第06讲 估算和用计算器开方（3种题型）（学生版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

第06讲估算和用计算器开方（3种题型）【知识梳理】一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．三．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．【考点剖析】一．实数大小比较（共16小题）1．（2023•福鼎市模拟）在实数，π，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C． D．π2．（2023春•梁山县期中）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（）A． B． C． D．3．（2023•鄞州区校级模拟）[a]表示不超过a的最大整数．若实数a满足方程，则[a]＝（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022秋•海口期末）比较2，3，的大小，正确的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜5．（2022秋•和平区校级期末）已知，则a与b的大小关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．无法确定6．（2023•光山县三模）写出一个大于5小于6的无理数：．7．（2023春•富川县期中）比较大小：﹣+1﹣（填“＞”、“＜”或“＝”）8．（2023春•龙子湖区期中）比较大小：（填“＞”“＜”“＝”）．9．（2023•雁塔区校级模拟）比较大小：4（填“＞”，“＜”或“＝”）．10．（2023•临沭县一模）比较大小．11．（2022秋•宜阳县期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：2，，﹣，0，﹣1.7．12．（2022秋•晋州市期中）已知如下信息：①实数a有两个不同的平方根，分别是x﹣1和7﹣3x；②a+b的立方根是3；③c的相反数是﹣5．请解决以下问题：（1）求出a，b，c的值；（2）比较与c的大小，直接写出结果．13．（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为＞4，所以﹣22，所以（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：﹣＝，因为19＞42＝16，所以﹣40，所以0，所以（填“＞”或“＜”）．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．14．（2022春•洮北区期末）观察表格，回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝，y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝8.973，若＝897.3，用含m的代数式表示b，则b＝；（3）试比较与a的大小．当时，＞a；当时，＝a；当时，＜a．15．（2022秋•方城县月考）（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：，；（2）由以上可知：①＝，②＝；（3）计算：．（结果保留根号）16．（2021秋•正定县期中）已知+1在两个连续的自然数a和a+1之间，1是b的一个平方根．（1）求a，b的值；（2）比较a+b的算术平方根与的大小．二．估算无理数的大小（共19小题）17．（2023春•鼓楼区校级期末）比大且比小的整数是（）A．1 B．2 C．3 D．418．（2023春•梁子湖区期末）一个正方形的面积是60，那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间19．（2023•台儿庄区模拟）正整数a、b分别满足，，则ba＝（）A．16 B．9 C．8 D．420．（2023春•合江县期中）绝对值小于的所有正整数的和是．21．（2023春•浦东新区校级期末）在两个连续的整数a和b之间（a＜b），则ba＝．22．（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为a，则a（a+4）＝．23．（2022秋•永兴县期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，，[4.1]＝4，则满足，则n的最大整数为．24．（2023•海淀区校级三模）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝．25．（2023春•孝昌县期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值．26．（2023春•临颍县期中）若6﹣的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值为27．（2022秋•绥宁县期末）已知的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣的值为．28．（2023春•忠县期末）已知实数a的平方根为2x+1，1﹣7x，的整数部分为b．（1）求a，b的值；（2）若的小数部分为c，求25a﹣（b+c）2的平方根．29．（2023春•常州期末）如图1，已知纸片A是边长为am的正方形，纸片B是相邻两边长分别为xm、ym的长方形，且纸片A、B的周长相等．​（1）当α＝5时．①若x＞6，求y的取值范围；②如图2，以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D，若纸片B的面积比纸片A的面积小10cm2，求C、D的面积之和；（2）如图3，将纸片A、B叠合在一起，记阴影部分的周长为M．①M＝（用含x、a的代数式表示）；②若关于x的不等式M＜12恰有3个正整数解，则a的取值范围是．30．（2023春•固始县期末）下面是小李同学探索的近似数的过程：∵面积为107的正方形边长是，且10＜＜11，∴设＝10+x，其中0＜x＜1，画出如图示意图，∵图中S正方形＝102+2×10•x+x2，S正方形＝107∴102+2×10•x+x2＝107当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即≈10.35．（1）的整数部分是；（2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）31．（2023春•鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．32．（2023春•前郭县期中）已知a﹣4的立方根是1，3a﹣b﹣2的算术平方根是3，的整数部分是c，求2a﹣3b+c的平方根．33．（2023春•无为市期中）根据表格解答下列问题：x1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914x2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196（1）190.44的平方根是．（2）≈，＝．（3）若13.5＜＜13.6，求满足条件的整数n的值．34．（2023•章贡区校级模拟）已知5a﹣2的立方根是﹣3，2a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a+b+c的平方根．35．（2023春•仙游县期中）观察：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[π]＝3，填空：[+2]＝；[5﹣]＝．（2）如果5+的小数部分为a，5﹣的小数部分为b，求a2﹣b2的值．三．计算器—数的开方（共8小题）36．（2021秋•郏县期中）利用计算器求的值，正确的按键顺序为（）A． B． C． D．37．（2020•安丘市二模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“yx”，“5”，“＝”键，若小颖相继按“”，“4”，“yx”“3”，“＝”键，则输出结果是（）A．6 B．8 C．16 D．4838．（2022秋•商水县月考）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如表：x16.216.316.416.516.616.716.816.917.0x2262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289根据表求得282.24的平方根是．39．（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向移动位；（2）运用你发现的规律，探究下列问题：①若≈1.910，≈6.042，则≈；②已知x2≈0.000365，则x≈．40．（2021秋•通川区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：………0.250.79062.57.9062579.06250…根据以上规律，若，＝4.11，则．41．（2023春•兴宁区校级期末）阅读下面材料，解答问题：【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动．【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：………0.250.7912.57.912579.1250…（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动位：（2）已知，请运用上述规律直接写出各式的值：≈，．（3）你能根据的值说出的值是多少吗？请说明理由．42．（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：＝＝＝＝（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？（3）试运用发现的规律猜想：＝，并通过计算器验证你的猜想．43．（2022•惠阳区校级开学）用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）：（1）；（2）．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知a为整数，且满足，则a等于（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期中）用计算器求的按键顺序是（

）．A．8=S⇔D B．8=S⇔DC．=S⇔D D．8=S⇔D3．（2023·全国·八年级假期作业）估计12的算术平方根介于（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间4．（2022秋·全国·八年级阶段练习）如果整数a满足，则a的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023春·广东韶关·八年级统考期中）张华是初三的一名男生，今年三月，他参加了招飞体检测评，他的身高、体重和视力等各项指标均达到了合格标准，你认为他的身高和下面哪一个数值最接近？（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．（2023春·河南安阳·八年级统考期中）一个正方形的面积是21，把此正方形的边长增加1，则新的正方形的边长范围是（

）A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间7．（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）估计的值（

）A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间8．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）面积为20的正方形的边长为，则的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．4 B．5 C．6 D．710．（2023春·安徽亳州·八年级统考期末）满足的整数x可以是（

）A． B． C．2 D．3二、填空题11．（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）已知，且n为正整数，则___________．12．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）若a和b为两个连续整数，且，那么___________，___________．13．（2022秋·河南周口·八年级校考阶段练习）若的底AB为4，底边AB上的高为5，面积为S，则______4（填“<”、“=”或“>”）．14．（2022秋·八年级课时练习）若，且a、b为两个连续的整数，c为这四个数，，，中的唯一有理数，则__________．15．（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为______.16．（2021春·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）设的小数部分为，则的值是________．三、解答题17．（2022秋·八年级课时练习）已知，，，，……(1)填空：________；(2)已知，用含的代数式表示，则________；(3)根据规律写出与的大小情况．18．（2022秋·陕西榆林·八年级统考期中）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决下面的问题：(1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为___________．(2)若的整数部分为，小数部分为，，求的值．19．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）已知是的立方根，是的整数部分，求的平方根.20．（2023·全国·八年级假期作业）如图，把两个面积均为的小正方形分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形．(1)求大正方形的边长．(2)若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．若能，试求剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．21．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．(1)求，，的值；(2)求的平方根．22．（2023·江苏·八年级假期作业）用计算器求下列各式的值（精确到）；(1)；(2)；(3)；(4)．23．（2023春·山东潍坊·八年级高密市立新中学校考阶段练习）如图图形，每个小正方形的边长为1．(1)求图中阴影部分的面积和边长；(2)已知为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求：①，的值；