第2章 实数全章复习与测试（原卷版）

第2章实数全章复习与测试【知识梳理】一、平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论二、实数有理数和无理数统称为实数．

1.实数的分类要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.三、二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.要点诠释：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.四、二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.【考点剖析】一．平方根（共2小题）1．（2023•常德三模）的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．22．（2023春•滨城区期中）已知：2m+1和m﹣4是正数a的两个平方根，则a﹣m的值是．二．算术平方根（共2小题）3．（2023春•汉阳区期末）若3a﹣22和2a﹣3是实数m的平方根，则的值为（）A． B． C． D．4．（2023•韩城市一模）9的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．三．非负数的性质：算术平方根（共3小题）5．（2023春•常州期末）已知，则a+b的值是（）A．1 B．3 C．5 D．66．（2023春•雷州市校级期中）若，则（x+y）2的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．17．（2022秋•成都期末）若x，y为实数，且（x﹣1）2与互为相反数，则x2+y2的平方根为（）A． B． C．±5 D．四．立方根（共2小题）8．（2023春•大兴区期末）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.13339．（2023•榆阳区二模）﹣的立方根为（）A．﹣ B． C．﹣ D．五．计算器—数的开方（共1小题）10．（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表：n0.00160.16161600160000…0.040.4440400…（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小数点就向移动位；（2）运用你发现的规律，探究下列问题：①若≈1.910，≈6.042，则≈；②已知x2≈0.000365，则x≈．六．无理数（共2小题）11．（2023春•梁平区期中）在下列各数：3.14，﹣π，，、、中无理数的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022秋•衡山县期末）在实数，，，，3.14中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个七．实数（共2小题）13．（2023春•东昌府区期中）在实数，，，0，中，有理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：﹣2.4，π，2.022，，﹣0.15，0，﹣10，﹣1.1010010001…．整数集合：{}；负分数集合：{}；正实数集合：{}；无理数集合：{}．八．实数的性质（共2小题）15．（2021秋•莱西市期末）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，与互为相反数．求a+2b的算术平方根．16．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．九．实数与数轴（共1小题）17．（2022春•宁明县期末）如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．（1）请你写出数x的值；（2）求（x﹣）2的立方根．一十．实数大小比较（共2小题）18．（2022秋•海口期末）比较2，3，的大小，正确的是（）A．＜3＜2 B．2＜＜3 C．＜2＜3 D．2＜3＜19．（2023春•龙子湖区期中）比较大小：（填“＞”“＜”“＝”）．一十一．估算无理数的大小（共2小题）20．（2023春•合江县期中）绝对值小于的所有正整数的和是．21．（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为a，则a（a+4）＝．一十二．实数的运算（共3小题）22．（2023春•东莞市期中）计算：．23．（2022秋•泰兴市期末）（1）计算：；（2）求3（x﹣1）3＝81中的x的值．24．（2022秋•亭湖区期末）计算：．一十三．二次根式的定义（共1小题）25．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是（）A． B． C． D．一十四．二次根式有意义的条件（共1小题）26．（2022秋•岳麓区校级期末）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A． B． C．x≥ D．x≤一十五．二次根式的性质与化简（共3小题）27．（2023春•合肥期末）化简的结果是（）A．3﹣π B．3+π C．﹣3﹣π D．﹣3+π28．（2022秋•开福区校级期末）在学习二次根式时，小明同学发现了两个非常有趣的式子，分别把它们定义为“L运算”和“X运算”．其中，．为了使二次根式有意义，我们规定a为实数，且满足a2≥2021．（1）求证：L（a）•X（a）＝2021；（2）若实数x满足L（x）＝43，求x的值；（3）已知实数x，y满足L（x）•L（y）＝2021，t为任意实数，求代数式的最小值．29．（2022秋•永定区期末）阅读下列例题．在学习二次根式性质时我们知道例题求的值．解：设x＝，两边平方得：，即，x2＝10∴x＝．∵＞0，∴＝．请利用上述方法，求的值．一十六．最简二次根式（共1小题）30．（2023春•路北区期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．一十七．二次根式的乘除法（共3小题）31．（2023春•兴县期中）若成立，则（）A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜632．（2023春•密云区期末）计算：2．33．（2022秋•零陵区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝1+2+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．一十八．二次根式的加减法（共2小题）34．（2023春•吉林月考）计算：．35．（2023春•抚松县期中）计算：．一十九．二次根式的混合运算（共2小题）36．（2023春•宿城区期末）计算：．37．（2023春•海林市校级期中）（1）观察下列各式的特点：，，，，…根据以上规律可知：（填“＞”“＜”或“＝”）．（2）观察下列式子的化简过程：，，＝，…根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程．（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||．二十．二次根式的化简求值（共2小题）38．（2023春•泰安期中）（1）当时，求代数式的值．（2）当，，求代数式a2﹣3ab+b2的值．39．（2023春•梁山县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即．∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．【过关检测】一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（

）A． B． C． D．2．估计+4的值（

）A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间3．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③任何实数都有立方根；④的平方根是±4，其中正确的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．△ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（

）A．65 B．60 C．30 D．266．若，则的平方根为（

）A．±2 B．4 C．2 D．±47．已知，则ab＝（）A．1 B． C．4 D．8．阅读下面的解题过程：∵①，②．∴③．以上推导过程中开始错误的一步是()A．① B．② C．③ D．没有错误9．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．10．设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果可能是（

）A．388947 B．388944 C．388953 D．388949二、填空题11．如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．12．若|a|＝，则的相反数是____．13．观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是___．14．计算的结果是________．15．的整数部分是________，小数部分是________．16．若是正整数，则整数的最小值为__________________．17．一个正数的平方根分别是和，则__．18．计算________．三、解答题19．把下面个各数填入相应的大括号内﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，﹣，﹣15%，．负数集合：{…}，非负数集合：{…}，整数集合：{…}，负分数集合：{…}．20．计算题：（1）（2）.21．已知：与