第02讲 勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）（教师版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第02讲勾股定理逆定理与勾股数（4种题型）【知识梳理】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.二、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.三、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）（是自然数）是直角三角形的三条边长；【考点剖析】题型一、勾股定理的逆定理 例1、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【答案与解析】解：（1）∵，，∴．∴由线段组成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴．∴由线段组成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴，．∵，，∴．∴由线段组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证与是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形．【变式】发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【答案】C.解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；④72+242=252，∴能组成直角三角形．故选C．题型二．勾股数例2．（2022春•铜梁区校级期中）下列四组数中，是勾股数的是（）A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．32，42，52【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．【解答】解：A．62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；B．0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；C．不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；D．（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．例3．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：正确．理由：∵m表示大于1的整数，∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，∴a2+b2＝c2，即a、b、c为勾股数．当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．【点评】本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．【变式1】观察下列勾股数3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…；a、b、c．根据你发现的规律，回答下列问题：（1）a＝17时，求b、c的值；（2）a＝2n+1时，求b、c的值．【分析】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值．（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值．【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝17，a2+b2＝c2，∴172+b2＝（b+1）2，∴b＝144，∴c＝145；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，∵c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1．【点评】此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力，解题的关键是：通过观察知c﹣b＝1．【变式2】已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．【分析】根据勾股数定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数可得：（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，再解方程即可．【解答】解：由题意得：（3m+2）2+（4m+8）2＝（5m+8）2，解得：m＝1．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数定义．题型三、勾股定理逆定理的应用例4．（2022春•汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求证AC⊥CD．【分析】在△ABC中，根据勾股定理求出AC2的值，再在△ACD中根据勾股定理的逆定理，判断出AC⊥CD．【解答】证明：在△ABC中AB⊥BC，根据勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5，∵在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，∴AC⊥CD．【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．例5．古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．（1）你能说说其中的道理吗？（2）仿照上面的方法，你能否只用绳子，设计一种不同于（1）的直角三角形（在图2中，只需画出示意图．）【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）设相邻两个结点的距离为x，则此图1中的三边长分别为、、，∵，∴以、、为边长的三角形是直角三角形，即是直角三角形，其中；（2）∵，∴如图所示，即为所求（答案不唯一，正确即可得分）．【变式】如图，在中，∠ACB=90°，AB=13，AC=12，点D为外一点，连接BD，CD，测得CD=4，BD=3，求四边形ABDC的面积．【答案】36．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，AB=13，∴BC2=AB2-AC2=132-122=25，∴BC=5，∵CD=4，BD=3，∴CD2+BD2=42+32=25，∴CD2+BD2=BC2，∴△DBC是直角三角形，且∠D=90°，∴S△DBC=BD×DC=×3×4=6；由（1）知在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=12，BC=5，∴S△ABC=BC×AC=×5×12=30．∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DBC=30+6=36．例6.如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．【答案】解：连接BD．∵CD⊥CP，且CD＝CP＝2，∴△CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．∵∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD．∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)，∴DB＝PA＝3．在Rt△CPD中，．又∵PB＝1，则．∵，∴，∴△DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，∴∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．【变式1】如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式，则△ABC的形状是．【答案】直角三角形．解：∵，∴，解得，∵242+182=302，∴△ABC是直角三角形．故答案为直角三角形．【变式2】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】解：（1）猜想：AP=CQ，证明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，∴∠ABP=∠QBC．又AB=BC，BQ=BP，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；（2）由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3，PB=4，PC=5，连接PQ，在△PBQ中由于PB=BQ=4，且∠PBQ=60°，∴△PBQ为正三角形．∴PQ=4．于是在△PQC中∵∴△PQC是直角三角形．【总结升华】根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；设PA=3，PB=4，PC=5，由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．题型四、勾股定理逆定理的实际应用例7．（2022春•蚌山区校级期中）龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？【分析】先根据题意计算出两人走的路程，利用勾股定理的逆定理即可判断；根据路程和÷速度和＝相遇的时间，列式计算即可求解．【解答】解：龙梅走的路程：×4×60＝120（米），玉荣走的路程：×4×60＝160（米），∵1202+1602＝2002，∴她们走的方向成直角，以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（+）＝200÷＝＝171（秒）；答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171秒后能相遇．【点评】考查了路程中的相遇问题，勾股定理的逆定理的运用．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．例8、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，在△PQR中，，∴．∴△PQR是直角三角形且∠RPQ＝90°．又∵“远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，∴∠RPN＝45°．由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向.例9.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．【答案与解析】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．【过关检测】一．选择题1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3 C．三边长之比为7：24：25 D．三内角之比为1：2：3【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和为180°进行判断能否构成直角三角形即可．【解答】解：A、3+4≠5，不能构成直角三角形，故此选项合题意；B、1+2＝3，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、72+242＝252，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、1+2＝3，能构成直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．下列条件中，能判断是直角三角形的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【详解】解：①，∴，∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形；②，∴，∴，∴∠A=90°，即△ABC为直角三角形；③，∴=，即△ABC为直角三角形；④，∴可以假设∠A=6k，∠B=3k，∠C=2k，∴6k+3k+2k=180°，∴k=，∴∠A=＞90°，即△ABC是钝角三角形；⑤，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形；⑥，设AB=3x，AC=4x，BC=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，即△ABC是直角三角形，故选：A．3.如图，根据下列条件，不能判断是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、∠D=20°，∠B=70°，则∠BAD=180°-20°-70°=90°，则△ABD是直角三角形；B、AB=5，AD=12，BD=13，满足，则△ABD是直角三角形；C、AC=BC=CD，则∠B=∠CAB，∠D=∠CAD，∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=（∠B+∠CAB+∠D+∠CAD）=90°，则△ABD是直角三角形；D、∠B=3∠D，∠BAD=8∠D，则3∠D+8∠D+∠D=180°，解得：∠D=15°，则∠BAD=8∠D=120°，则△ABD不是直角三角形；故选D．二．填空题4．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．【解答】解：∵62+82＝102，∴此三角形为直角三角形，∴此三角形的面积为：×6×8＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．5．勾股数为一组连续自然数的是．【分析】根据连续自然数的特点，如果设中间的数是x，那么前面的一个就x﹣1，后面的一个就是x+1，根据题意列出方程解答即可．【解答】解：设中间的数是x，那么前面的一个就x﹣1，后面的一个就是x+1，根据题意（x﹣1）2+x2＝（x+1）2，解得：x＝0（舍去）或x＝4；4﹣1＝3，4+1＝5；故答案为：3、4、5．【点评】本题主要是考查奇数、偶数的意义及特点，根据连续两个奇数或偶数都相差2进而得出是解题关键．6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．【分析】根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．【点评】此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．7．（2022春•泗水县期中）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为．【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，故可得第⑦组勾股数是16，63，65．故答案为选：16，63，65．【点评】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．8．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC的面积是cm2．【分析】依据勾股定理的逆定理，即可得出△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，再根据三角形面积计算公式，即可得到三角形的面积．【解答】解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，∴AB2+CB2＝100＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴△ABC的面积是＝＝24（cm2），故答案为：24．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．9．（2022春•孝南区月考）探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．【分析】先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．【解答】解：∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，故答案为：（13，84，85）．【点评】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．10．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．【分析】根据勾股定理的逆定理得出当AC2+BC2＝AB2时，∠C＝90°，代入求出k即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，∴（k﹣1）2+32＝k2，解得：k＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和解一元一次方程，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．三．解答题11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．【分析】延长AD至E，使ED＝AD＝2，则AE＝4，由SAS证明△ABD≌△ECD，得出BE＝AC＝3，利用勾股定理逆定理证得△ABE是直角三角形，得出△ABC的面积＝△ABE的面积，即可得出结果．【解答】解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，如图所示：则AE＝4，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED和△ACD中，，∴△BED≌△ACD（SAS），∴BE＝AC＝3，∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，∴AE2+BE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形，∴△ABC的面积＝△ABE的面积＝×3×4＝6．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质、勾股定理逆定理的运用、三角形的面积计算方法；通过作辅助线证明三角形全等，进一步证出直角三角形是解决问题的关键．12．已知△ABC中，AB＝AC，BC＝20，D是AB上一点，且CD＝16，BD＝12，（1）求证：CD⊥AB；（2）求三角形ABC的周长．【分析】（1）由BC＝20，