勾股定理的应用课件2026-2027学年北师大版数学八年级上册

第一章勾股定理3勾股定理的应用

装修工人李叔叔想检测某块装修用砖的边AD和边BC是否分别垂直于边AB.

（1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？（3）如果李叔叔随身只带了一把长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边

AD是否垂直于边AB吗？

利用勾股定理解决实际问题1.

从实际问题中抽象出①

三角形模型；2.设未知数，并用未知数表

示三角形的其他边；3.利用②

定理列出方程并解出.直角勾股【例1】如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所

学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝

250m，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域.学校C会受噪声影响吗？

为什么？解：学校C会受噪声影响.理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2＋BC2＝1502＋2002＝62500，AB2＝2502＝62500，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形.

∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响.

（根据教材北师大版八上P15习题1.3第2题改编）某人欲从点A横

渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离预到达点B

240m，结果他

在水中实际游了510m.求该河的宽度.解：根据题意，运用勾股定理得AB2＝AC2－BC2＝5102－2402＝4502，∴AB＝450m，故河宽为450m.

长方体中的最短路程问题求长方体中的最短路程问题，一般是将长方体的侧面展开成平面图形，分情

况计算后比较大小，最终确定最短路程.

【例2】（根据教材北师大版八上P18第1题（2）改编）如图，一只蜘蛛在一

块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若

AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能

最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？解：如图1，当蚂蚁从点A出发先到BF上再到点G时，∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴AC＝AB＋BC＝3＋5＝8（cm）.∵BF＝6cm，∴CG＝BF＝6cm.在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100.如图2，当蚂蚁从点A出发先到EF上再到点G时，∵BC＝5cm，∴FG＝BC＝5cm，∴BG＝5＋6＝11（cm）.在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130.如图3，当蚂蚁从点A出发先到EH上再到点G时，∵DH＝BF＝6cm，HG＝AB＝3cm，∴DG＝DH＋HG＝6＋3＝9（cm），在Rt△ADG中，AG2＝AD2＋DG2＝52＋92＝106.∵130＞106＞100，∴第一种方式最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm.

（2024•盐田区）如图，无盖长方体盒子的长为15cm，宽为10

cm，高为20cm，若BC＝5cm，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点，

需要爬行的最短路程为

cm.25

解析：如图，∵长方体盒子的宽为10cm，高为20cm，BC＝5cm，∴AB2＝152＋202＝252，∴AB＝25cm.故答案为25.

圆柱中的最短路程注意B点的位置.

【例3】（根据教材八上P16引例改编）如图所示，有一圆柱形油罐，现要从

油罐底部的一点A环绕油罐建梯子，并且要正好建到A点正上方的油罐顶部

的B点，已知油罐高AB＝5米，底面的周长是12米，则梯子最短长度

为

米.13

如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯

底4cm的B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂

蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为（

B

）.BA.

19cmB.

20cmC.

21cmD.

22cm解析：如图，将圆柱形容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接

A′B，则A′B的长即为最短路程.在Rt△A′DB中，由勾股定理得A′B2＝

A′D2＋DB2＝122＋162＝400，∴A′B＝20cm.故选B.

台阶中的最短距离求台阶中的最短距离，一般是先把台阶展开成平面图形，然后在平面图形中

利用勾股定理求解.

【例4】如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短路程

为

⁠.13m

如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50

cm，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路

的长度是（

C

）.A.

100cmB.

120cmC.

130cmD.

150cmC解析：如图，把这个台阶示意图展开为平面图形，在Rt△ACB中，∵AC＝50cm，BC＝120cm，∴AB2＝502＋1202＝1302，∴AB＝130cm.∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度是130cm.故选C.

1.

（2024•龙岗区）如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则

地毯的长度至少是

⁠.17m解析：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现，地毯长度为直角三角形

ABC的两直角边长之和，即AC＋BC，在Rt△ABC中，AB＝13m，BC＝5m，且AB为斜边，根据勾股定理可得AC2＝132－52＝122，∴AC＝12m，故地毯长度为AC＋BC＝12＋5＝17（m）.故答案为17m.2.

（2025•南山实验教育集团南海中学期中）一根长度为25cm的吸管放入底

面直径为12cm，高为9cm的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为

（

D

）.A.

7cmB.

8cmC.

9cmD.

10cmD3.

（2025•龙岗中学月考）某物流公司的全自动无人机需从仓库出发，向东飞

行1.6km后，再向北飞行1.2km抵达社区配送点，由于中央区域有信号塔障

碍，无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线

飞行绕过障碍，则从仓库到社区配送点的最短路径为（

B

）.A.

1.8kmB.

2.0kmC.

2.1kmD.

3.0kmB4.

（2025•深圳实验学校初中部期中）如图，有一圆柱，其高为15，它的底面

周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁

经过的最短路程为

⁠.13

解析：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE，

连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，其中C，H分别是

AE，DF的中点.∵底面周长是10，

∵CH＝15，BH＝3，∴BC＝CH－BH＝12.又∵AB2＝AC2＋BC2＝52＋122＝132，∴AB＝13，∴蚂蚁经过的最短路程为13.5.

（2025•龙岗区宏扬学校期中）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳

动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培

养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各

分一块三角形形状的劳动实践基地.（1）当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为5m，12m，13m

时，小明同学很快给出了这块实践基地的面积，他求出的面积为

m2.30解：30

（2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为AB＝15m，BC＝14m，

AC＝13m，如图，你能帮助他们求出面积吗？

6.

（2025•福田区深大附中创新学校期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，

危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源

成为一种高效的灭火方式.如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点A飞向

点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.（1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离；

答：飞机距离着火点C的最短距离为480m.（2）若该飞机的速度为20m/s，要想扑灭着火点C估计需要15s，请你通过

计算说明着火点C能否被飞机扑灭.解：如图2，在线段AD和线段BD上分别取一点E和点F，连接CE，CF，

使得CE＝CF＝500m.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2＝CE2－CD2＝

5002－4802＝1402，∴DE＝140m.同理可得DF＝140m，∴EF＝DE＋DF＝280m.280÷20＝14（s），且14＜15，∴着火点C不能被飞机扑灭.【新课导学】知识点1①直角②勾股例1解：学校C会受噪声影响.理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2＋BC2＝1502＋2002＝62500，AB2＝2502＝62500，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形.

∵环卫车周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响.变式训练1解：根据题意，运用勾股定理得AB2＝AC2－BC2＝5102－2402

＝4502，∴AB＝450m，故河宽为450m.知识点2例2解：如图1，当蚂蚁从点A出发先到BF上再到点G时，∵AB＝3cm，

BC＝5cm，∴AC＝AB＋BC＝3＋5＝8（cm）.∵BF＝6cm，∴CG＝BF＝6cm.在Rt△ACG中，AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100.如图2，当蚂蚁从点A出发先到EF上再到点G时，∵BC＝5cm，∴FG＝BC＝5cm，∴BG＝5＋6＝11（cm）.在Rt△ABG中，AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130.如图3，当蚂蚁从点A出发先到EH上再到点G时，∵DH＝BF＝6cm，HG＝AB＝3cm，∴DG＝DH＋HG＝6＋3＝9

（cm），在Rt△ADG中，AG2＝AD2＋DG2＝52＋92＝106.∵130＞106＞

100，∴第一种方式最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm.变式训练225解析：如图，∵长方体盒子的宽为10cm，高为20cm，BC＝5cm，∴AB2＝152＋202＝252，∴AB＝25cm.故答案为25.知识点3例313变式训练3B解析：如图，将圆柱形容器侧面展开，作A关于EF的对称

点A′，连接A′B，则A′B的长即为最短路程.在Rt△A′DB中，由勾股定理

得A′B2＝A′D2＋DB2＝122＋162＝400，∴A′B＝20cm.故选B.

知识点4例413m变式训练4C解析：如图，把这个台阶示意图展开为平面图形，在Rt△ACB中，∵AC＝50cm，BC＝120cm，∴AB2＝502＋1202＝1302，∴AB＝130cm.∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度是130

cm.故选C.

【随堂小测】1.17m解析：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现，地毯长度为直角

三角形ABC的两直角边长之和，即AC＋BC，在Rt△ABC中，AB＝13m，BC＝5m，且AB为斜边，根据勾股定理可得AC2＝132－52＝122，∴AC＝12m，故地毯长度为AC＋BC＝12＋5＝17（m）.故答案为17m.

（2）如图，过A作AD⊥BC于