第05讲 立方根（5种题型）（学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第05讲立方根（5种题型）【知识梳理】一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、立方根的性质要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【考点剖析】题型一、立方根的概念 例1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1 D．【变式1】我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求1﹣的值．【变式2】已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【变式3】已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．题型二、立方根的计算 例2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【变式】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.题型三、利用立方根解方程例3、求下列各式中x的值：（1）3（x﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【变式1】求x的值：【变式2】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．题型四、立方根实际应用例4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【变式1】把一个长为6cm，宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长．题型五：立方根小数点位数移动规律例5.如果＝3.9522，则＝；＝39.522，则x＝；如果＝2.872，＝1.3333，则＝；＝﹣1333.3，则x＝．【变式1】（2022·浙江台州·七年级期中）已知为整数，为计算它的值，请你思考并回答下列问题.(1)整数1至9中，立方后，个位数字为7的是；(2),,由此可知：是位数；(3)计算，，，再求的值.【变式2】先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？【变式3】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．一．选择题（共10小题）1．（2023•白银二模）一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（）A．±4 B．4 C．±2 D．22．（2023•榆阳区二模）﹣的立方根为（）A．﹣ B． C．﹣ D．3．（2023春•闽侯县期中）下列说法错误的是（）A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．2的算术平方根是 D．﹣1的立方根是﹣14．（2022秋•永年区期末）的平方根是（）A．2 B．﹣2 C． D．±25．（2022秋•遂平县期末）3是27的（）A．算术平方根 B．平方根 C．立方根 D．立方6．（2022秋•市北区校级期末）下列说法：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1；②a2的算术平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④的算术平方根是4；其中，不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2023春•惠城区校级期中）若a2＝4，b3＝27，则a﹣b的值为（）A．﹣1 B．5 C．﹣1或﹣5 D．﹣1或58．（2022秋•东明县校级期末）若4是（8+a）的一个平方根，则a的立方根是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．29．（2023春•大兴区期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.133310．（2023•珠晖区一模）下列说法中，正确的是（）①﹣64的立方根是﹣4；②49的算术平方根是7；③的平方根为±；④的平方根是．A．①② B．②③ C．③④ D．②④二．填空题（共8小题）11．（2022秋•武侯区期末）计算：（）3＝．12．（2023春•息县期中）平方根等于本身的是，算术平方根等于本身的数是，立方根等于本身的数是．13．（2023春•越秀区校级期中）已知＝102，＝0.102，则x＝，已知＝1.558，＝155.8，则y＝14．（2023春•曲阜市期中）﹣27的立方根是．15．（2023•道县一模）一个数的立方根是﹣2，则这个数是．16．（2022秋•鹤壁期末）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是．17．（2023春•江油市月考）已知2x+7y+1的算术平方根是6，8x+3y的立方根是5，则x+y的平方根为．18．（2023春•水磨沟区期末）一个正数a的两个平方根是m+7和2m﹣1，则＝．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•溧水区期末）求x的值：（1）3x2＝9；（2）（x﹣1）3+8＝0．20．（2022秋•莲湖区期末）已知x是36的算术平方根，正数y的平方是100，z是64的立方根，求x+y﹣z的值．21．（2022秋•渌口区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．（1）求a和x的值；（2）求4x+9a的平方根和立方根．22．（2023春•漳平市期中）已知1﹣2a的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是﹣2，求a+b+3的平方根．23．（2023春•樟树市期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题．（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的表面积．24．（2023春•景县期中）已知：x的平方根是a+3与2a﹣15，且＝3（1）求a，b的值：（2）求x的值；（3）求a+b﹣1的立方根．25．（2023春•庐阳区校级期中）如图，一个正方体铁块放入圆柱形玻璃容器后，完全没入容器内水中，使容器中的水面升高2cm，如果容器的底面直径是12cm，求正方体铁块的棱长（π取3）．26．（2023春•雷州市校级期中）已知2a﹣1的平方根是±3，2是3a+b﹣1的