第21讲 新八年级暑期成果评价卷（测试范围：勾股定理、实数、位置与坐标、一次函数）（教师版）-新八年级数学暑假衔接（北师大）

北师大版新八年级暑期成果评价卷测试范围：勾股定理、实数、位置与坐标、一次函数一．选择题（共10小题）1．直角三角形中有两边的长为3和4，那么第三边的长有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分3、4为直角边和3为直角边4为斜边两种情况利用勾股定理求出第三边即可得出结论．【解答】解：当3、4为两直角边时，斜边的长为：＝5；当3为直角边，4为斜边时，另一直角边长为：＝．综上可知：第三边的长为：5或．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是分两种情况利用勾股定理求出第三边．本题属于基础题，难度不大，解决该题时，不需求出第三边，只需根据分类的情况即可得出结论．2．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．【解答】解：若一个数的平方根等于它本身，则这个数是：0．故选：A．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．3．一个数的平方根是a﹣1和a+3，则这个数为（）A．0 B．﹣1 C．2 D．4【分析】依据平方根的意义：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，列式计算求出a的值，再计算该数．【解答】解：由平方根的定义可知：a﹣1+a+3＝0，a＝﹣1，所以a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，则这个数为4，故选：D．【点评】本题考查了平方根，熟练掌握：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．4．若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（）A．6 B．36 C．64 D．8【分析】根据算术平方根的概念分别求出两个正方形的边长，根据勾股定理求出正方形A的边长，求出正方形A的面积．【解答】解：面积为100的正方形的边长为10，面积为64的正方形的边长为8，由勾股定理得，正方形A的边长＝＝6，∴正方形A的面积为36，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．的平方根是（）A．﹣4 B．±2 C．±4 D．4【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义进行解答即可．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，∴的平方根是±2．故选：B．【点评】本题考查了平方根的定义，注意先求出＝4再求平方根，这也是本题容易出错的地方．6．如果A（1﹣a，b+1）关于y轴的对称点在第三象限，那么点B（1﹣a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：A（1﹣a，b+1）关于y轴的对称点在第三象限，得（1﹣a，b+1）在第四象限，1﹣a＞0，b+1＜0，1﹣a＞0，b＜﹣1，（1﹣a，b）在第四象限，故选：D．【点评】本题考查了关于y对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、1.5cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1.5cm、2cm、2.5cm【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能够构成直角三角形，从而可以判断哪个选项是符合题意的．【解答】解：42+52≠62，故选项A不符合题意；1+1.5＜3，故选项B中的三条线段不能构成三角形，故选项B不符合题意；22+32≠42，故选项C不符合题意；1.52+22＝2.52，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确勾股定理的逆定理的内容，由勾股定理的逆定理可以判断三角形的形状．8．已知直线y＝﹣2x+3不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据直线的解析式和一次函数的性质，可以判断该直线经过哪几个象限，不经过哪个象限．【解答】解：∵直线y＝﹣2x+3，k＝﹣2，b＝3，∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．9．已知x轴上的点P到原点的距离为3，则点P的坐标为（）A．（3，0） B．（3，0）或（﹣3，0） C．（0，3） D．（0，3）或（0，﹣3）【分析】根据到原点的距离易得横坐标的可能的值，进而根据x轴上点的纵坐标为0可得可能的坐标．【解答】解：∵点P到y轴的距离为3，∴点P的横坐标为±3，∵在x轴上，∴纵坐标为0，∴点P的坐标为（3，0）或（﹣3，0），故选：B．【点评】本题考查了点的坐标的相关知识；掌握x轴上点的特点是解决本题的关键．10．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定【分析】先根据一次函数y＝kx+b（k＜0）判断出此函数的增减性，再根据x1＜x2即可得出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＜0），∴此函数中y随x的增大而减小，∵x1＜x2，∴y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．比较2，，的大小为＞2＞．【分析】让各个数字都变成六次方的形式即可进行比较．【解答】解：∵26＝64，（）6＝125，（）6＝49，∴＞2＞，故答案为：＞2＞．【点评】本题主要考查实数比较大小，利用幂的乘方对原数进行变形是解题的关键．12．如图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是﹣．【分析】根据勾股定理求出长方形对角线的长，得到OA的长，从而得到点A表示的数．【解答】解：根据勾股定理得＝，∴点A表示的数为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出长方形对角线的长是解题的关键．13．点P（2，6）到x轴的距离为6个单位长度．【分析】求得6的绝对值即为点P到x轴的距离．【解答】解：∵点P到x轴的距离为其纵坐标的绝对值即|6|＝6，∴点P到x轴的距离为6．故答案为：6．【点评】考查了点的坐标，用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．14．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝45°，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是2．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交AM于点D，此时BD+DE＝CE最短，根据AC＝4，∠BAC＝45°，通过解直角三角形即可得出CE＝2，此题得解．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交AM于点D，如图所示．∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴BD＝CD，∴BD+DE＝CD+DE．∵CE⊥AB于点E，∴此时BD+DE＝CE最小．∵AC＝4，∠BAC＝45°，∴CE＝AC＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及轴对称里面的最短路线问题，解题的关键是找出点D、E的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点到直线垂线段最短找出点的位置是关键．15．已知实数x，y满足，则xy2的平方根为±6．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x、y的值，最后，再进行计算即可．【解答】解：∵实数x，y满足，∴x＝2，y＝3．∴xy2＝2×18＝36．∴xy2的平方根为±6．故答案为：±6．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．16．已知的整数部分是a，小数部分是b，则ab的值为．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，再进一步表示出其小数部分即可解决问题．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3；所以a＝2，b＝﹣2；故ab＝2×（﹣2）＝2﹣4．故答案为：2﹣4．【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上一动点，将△CDE沿DE折叠到△C'DE，连接AC'，当△AEC'是直角三角形时，CE的长为或5．【分析】分两种情形：如图1中，当∠EC′A＝90°时，如图2中，当∠AEC′＝90°时，分别求解即可．【解答】解：如图1中，当∠EC′A＝90°时，∵∠C＝∠DC′E＝90°，∴∠DC′E+∠EC′A＝180°，∴D，C′，A共线，∵CD＝DB＝5，AC＝12，∴AD＝＝＝13，设CE＝EC′＝x，则AE＝12﹣x，在Rt△AEC′中，则有（12﹣x）2＝x2+（13﹣5）2解得x＝，∴CE＝．如图2中，当∠AEC′＝90°时，∠CED＝∠DEC′＝45°，∵∠C＝90°，∴∠CDE＝∠CDE＝45°，∴CD＝CE＝5，综上所述，满足条件的CE的值为或5．【点评】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．18．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，1），点P是x轴正半轴上一动点．给出4个结论：①线段AB的长为5；②在△APB中，若AP＝，则△APB的面积是3；③使△APB为等腰三角形的点P有3个；④设点P的坐标为（x，0），则+的最小值为4．其中正确的结论有③④．【分析】①利用勾股定理可以计算AB的长；②如图2，作辅助线，利用面积差可得△APB的面积；③如图3，分别以AB为腰和底边作等腰三角形有三个，分别画图可得；④如图4，先作垂线段BD，由勾股定理可知：就是PA的长，就是PB的长，所以+的最小值就是PA+PB的最小值，根据轴对称的最短路径问题可得结论．【解答】解：①如图1，过B作BC⊥OA于C，∵点A（0，3）、点B（4，1），∴AC＝3﹣1＝2，BC＝4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝2，故①结论不正确；②如图2，在Rt△APO中，AO＝3，AP＝，∴OP＝＝2，过B作BD⊥x轴于D，∴BD＝1，PD＝4﹣2＝2，∴S△APB＝S梯形AODB﹣S△AOP﹣S△PDB，＝×OD×（BD+AO）﹣AO•OP﹣PD•BD，＝×4×（1+3）﹣×3×2﹣×2×1，＝8﹣3﹣1，＝4，故②结论不正确；③如图3，i）以A为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点P1，得△AP1B是等腰三角形；ii）作AB的中垂线，交x轴的正半轴有一交点P2，得△AP2B是等腰三角形；iii）以B为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点P3，得△AP3B是等腰三角形；综上所述，使△APB为等腰三角形的点P有3个；故③结论正确；④如图4，过B作BD⊥x轴于D，∵P（x，0），∴OP＝x，PD＝4﹣x，由勾股定理得：AP＝＝，PB＝，作A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，则PA＝PA'，∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时AP+PB的值最小，过B作BC⊥OA于C，则A'C＝3+3﹣2＝4，BC＝4，由勾股定理得：A'B＝＝4，∴AP+PB的最小值是4，即设点P的坐标为（x，0），则+的最小值为4．故④结论正确；综上所述，其中正确的结论有：③④；故答案为：③④．【点评】本题考查了轴对称的最短路径问题、等腰三角形的判定、图形与坐标特点、勾股定理，是一个不错的综合题，难度适中，有等腰三角形和轴对称的作图问题，也有求最值问题，第4问中，熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键．三．解答题（共6小题）19．计算：（1）4+﹣（2）﹣÷+（1﹣）2【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算，然后合并即可．【解答】（1）解：原式＝4+3﹣2＝5；（2）解：原式＝2﹣+1﹣2+3＝2﹣+4﹣2＝4﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．阅读理解：已知x＝+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：根据x＝+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：（1）已知x＝﹣2，求代数式x2+4x﹣5的值；（2）已知x＝，求代数式x3+x2+1的值．【分析】（1）仿照阅读材料解答即可；（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝﹣2，∴x+2＝，∴（x+2）2＝（）2，∴x2+4x＝﹣1，∴x2+4x﹣5＝﹣6；（2）∵x＝，∴2x+1＝，∴（2x+1）2＝（）2，变形整理得：x2+x＝1，∴x3+x2+1＝x（x2+x）+1＝x+1＝+1＝．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．21．观察下列各式：＝1+，＝1+，＝1+，……请利用你所发现的规律，（1）计算+++…+，其结果为9．（2）请用正整数n表示第n个等式：+…+．（3）计算+++…+．【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【解答】解：（1）由题意可得：+++…+＝1++1++1+++…+1+＝9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝9+＝9．故答案为：9；（2）第n个等式：，故答案为：；（3）原式＝1++1++1+++…+＝n﹣（1﹣+﹣+﹣+…++）＝．【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝8，S△ABE＝40．求BC的长度．【分析】根据在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝8，S△ABE＝40，可以计算出AB的长，然后根据勾股定理即可得到BC的长．【解答】解：∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE＝8，S△ABE＝40，∴＝40，即＝40，解得，AB＝10，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∴BC＝．【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离y1（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系：折线BCDA表示小亮与甲地的距离y2（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）小明步行的速度是50米/分钟，小亮骑自行车的速度是150米/分钟；（2）线段OA与BC相交于点E，求点E坐标；（3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值．【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以得到小明步行的速度和小亮骑车的速度；（2）根据（1）中的结果，可以计算出点E坐标；（3）根据题意，可知有三种情况，两人相距100米，然后分别计算出x的值即可．【解答】解：（1）由图可知，小明步行的速度为1500÷30＝50（米/分钟），小亮骑车的速度为1500÷10＝150（米/分钟），故答案为：50，150；（2）点E的横坐标为：1500÷（50+150）＝7.5，纵坐标为：50×7.5＝375，即点E的坐标为（7.5，375）；（3）小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14．理由：两人相遇前，（50+150）x+100＝1500，得x＝7，两人相遇后，（50+150）x﹣100＝1500，得x＝8，小亮从甲地到追上小明时，50x﹣100＝150（x﹣10），得x＝14，即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，直线y＝﹣x+4分别交x轴，y轴于点C，A，点B在x轴的负半轴上，且OB＝OC，作直线AB．（1）求直线AB的解析式；（2）点P在线段AB上（不与点A重合），过点P作PQ∥x轴交AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，在直线AB的右侧以线段AP为斜边作等腰直角△ADP，连接OD，以线段OD为直角边作等腰直角三角形ODE，且DO＝DE，且点E在直线OD的右侧，则点E的坐标为（t+4，2t+4）．