第04讲 认识无理数与平方根 （6种题型） （学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第04讲认识无理数与平方根（6种题型）一、无理数无限不循环小数叫做无理数常见的无理数类型：（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356···（2）看似循环而实际不循环的小数（有规律），如0.1010010001···（相邻两个1之间0的个数逐次加1）；0.12345678···（连续不断地依次写正整数）。（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···二、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根（也叫二次方根）。求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.三、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.四、平方根的性质五、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.【考点剖析】题型一：无理数的概念例1.下列各数中，是无理数的是（）A．﹣6.94 B． C．0 D．【变式】在3.14，2，﹣1.5，π，中，是无理数的数是．题型二、平方根和算术平方根的概念 例2、若2－4与3－1是同一个正数的两个平方根，求的值．【变式1】下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l是l的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【变式2】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（）（2）．（）（3）的平方根是．（）（4）是的算术平方根．（）例3、填空：（1）是的负平方根．（2）表示的算术平方根，．（3）的算术平方根为．（4）若，则，若，则．【变式1】下列说法中正确的有（）：3是9的平方根．②9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④是64的负的平方根．A．1个B．2个C．3个D．4个例4.为何值时，下列各式有意义？(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】使代数式有意义的的取值范围是______________．【变式2】已知，求的算术平方根．题型三、平方根的运算例5、求下列各式的值．(1)；(2)．题型四、利用平方根解方程例6、求下列各式中的x值，（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【变式1】求下列各式中的.（1）（2）；（3）【变式2】求x的值：（x﹣2）2=4．题型五、平方根的综合应用例7.若x，y为实数，且满足．求的值．【变式1】若，求的值．【变式2】已知a2＝16，|﹣b|＝3，解下列问题：（1）求a﹣b的值；（2）若|a+b|＝a+b，求a+b的平方根．例8、小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片使它长宽之比为，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【变式1】如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．（2）求阴影部分的面积．【变式2】小波想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使长方形的长宽之比为3：2．(1)请你帮小波求出长方形纸片的长与宽；(2)小波能用这块正方形纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．题型六：平方根小数点位数移动规律例9.观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．【变式】如果＝3.9522，则＝；＝39.522，则x＝；【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2022秋•禅城区校级期末）下列各数中是无理数的是（）A．2π B． C．0 D．﹣0.10100100012．（2023•韩城市一模）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．3．（2023•东营区校级三模）的算术平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±24．（2023春•雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．15．（2022秋•济南期末）已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则代数式（y﹣x）2018的值为（）A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣20186．（2023•常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．27．（2023春•宝山区期末）有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的数是324时，输出的结果等于（）A．3 B．18 C． D．8．（2022秋•成都期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（）A． B． C．±5 D．9．（2023春•八步区期中）已知a的平方根是±3，则a的值是（）A．±3 B．3 C．±9 D．910．（2022秋•永定区期末）若实数x、y、z满足+（y﹣3）2+|z+6|＝0，则xyz的算术平方根是（）A．36 B．±6 C．6 D．二．填空题（共6小题）11．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝．12．（2023春•赤坎区校级期中）若一正数的两个平方根分别是a﹣7和3a﹣1，则这个正数是．13．（2022秋•桂平市期末）若，则mn的值是．14．（2023•迎江区校级二模）的平方根是．15．（2023春•建阳区期中）已知|x+1|+＝0，则＝．16．（2023春•南昌县期中）若（2x﹣4）2+＝0，则x+2y＝．三．解答题（共11小题）17．（2023春•凉州区期中）已知a的平方根为±3，ab的算术平方根为2．（1）求a，b的值；（2）求a+2b的平方根．18．（2023春•庄浪县校级期中）若一个正数的平方根分别为3a+1和4﹣2a，求这个正数．19．（2023•大冶市一模）求下列各式中x的取值：（1）2x2﹣8＝0．（2）4（2x﹣1）2＝9．20．（2023春•海沧区校级期中）现有一块面积为25dm2的正方形纸片，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12dm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．21．（2023春•路桥区期中）小波想用一块面积为400平方分米的正方形布料，裁剪出一块面积为300平方分米的长方形布料．（1）正方形布料的边长为分米；（2）小波能沿着边的方向裁下长宽之比为3：2的长方形吗？请说明理由．22．（2023•六安模拟）判断下面各式是否成立①；②；③．探究：（1）你判断完上面各题后，发现了什么规律？并猜想：＝（2）用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明．23．（2023春•房县期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值．24．（2023春•陵城区期中）如图，长方形ABCD的面积为360cm2，长和宽的比为3：2，在此长方形内沿着边的方向能否并排截出两个面积均为147cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．25．（2023春•民权县期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？26．（2