2026-2027学年人教A版高中数学必修一1.5.1　全称量词与存在量词课件

1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.(数学抽象)2.理解全称量词命题和存在量词命题的含义,并能用数学符号表示.(数学抽象)3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并会判断它们的真假.(逻辑推理)一、全称量词与全称量词命题全称量词定义短语“_______”“_________”在逻辑中称为全称量词符号表示__全称量词命题定义含有_____量词的命题一般形式对M中_________x,p(x)成立符号表示_________,p(x)所有的任意一个∀全称任意一个∀x∈M[思考]1.短语“都不是”是全称量词吗?“不都是”呢?提示:“都不是”是全称量词,“不都是”不是全称量词.2.你能举出初中数学的一些全称量词命题吗?提示:“对顶角相等”“所有等腰三角形的两底角相等”“任何实数的平方都是非负数”等等.二、存在量词与存在量词命题存在量词定义短语“_________”“___________”在逻辑中称为存在量词符号表示__存在量词命题定义含有_____量词的命题一般形式_____M中的元素x,p(x)成立符号表示_________,p(x)存在一个至少有一个∃存在存在∃x∈M[思考]3.短语“至多有一个”是存在量词吗?为什么?提示:不是.因为“至多有一个”的含义是“存在一个或一个也没有”,它包含了不存在的情形.4.你能举出初中数学的一些存在量词命题吗?提示:“有些菱形是正方形”“有的数既是质数又是偶数”等等.[点睛]全称量词命题与存在量词命题的区别(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.(2)存在量词命题中的存在量词表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)全称量词表示的数量都是无限的.()提示:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.(2)全称量词命题必须含有全称量词.()提示:有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.(3)短语“至少有一个”是存在量词.()提示:“至少有一个”表示存在,是存在量词.(4)“2x+3>1”是存在量词命题.()提示:“2x+3>1”不是命题.××√×类型1全称量词命题及其真假的判断(数学抽象、逻辑推理)【典例1】判断下列命题是否是全称量词命题,是全称量词命题的判断其真假.(1)∀x∈R,x2+2x+1>0;(2)矩形的任一组对边相等;(3)若2x为偶数,则x∈N;(4)x是无理数.【解析】(1)含有全称量词“∀”,是全称量词命题,当x=-1时,x2+2x+1=0,假命题.(2)省略了全称量词“每一个”,是全称量词命题,真命题.(3)是全称量词命题,当x=-1时,2x为偶数,但是x∉N,假命题.(4)x是无理数不是命题.【解题有招】全称量词命题及其真假的判断方法(1)判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有全称量词,但有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别.(2)要确定一个全称量词命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称量词命题是假命题.【即学即练】(多选)(2026·玉溪高一检测)下列命题是全称量词命题且为假命题的是(

)A.∀x∈R,x2<0B.∃m∈Z,nm=mC.矩形的对角线互相平分且相等D.所有的素数都是奇数√√【解析】选AD.对于A,∀x∈R,x2<0,当x=0时,x2=0,故A选项是全称量词命题且为假命题;对于B,当m=0∈Z时,nm=m成立,故B选项是存在量词命题且为真命题;对于C,所有矩形的对角线互相平分且相等,故C选项是全称量词命题且为真命题;对于D,所有的素数都是奇数,2为素数且为偶数,故D选项是全称量词命题且为假命题.类型2存在量词命题及其真假的判断(数学抽象、逻辑推理)【典例2】(一题多变)[母题]判断下列命题是否是存在量词命题,是存在量词命题的判断其真假.(1)有些梯形的对角线相等;(2)∃x∈R,使x2+x+3=0;(3)有一个质数是偶数;(4)对于任意实数x,x3+1≠0.【解析】(1)含有存在量词“有些”,是存在量词命题,等腰梯形的对角线相等,真命题.(2)含有存在量词“∃”,是存在量词命题,由于Δ=-11<0,所以方程x2+x+3=0无解,即不存在x∈R,使x2+x+3=0,假命题.(3)含有存在量词“有一个”,是存在量词命题,2既是质数又是偶数,真命题.(4)含有全称量词“任意”,是全称量词命题,不是存在量词命题.[变式1]母题(2)若变为“∀x∈R,使x2+x+3≠0”,判断该命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它的真假.【解析】含有全称量词“∀”,是全称量词命题,由于Δ=-11<0,所以方程x2+x+3=0无解,即∀x∈R,x2+x+3≠0,真命题.[变式2]母题(4)若变为“存在实数x,使x3+1=0”,判断该命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它的真假.【解析】含有存在量词“存在”,是存在量词命题,当x=-1时,x3+1=0,真命题.【解题有招】存在量词命题及其真假的判断技巧(1)判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有存在量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别.(2)要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素x,使p(x)成立即可,否则命题为假.【即学即练】(2026·锦州高一检测)下列是存在量词命题且是真命题的是(

)A.∀x∈R,x3>0 B.∃x∈Z,x2>2C.∀x∈N,x2∈N D.∃