《高等数学（上册）》 课件1.2 初等函数

第二节

初等函数本节学习目标010203了解复合函数及分段函数概念掌握六类基本初等函数能熟练分解复合函数一、基本初等函数首先讨论基本初等函数,它共有六大类.1.常量函数y=c(c为常数)属于这一类的函数有无穷多个,它们的定义域D=(-∞,+∞)3一、基本初等函数2.幂函数y=xα(α为常数)4

3.指数函数5在幂的表达式中,若底为常数a(a>0,a≠1),而指数为变量x,则称函数y=ax

为指数函数.指数函数具备单调性。y=ax(a>1)是递增函数，图形如图.y=ax

(0<a<1)是递减函数.4.对数函数y=logax(a>0,a≠1)6

对数的运算性质：在等号两端皆有意义的条件下,对数恒等关系式为

5.三角函数9角x的正弦、余弦、正切、余切、正割及余割函数统称为三角函数,分别表示为y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx及y=cscx.下面根据三角函数图像，理解三角函数相关性质。正弦函数.图形如图.具备周期性、有界性，是奇函数.因为sin(-x)=-sinx.余弦函数.图形如图.具备周期性、有界性，是偶函数，因为cos(-x)=cosx.正切函数图形如图,具备周期性，是奇函数.因为tan(-x)=-tanx.

余切函数图形如图,具备周期性，是奇函数.因为tan(-x)=-tanx.

正割函数x≠π/2+kπ,k∈𝑍,图形如图，具备周期性，是偶函数.余割函数x≠kπ,k∈𝑍,图形如图，具备周期性，是奇函数.5.三角函数属于这一类的函数有六个,主要是四个:正弦函数y=sinx,定义域D=(-∞,+∞);余弦函数y=cosx,定义域D=(-∞,+∞);余切函数y=cotx,定义域D=(0,π).此外尚有正割函数y=secx与余割函数y=cscx.在本门课程中,一律以弧度作为度量角的单位.16

6.反三角函数属于这一类的函数也有六个,主要是四个:

反余弦函数y=arccosx,定义域D=[-1,1],值域G=[0,π];

反余切函数y=arccotx,定义域D=(-∞,+∞),值域G=(0,π).基本初等函数经过有限次四则运算得到的函数称为简单函数.17二.复合函数

注意：并不是任何两个函数都能复合成复合函数，只有当内层函数的值域与外层函数的定义域的交集非空时，这两个函数才能复合成复合函数.分解复合函数在进行微积分运算时,有时需要分解复合函数分解自变量为x的复合函数y是指:令中间变量u等于复合函数y中作最后数学运算的表达式,将复合函数y分解为基本初等函数y=f(u)与函数u=u(x).若函数u(x)为基本初等函数或简单函数,则分解终止;若函数u(x)仍为复合函数,则继续分解复合函数u(x).19例1

20例2分解复合函数y=lglgx解:这个复合函数中最后的数学运算是表达式lgx作为真数取对数运算,因而令中间变量u=lgx,所以复合函数y=lglgx分解为y=lgu与u=lgx21例3分解复合函数y=cos45x解:这个复合函数中最后的数学运算是表达式cos5x作为底求幂运算,因而令中间变量u=cos5x,所以复合函数y=cos45x分解为y=u4与u=cos5x但函数u=cos5x仍为复合函数这个复合函数中最后的数学运算是表达式5x作为角度求正弦运算再令中间变量v=5x,继续将复合函数u=cos5x分解为u=cosv与v=5x22为了微积分运算的需要,有的简单函数可以看作是复合函数而进行分解如简单函数y=(1+x3)10是30次多项式,

分解为y=u10与u=1+x3

23初等函数的定义定义1.8若函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合运算构成的,且用一个数学表达式表示,则称这样的函数为初等函数.除初等函数外,还有分段函数.24分段函数定义定义1.9已知函数定义域被分成有限个区间,若在各个区间上表示对应规则的数学表达式一样,但单独定义各个区间公共端点处的函数值;或者在各个区间上表示对应规则的数学表达式不完全一样,则称这样的函数为分段函数.其中定义域所分成的有限个区间称为分段区间,分段区间的公共端点称为分界点,同时假定分段函数在各个分段区间上的对应规则都是初等函数表达式.25如何计算分段函数？如何计算分段函数的函数值?观察分段函数在各分段区间上的对应规则与在各分界点处的取值,明确所给