第05讲 勾股定理 单元综合检测（解析版）

第05讲勾股定理单元综合检测一、单选题1．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（

）A．7 B．8 C．20 D．65【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理解答即可．解：∵直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，∴另一条直角边2，∴另外一边为8．故选：B．【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确把握勾股定理是解题关键．2．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C． D．，，【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．A、∵，，，∴，，，不能满足，∴A不能组成直角三角形.B、92+402=412，故能构成直角三角形；C、设a=k，b=k，c=，∵k2+k2=，∴a2+b2=c2，故能构成直角三角形；D、（）2+62=（）2，故能构成直角三角形．故选A．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】把各图中每一部分的面积和整体的面积分别列式表示，根据每一部分的面积之和等于整体的面积，分别化简，再根据化简结果即可解答.解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为

A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】A【解析】【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.由题意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的宽度为（米）.故选.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.5．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（

）A．4cm B．4.75cm C．6cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度．解：∵AC＝6cm、BC＝8cm，在△ABC中，由勾股定理可知：=10，∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，故E为AB的中点，∴AE=BE=5，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键．6．如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（

）A． B． C． D．无法判断【答案】C【解析】【分析】根据圆的面积公式求出三个半圆的面积，由勾股定理求出三边之间的关系，即可得出答案．∵，同理，∵由勾股定理得：，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．7．如图，RtABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DEAB交AC于点E，已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（）A．7 B．8 C． D．【答案】D【解析】【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，根据勾股定理求出的长度，然后根据勾股定理计算即可．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴，∵DEAB，∴，∴，∴，∵CE＝3，CD＝4，∠C＝90°，∴，∴，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边判定等腰三角形，勾股定理等知识点，根据题意得出是解本题的关键．8．如图，在中，，，是线段上的动点（不含端点、）．若线段长为正整数，则点的个数共有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．解：如图：过A作AE⊥BC于E，∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴当AE⊥BC，EB=EC=4，∴AE=，∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C).若线段AD的长为正整数，∴3⩽AD<5，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，在靠近点B和点C端各一个，故符合条件的点D有3点.故选B.【点睛】本题主要考察了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.9．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．14S B．13S C．12S D．11S【答案】B【解析】【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题．解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，∵AM＝2EF，∴2a＝2b，∴a＝b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2＝S，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝13b2＝13S，故选B．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用.10．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD−DM＝3−1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴点D到BC的距离为．故答案为：C．【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题11．△ABC的三条边长、、满足，，则△ABC____直角三角形（填“是”或“不是”）【答案】不是【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出的值，运用勾股定理逆定理验证即可．解：∵，∴，，∴，则，∴，∴△ABC不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出的值是解本题的关键．12．一个三角形的三边长度之比为15：8：17，则这个三角形的最大角是________度．【答案】90【解析】【分析】一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．解：设三角形的三边分别为8x，15x，17x，∵（8x）2+（15x）2=（17x）2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，最大角是90°．故答案为：90．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．13．在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为___cm2．【答案】126或66【解析】【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠B为钝角已知AB、AC的值，利用勾股定理即可求出BC的长，利用三角形的面积公式得结果．解：当∠B为锐角时（如图1），在Rt△ABD中，BD==5(cm)，在Rt△ADC中，CD==16(cm)，∴BC=21，∴S△ABC=•BC•AD=×21×12=126(cm2)；当∠B为钝角时（如图2），在Rt△ABD中，BD==5(cm)，在Rt△ADC中，CD==16(cm)，∴BC=CD-BD=16-5=11(cm)，∴S△ABC=•BC•AD=×11×12=66(cm2)，故答案为：126或66．【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．14．如图，有一块直角三角形纸片，直角边AC＝3cm，BC＝4cm，将直角边AC沿AD所在的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为___________cm．【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长．解：，，，，由折叠的性质得：，，，，设，则，在中，，即，解得：，，故答案为．【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理列方程解决问题．15．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．【答案】9．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．16．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形________（填“是”或者“不是”）奇异三角形．【答案】是【解析】【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解．解，

∴该三角形是奇异三角形．故答案是：是．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键．17．如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D．若BD＝2，CD＝，则线段AB的长为_____．【答案】【解析】【分析】过点C作交AD于点E，构造全等三角形，表示出AE、CE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度，继而利用勾股求AB的长度即可．如图，BC与AD的交点记作点F，过点C作交AD于点E则∠ACB＝90°即AD⊥BD在和中，又AC＝BCBD＝2，CD＝在直角中，由勾股定理得在直角中，由勾股定理得故答案为：．【点睛】本题主要考查了添加辅助线构造全等三角形、全等三角形的判定和性质及勾股定理得运用，准确添加辅助线是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．【答案】4或3【解析】【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．解：如图1，当∠AA′C=90°时，∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=AC=4，如图2，当∠ACA′=90°时，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，设PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，故答案为：4或3．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．三、解答题19．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D．(1)ABC的面积是．(2)求BC、AD的长．【答案】(1)150(2)BC=25，AD=12【解析】【分析】（1）根据题意及三角形面积公式可直接进行求解；（2）根据勾股定理可得BC的长，然后根据等积法可求AD的长．(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴；故答案为150；(2)解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴，∵AD⊥BC，∴，∴．【点睛】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理及等积法是解题的关键．20．如图，已知．（1）说出数轴上点所表示的数；（2）比较点所表示的数与的大小．【答案】（1）点表示；（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理请求出，即可得出答案；（2）求出，即可得出答案．解：（1），即数轴上点所表示的数是；（2），，即比较点所表示的数大于．【点睛】本题考查了数轴，勾股定理，估算无理数的大小等知识点，解题的关键是能求出的长度．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是CA的延长线上一点，连接BD．(1)若AC＝8，AD＝17，BD＝15，判断AB与BD的位置关系，并说明理由；(2)若∠D＝28°，∠DBC＝121°，求∠DAB的度数．【答案】(1)AB⊥BD，理由见解析(2)62°【解析】【分析】（1）根据AB=AC得到AB，再根据AD，BD的长，利用勾股定理的逆定理证明∠ABD=90°，即可得解；（2）利用三角形内角和求出∠C，根据等边对等角求出∠ABC，再利用三角形外角的性质得到结果．(1)解：∵AB＝AC，AC=8，∴AB=8，∵AD=17，BD=15，∴，即，∴∠ABD=90°，即AB⊥BD；(2)∵∠D=28°，∠DBC=121°，∴∠C=180°-28°-121°=31°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=31°，∴∠DAB=∠C+∠ABC=62°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练利用等腰三角形的性质得到相等的角．22．如图，在中，，，，，的面积为35．(1)求的长；(2)求的面积．【答案】(1)(2)的面积24【解析】【分析】（1）由题意知，计算求解即可；（2）由，可知，由计算求解即可．(1)解：由题意知解得∴的长为10．(2)解：在中，，∴∴∵∴的面积为24．【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理．解题的关键在于求出三角形的底和高．23．如图，在中，，于点，设，，，.求证：（1）.（2）.（3）以，，为边的三角形是直角三角形.【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）要证明，只需证=1即可，在直角△ABC中根据BD2+CD2=BC2求证．（2）根据三角形的面积公式求出ab=ch，利用勾股定理可得a2+b2=c2，再利用完全平方公式整理即可得证；（3）先分别求出（a+b）2，h2，（c+h）2的值，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．证明：(1)在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,则△ACB∽△ADC∽△CDB，,即，∵====1，∴；(2)∵CD⊥AB,∠ACB=90∘，∴S△ABC=ab=ch，∴ab=ch，∵∠ACB=90°，∴a2+b2=c2，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2，∵a、b、c、h都是正数，∴(a+b)2<(c+h)2，∴a+b<c+h；(3)∵(c+h)2=c2+2ch+h2；h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a2+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面积公式推导)，∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，∴(c+h)2=h2+(a+b)2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质.24．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（2）如图2，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】（1）cm；（2）13cm【解析】【分析】（1）将长方体展开，利用勾股定理解答即可；（2）将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解：（1）分三种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是15cm和4cm，则所走的路线是=cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是16cm和3cm，所以走的路线是=cm，第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是12cm和7cm，所以走的路线是=cm，所以最短路程为cm；（2）∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12-3+A′E=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==13（cm）．．【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．25．如图，在中，点、分别在边、上，连接，过点作交于点，连接．(1)直接填空：若，，则的面积为__________；(2)若，，，且，．①试判定的形状，并说明理由；②若点为边的中点，试猜想、、之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)①直角三角形，见解析；②，见解析【解析】【分析】（1）证明△DEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求出ED，再根据三角形面积公式求解即可；（2）①运用因式分解法判断出，从而可得结论；②延长至点，使得，根据SAS证明，可得AG=BF，再证明EG=EF，即可证明出结论．(1)∵∴∵∴∴∴∴是等腰直角三角形∴又∵∴，即∴故答案为：；(2)①的形状是直角三角形，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，即.∴是以为斜边的直角三角形.②、、之间的数量关系为，理由如下：如图，延长至点，使得∵点为边的中点，∴.在和中，∵，，，∴.∴，.由①，得：.∴，∴，即.∴.∵，，∴，∴.【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．26．如图1，在长方形ABCD中，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点．给出下列三个关系：①∠GAF＝∠F，②AC＝AG，③∠ACB＝3∠BCE．(1)选择其中两个作为条件，一个作为结论构成一个真命题，并说明理由；(2)在（1）的情况下，∠BCE＝22.5°．①当AD＝1时，求点G到直线AF的距离；②在△ACE中，易得2∠CAE+∠ACE＝90°．像这样，一个三角形中有两个内角α、β满足α+2β＝90°，称这个三角形为“近直角三角形”．如图2，在Rt△PMN中，∠PMN＝90°，PM＝6，MN＝8．在线段MN上找点Q，使得△PQN是“近直角三角形”，求MQ的值．【答案】(1)选①②作为条件，③作为结论，见解析；(2)①1；②3或【解析】【分析】（1）选①②作为条件，③作为结论；根据长方形的性质得到，推出∠F=∠BCE，由AC＝AG，得到∠ACG=∠AGC，理由三角形外角的性质得到∠ACF=2∠F，由此得到∠ACB＝3∠BCE．（2）①过点G作GH⊥AF于H，证明△ACB≌△FGH，推出GH=CB=AD=1；②当∠作∠MPN的角平分线，交MN于点Q，过点Q作QR⊥NP于R，由∠N+∠MPN=90°，证得∠N+2∠NPQ=90°，得到△PQN是“近直角三角形”，利用勾股定理求出NP，证明△MPQ≌△RPQ，推出PR=PM=6，MQ=RQ，结合