第04讲 认识无理数与平方根 （6种题型） （教师版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第04讲认识无理数与平方根（6种题型）一、无理数无限不循环小数叫做无理数常见的无理数类型：（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356···（2）看似循环而实际不循环的小数（有规律），如0.1010010001···（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；0.12345678···（连续不断地依次写正整数）。（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···二、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根（也叫二次方根）。求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.三、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.四、平方根的性质五、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【考点剖析】题型一：无理数的概念例1.下列各数中，是无理数的是（）A．﹣6.94 B． C．0 D．【解答】解：A、﹣6.94是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；C、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；D、是无理数，故本选项符合题意．故选：D．【变式】在3.14，2，﹣1.5，π，中，是无理数的数是π．【解答】解：在3.14，2，﹣1.5，π，中，是无理数的数是π．故答案为：π．题型二、平方根和算术平方根的概念 例2、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．【答案与解析】解：依题意得2－4＝－（3－1），解得＝1；∴的值为1．【变式1】下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C；A.因为＝5，所以本说法正确；B.因为±＝±1，所以l是l的一个平方根说法正确；C.因为±＝±＝±4，所以本说法错误；D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）【答案】√；×；√；×，提示：（2）；（4）是的算术平方根．【变式3】已知2－1与－＋2是的平方根，求的值.【答案】2－1与－＋2是的平方根，所以2－1与－＋2相等或互为相反数.解：①当2－1＝－＋2时，＝1，所以＝②当2－1＋（－＋2）＝0时，＝－1，所以例3、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【答案与解析】(1)16；(2)(3)(4)9；±3【变式1】下列说法中正确的有（）：3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；提示：①④是正确的.【变式2】的平方根是．【答案】±3.解：因为=9，9的平方根是±3，所以答案为±3.例4.为何值时，下列各式有意义？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案与解析】解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．(2)由题意可知：，所以时，有意义．(3)由题意可知：解得：．所以时有意义．(4)由题意可知：，解得且．所以当且时有意义．【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.【变式2】已知，求的算术平方根．【答案】解：根据题意，得则，所以＝2，∴，∴的算术平方根为．题型三、平方根的运算例5、求下列各式的值．(1)；(2)．【答案与解析】解：(1)；(2)．题型四、利用平方根解方程例6、求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【答案与解析】解：（1）169x2=144，x，x=，x=.（2）（x﹣2）2﹣36=0，（x﹣2）2=36，x﹣2=，x﹣2=±6，∴x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个，他们互为相反数．【变式1】求下列各式中的.（1）（2）；（3）【答案与解析】解：（1）∵∴∴（2）∵∴∴＋1＝±17＝16或＝－18.（3）∵∴∴∴【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4．【答案】解：∵，∴（x﹣2）2=36，∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6，解得：x1=8，x2=﹣4．题型五、平方根的综合应用例7.若x，y为实数，且满足．求的值．【答案与解析】解：∵+|y﹣|=0，∴x=，y=，则原式==1．【变式1】若，求的值．【答案】解：由，得，，即，．①当＝1，＝－1时，．②当＝－1，＝－1时，．【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．【解答】解：（1）∵a2＝16，|﹣b|＝3，∴a＝±4，b＝±3．∴当a＝4，b＝3，则a﹣b＝4﹣3＝1；当a＝4，b＝﹣3，则a﹣b＝4﹣（﹣3）＝7；当a＝﹣4，b＝3，则a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7；当a＝﹣4，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣4﹣（﹣3）＝﹣1．综上：a﹣b＝±1或±7．（2）∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0．∴a+b＝1或7．∴当a+b＝1时，a+b的平方根为±1；当a+b＝7时，a+b的平方根为±．综上：a+b的平方根为±1或±．例8、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3(＞0)，则宽为2，依题意得...∵＞0，∴.∴长方形纸片的长为.∵50＞49,∴.∴,即长方形纸片的长大于20.由正方形纸片的面积为400,可知其边长为20,∴长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答:小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积．【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，∴小正方形的边长为，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴小正方形的边长在2和3之间；（2）阴影部分的面积＝×（3﹣）＝3﹣6．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】(1)长方形纸片的长为cm，宽为cm(2)不能，理由见详解（1）解：设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm，根据题意得3x·2x=300，解得或（不合题意，舍去），则cm，cm．答：长方形纸片的长为cm，宽为cm；（2）小波不能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片，理由如下：∵正方形的面积为400cm2，∴边长为20cm，∵cmcm

，∴不能剪出符合要求的纸片．题型六：平方根小数点位数移动规律例9.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【详解】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；【变式】如果＝3.9522，则＝；＝39.522，则x＝；【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x＝1562；故答案为：395.22，1562；【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•禅城区校级期末）下列各数中是无理数的是（）A．2π B． C．0 D．﹣0.1010010001【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数）逐项判断即可．【解答】解：A、2π是无理数，则此项符合题意；B、是无限循环小数，属于有理数，则此项不符合题意；C、0是整数，属于有理数，则此项不符合题意；D、﹣0.1010010001是有限小数，属于有理数，则此项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了无理数，熟记无理数的定义是解题关键．2．（2023•韩城市一模）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．【分析】根据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：A．【点评】本题考查算术平方根的求解，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．3．（2023•东营区校级三模）的算术平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2【分析】利用算术平方根的意义解答即可．【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．4．（2023春•雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再把x、y的值代入求解．【解答】解：根据题意得：，解得：，则（x+y）2＝（﹣1）2＝1．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．5．（2022秋•济南期末）已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则代数式（y﹣x）2018的值为（）A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，y﹣2＝0，解得x＝3，y＝2．所以原式＝（2﹣3）2018＝1．故选：A．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．6．（2023•常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．2【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：＝4，4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．（2023春•宝山区期末）有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的数是324时，输出的结果等于（）A．3 B．18 C． D．【分析】根据数值转换器流程＝18，18的算术平方根是输出结果可确定选项．【解答】解：∵＝18，18不是无理数，∴再输入18的算术平方根，＝3．故选：C．【点评】本题考查了算术平方根的应用，一个正数的正的平方根叫作这个数的算术平方根．8．（2022秋•成都期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（）A． B． C．±5 D．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【解答】解：∵（x﹣1）2与互为相反数，∴（x﹣1）2+＝0，∴x﹣1＝0，3y﹣6＝0，解得：x＝1，y＝2，则x2+y2＝12+22＝5，故x2+y2的平方根为：±．故选：D．【点评】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义，正确得出x，y的值是解题关键．9．（2023春•八步区期中）已知a的平方根是±3，则a的值是（）A．±3 B．3 C．±9 D．9【分析】根据平方根的定义进行判断即可．【解答】解：∵±＝±3，∴a＝9．故选：D．【点评】本题考查平方根的定义，如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根．10．（2022秋•永定区期末）若实数x、y、z满足+（y﹣3）2+|z+6|＝0，则xyz的算术平方根是（）A．36 B．±6 C．6 D．【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答．【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，z+6＝0，解得x＝﹣2，y＝3，z＝﹣6，所以，xyz＝（﹣2）×3×（﹣6）＝36，所以，xyz的算术平方根是6．故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝±2．【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．【解答】解：∵+（1﹣y）2＝0，∴x﹣4＝0，1﹣y＝0，∴x＝4，y＝1，∴xy＝4，∴xy的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．12．（2023春•赤坎区校级期中）若一正数的两个平方根分别是a﹣7和3a﹣1，则这个正数是25．【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个正数．【解答】解：根据题意得：a﹣7+3a﹣1＝0，解得：a＝2，则这个正数为（2﹣7）2＝25．故答案为：25．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．13．（2022秋•桂平市期末）若，则mn的值是﹣8．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵+（n﹣3）2＝0，，≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴mn＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查算术平方根、偶次方的非负性，掌握算术平方根、偶次方的非负性是正确解答的前提．14．（2023•迎江区校级二模）的平方根是±．【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案．【解答】解：∵＝，∴的平方根是±．故答案为：±．【点评】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．15．（2023春•建阳区期中）已知|x+1|+＝0，则＝2．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得：x+1＝0，y﹣5＝0，解得x＝﹣1，y＝5，∴＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．16．（2023春•南昌县期中）若（2x﹣4）2+＝0，则x+2y＝0．【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵（2x﹣4）2+＝0，∴2x﹣4＝0，4y+4＝0，解得x＝2，y＝﹣1，∴原式＝0．故答案为：0．【点评】本题考查的是非负数的性质，即任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三．解答题（共11小题）17．（2023春•凉州区期中）已知a的平方根为±3，ab的算术平方根为2．（1）求a，b的值；（2）求a+2b的平方根．【分析】（1）直接利用平方根的定义以及算术平方根的定义分析得出答案；（2）直接利用平方根的定义分析得出答案．【解答】解：（1）∵a的平方根为±3，ab的算术平方根为2，∴a＝9，ab＝4，∴b＝；（2）∵a＝9，b＝，∴a+2b＝9+2×＝9+＝，∴a+2b的平方根为：±＝±．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根，正确掌握相关定义是解题关键．18．（2023春•庄浪县校级期中）若一个正数的平方根分别为3a+1和4﹣2a，求这个正数．【分析】根据这两个平方根互为相反数，列式计算即可．【解答】解：3a+1+4﹣2a＝0，解得a＝﹣5，3a+1＝3×（﹣5）+1＝﹣14，则这个正数为（﹣14）2＝196．【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．19．（2023•大冶市一模）求下列各式中x的取值：（1）2x2﹣8＝0．（2）4（2x﹣1）2＝9．【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；（2）先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出x的值．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，2x2＝8，x2＝4，x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）4（2x﹣1）2＝9，（2x﹣1）2＝，2x﹣1＝，∴x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．20．（2023春•海沧区校级期中）现有一块面积为25dm2的正方形纸片，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12dm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．【分析】设长方形纸片的长是3xdm，宽是2xdm，得到3x•2x＝12，求出x＝，得到长方形纸片的长是3x＝3，由正方形纸片的面积是25dm2，得到正方形纸片的边长是5dm，即可解决问题．【解答】解：他能裁出符合要求的长方形纸片，理由如下：设长方形纸片的长是3xdm，宽是2xdm，由题意得：3x•2x＝12，∴x＝，∴长方形纸片的长是3x＝3，∵正方形纸片的面积是25dm2，∴正方形纸片的边长是5dm，∵3dm＜5dm，∴他能裁出符合要求的长方形纸片．【点评】本题考查算术平方根，关键是由算术平方根的定义，求出长方形纸片的长．21．（2023春•路桥区期中）小波想用一块面积为400平方分米的正方形布料，裁剪出一块面积为300平方分米的长方形布料．（1）正方形布料的边长为20分米；（2）小波能沿着边的方向裁下长宽之比为3：2的长方形吗？请说明理由．【分析】（1）根据工料的面积，利用算术平方根定义求出边长即可；（2）工人师傅不能直接裁下长宽之比为3：2的长方形，理由为：设长方形的长与宽分别为3x分米，2x分米，根据工件的面积求出x的值，判断即可．【解答】解：（1）根据题意得：＝20，则正方形工料的边长为20分米；（2）工人师傅不能直接裁下长宽之比为3：2的长方形，理由为：设长方形的长宽分别为3x分米、2x分米，根据题意得：3x•2x＝300，整理得：x2＝50，解得：x＝，∴3x＝3＞20，2x＝2，则工人师傅不能直接裁下长宽之比为3：2的长方形．故答案为：20．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．22．（2023•六安模拟）判断下面各式是否成立①；②；③．探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝5（2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明．【分析】（1）利用已知得出＝，即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性；（2）利用（1）的方法，可以得出规律，并加以证明即可．【解答】解：（1）①；＝＝2；②；＝＝3；③，＝＝4；∴＝5；（2）∴＝n，证明：＝＝＝n．∴＝n（n≥2）．【点评】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键．23．（2023春•房县期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．【分析】（1）对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9＜25时，③当9＜25≤a时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵＝6，＝4，＝12，∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12．（2）分三种情况讨论：①当9≤a≤25时，＝3，解得a＝0（不合题意）；②当a≤9＜25时，＝3，解得a＝（不合题意）；③当9＜25≤a时，＝3，解得a＝81，综上所述，a的值为81．【点评】本题主要考查了算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．24．（2023春•陵城区期中）如图，长方形ABCD的面积为360cm2，长和宽的比为3：2，在此长方形内沿着边的方向能否并排截出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm，结合长方形ABCD的面积为360cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为147cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论．【解答】解：设长方形的长DC为3xcm，宽AD为2xcm．由题意，得3x•2x＝360，解得：x2＝60，∵x＞0，∴，∴AB＝3cm，BC＝2cm．∵圆的面积为147cm2，设圆的半径为rcm，∴πr2＝147，解得：r＝7．∴两个圆的直径总长为28cm．∵3＜3＝3×8＝24，∴不能并排裁出两个面积均为147cm2的圆．【点评】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小比较，解题的关键是求出圆的半径以及长方形的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合长方形（或圆）的面积公式求出其长边长（或半径）是关键．25．（2023春•民权县期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否