-119例1(x2)'=2x

=(x-1)'=-x-2

20例2求函数y=x4+7x3-x+10的导数.解:y'=(x4)'+7(x3)'-(x)'+(10)'=4x3+21x2-1+0=4x3+21x2-121例3

223.指数函数y=ax(a>0,a≠1)

23令u=aΔx-1,即Δx=loga(1+u);当Δx→0时,u→0

=axlna特别地,若a=e,则得到指数函数y=ex的导数y'=ex24例4(2x)'=2xln2(3x)'=3xln3(10x)'=10xln10应注意的是:要正确区分幂函数与指数函数,幂函数的特征是底在变而指数不变,指数函数的特征是底不变而指数在变,不能把指数函数误认为幂函数,如函数2x是指数函数而不是幂函数,因此不能应用幂函数导数基本公式求其导数,即导数(2x)'≠x2x-1.25例5求函数y=xe-ex+ee的导数.解:注意到函数y的表达式中第3项ee为常数项,其导数等于零,所以导数y'=exe-1-ex+0=exe-1-ex26例6求函数y=x2ex的导数.解:y'=(x2)'ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex274.对数函数y=logax(a>0,a≠1)对数函数y=logax的反函数为指数函数x=ay(a>1,a≠1),根据§2.2定理2.3,得到导数

特别地,若a=e,则得到对数函数y=lnx的导数

28例7

29例8

30例9求函数y=xexlnx的导数.解:y'=(x)'exlnx+x(ex)'lnx+xex(lnx)'

=exlnx+xexlnx+ex=ex(lnx+xlnx+1)315.三角函数(1)y=sinx

=cosx32(2)y=cosx

=-sinx33(3)y=tanx

=sec2x34(4)y=cotx

=-csc2x35例10求函数y=exsinx的导数.解:y'=(ex)'sinx+ex(sinx)'=exsinx+excosx=ex(sinx+cosx)36例11

37例12求函数y=tanx+cotx的导数.解:y'=sec2x-csc2x=(1+tan2x)-(1+cot2x)=tan2x-cot2x386.反三角函数(1)y=arcsinx

39(2)y=arccosx

40(3)y=arctanx

41(4)y=arccotx

42例13求函数y=arcsinx-arccosx的导数.

43例14求函数y=x-arctanx的导数

44例15

45五、导数基本公式总结综合上面的讨论,得到导数基本公式:公式1

(c)'=0

(c为常数)公式2

(xα)'=αxα-1

(α为常数)公式3

(ax)'=axlna

(a>0,a≠1)公式4

(ex)'=ex

46导