北师大版初中数学七年级上册《代数式》单元学历案设计（教案）

北师大版初中数学七年级上册《代数式》单元学历案设计（教案）

一、单元整体规划与设计理念

（一）设计依据与指导思想

本单元教学设计严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“数与代数”领域在第三学段（7-9年级）的具体要求，核心是发展学生的符号意识、运算能力和模型观念。教学设计以“大概念”为统领，将“代数式”定位为从算术思维迈向代数思维的关键桥梁与核心载体。设计遵循“以学为中心”的理念，采用“学历案”作为呈现形式，旨在清晰呈现学生“何以学会”的完整学习历程，实现“教-学-评”的一致性。设计融入了项目式学习（PBL）与问题链驱动的探究模式，致力于在真实或模拟的数学情境中，培养学生抽象、概括、推理和建模的高阶思维能力，为其后续学习方程、函数、不等式等核心代数知识奠定坚实的思维基础。

（二）单元内容与目标解析

本单元对应北师大版数学七年级上册第三章“整式及其加减”中的核心内容。教材逻辑从“用字母表示数”引入，逐步建构“代数式”的概念，进而学习代数式的求值、直观理解与实际意义，并初步接触整式的分类（单项式、多项式）及其简单运算。本设计将教材内容进行结构化重组与深度拓展，形成以下单元学习目标：

1.单元学习目标：

1.理解与抽象（符号意识）：能通过具体情境，理解用字母表示数的必要性和一般性，能准确分析简单实际问题中的数量关系，并用代数式进行表示。能解释具体代数式的数学意义与实际背景。

2.运算与推理（运算能力）：能熟练、准确地进行代数式的求值运算，理解求值过程中的程序性与对应思想。能识别单项式、多项式，说出其项、次数、系数等基本概念。掌握合并同类项的基本法则，并能进行简单的整式加减运算。

3.应用与建模（模型观念）：能利用代数式表示几何图形（如周长、面积、体积）中的数量关系，或刻画有规律的变化现象。初步体会代数式作为数学模型在简化表达、发现规律和预测结果中的作用。

4.沟通与反思（学习品质）：能在小组合作中清晰表达用代数式表征数量关系的思考过程，能辨析他人列式的合理性。养成规范书写代数式的习惯，并能对解题过程进行自我监控与反思。

2.单元核心概念与大概念：

1.核心概念：代数式、字母表示数、项、系数、次数、同类项、整式的加减。

2.统领性大概念：符号化与结构化是数学表达与推理的通用语言。代数式体系是对数量关系的一般化、结构化表达，其运算法则源于数的运算律并具有更高的抽象性与普适性。

3.单元核心问题：

1.为什么数学要从“算术”走向“代数”？用字母代替数带来了什么根本性的改变？

2.如何从纷繁的具体情境中，抽象出稳定、一般的数量关系并表示为代数式？

3.代数式的“值”如何确定？其变化取决于什么？

4.面对复杂的代数式，我们如何像对待数一样对它们进行分类、整理和运算？

（三）学情分析与教学策略预设

七年级学生正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维发展，但依然需要具体经验的支撑。

优势与经验：学生已熟练掌握有理数的运算，具备分析简单数量关系（和、差、倍、分、行程、工程等）的能力，并在小学阶段初步接触过用字母表示运算律和公式，对“字母可以表示数”有模糊认知。

困难与挑战：1.思维惯性：习惯于算术方法解决具体问题，对设立未知量、用代数式进行一般化表达的思维方式感到陌生甚至抗拒。2.理解障碍：对代数式中字母的取值范围、代数式本身作为“对象”的实体性理解困难。3.符号繁琐：对代数式的书写规范（如乘号省略、系数位置、括号使用）容易出错，合并同类项时对“识别同类项”这一本质理解不深，易流于形式模仿。

差异化教学策略预设：

1.情境导入分层：为不同认知起点的学生提供直观程度不同的现实情境或数学情境。

2.任务设计弹性：设计具有开放性和层次性的探究任务与练习，如“基础巩固型”、“综合应用型”、“拓展挑战型”。

3.协作学习分组：采用异质分组，让学生在解释、辩论、互评中深化理解。

4.技术工具融合：利用图形计算器或数学软件（如Geogebra）动态展示代数式求值过程，可视化地理解字母与数值的对应关系及变化趋势。

二、单元教学结构图

图表

代码

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单元核心：符号化与结构化表达

(图释：本单元以“符号化”大概念为核心，设计为三个逻辑递进的篇章与两条贯穿主线，共同支撑学生代数思维的建构。)

三、学历案设计详案

课题：代数式的抽象、运算与应用——迈向代数思维的第一课

课时安排：共6课时

第一课时：字母的魔力——从具体到一般的飞跃

【学习目标】

1.能举例说明用特定字母表示具体数量的实例（如公式）。

2.能在给定的现实情境（如图形、数列、实际问题）中，发现用具体数字表达规律的局限性。

3.能独立或合作，用含字母的式子概括出情境中蕴含的一般规律或数量关系，并解释其含义。

4.初步感受用字母表示数所带来的表达简洁性与一般性优势。

【评价任务】

1.通过“情境探究活动一”的发言与列式，检测目标1、2、3的达成情况。（嵌入评价）

2.通过“对比与感悟”环节的书面小结，检测目标4的达成情况。（小结评价）

3.完成课堂练习与课后作业A组题，进行书面检测。（作业评价）

【资源与建议】

1.学习资源：学习任务单、几何拼图卡片、火柴棒、微视频《字母在数学中的历史》。

2.学习建议：关键是从“算出一个结果”转向“找出一种关系”。遇到困难时，多问自己：“如果数量变了，我的描述方式需要全部重来吗？”

3.学习路径：感受局限→尝试替代→概括表达→对比优势。

【学习过程】

一、情境引入，引发认知冲突（15分钟）

1.活动1（个体思考）：呈现一组图形，第一个图形由3根火柴棒组成，第二个由5根，第三个由7根……

1.2.问题1：第5个图形需要多少根火柴棒？你能立刻说出来吗？

2.3.问题2：第100个图形呢？第n个图形呢？（学生通常能快速答出问题1，对问题2会尝试寻找规律，但描述第100个时可能出现繁琐的算术描述，对第n个感到困难）。

4.活动2（观看微视频）：观看3分钟微视频，了解从丢番图到韦达的数学史上，字母表示数如何逐步确立，体会其划时代意义。

二、探究新知，建构核心概念（20分钟）

1.情境探究活动一（小组合作）：

1.2.任务A（几何视角）：给每个小组不同边长的小正方形瓷砖若干。要求用它们拼成一个大正方形。

1.2.3.问题：如果大正方形的边由n块小瓷砖组成，那么总共需要多少块小瓷砖？请用含有n的式子表示。

3.4.任务B（数列视角）：观察数列：2，4，6，8，…

1.4.5.问题：第m个数是多少？请用含有m的式子表示。

5.6.任务C（生活视角）：一支钢笔a元，一本笔记本b元。

1.6.7.问题1：买3支钢笔和2本笔记本共需多少元？

2.7.8.问题2：买x支钢笔和y本笔记本呢？

8.9.教师巡导：关注各小组的讨论焦点，引导他们从具体数字计算转向寻找“关系”，并规范代数式的书写（如乘号省略、数字在前等）。

10.归纳与定义（全班共享）：

1.11.各小组展示列式（如n²，2m，3a+2b，ax+by）。

2.12.师生共同归纳：像n²，2m，3a+2b这样，用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和字母连接而成的式子，称为代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

3.13.概念辨析：判断下列式子哪些是代数式：5，t，3+t，s=vt，3>2，x+1=3。强化代数式是“式子”，而非等式或不等式。

三、对比感悟，升华思想（5分钟）

1.引导学生对比：

1.2.算术方法描述第100个图形：“3+（100-1）×2”。

2.3.代数方法描述第n个图形：“2n+1”。

3.4.讨论：哪一种方式更智慧？为什么？（引导学生说出“一般性”、“简洁性”）

5.课堂小结（个体书写）：用一句话写下你今天对“字母表示数”的新认识。

四、巩固应用（5分钟）

1.课堂练习：

1.2.用代数式表示：

a)比a的3倍小5的数。(3a-5)

b)某商品原价p元，打八折后的售价。(0.8p)

c)一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数是______。(10b+a)

3.课后作业分层：

1.4.A组（基础）：课本习题，仿照例题列代数式。

2.5.B组（提高）：寻找生活中至少3个可用代数式表示规律的现象，并写出代数式。

第二课时：赋予“形”以“值”——代数式的求值

【学习目标】

1.能准确叙述代数式求值的含义和一般步骤。

2.能根据字母给定的具体数值，熟练、规范地求出代数式的值。

3.理解代数式的值是由其中字母的取值确定的，体会“对应”思想。

4.能解决简单的代数式求值实际应用问题。

【评价任务】

1.通过“程序模拟”活动的操作与讲解，检测目标1、2的达成情况。（表现性评价）

2.通过“探究与发现”环节的讨论，检测目标3的达成情况。（嵌入式评价）

3.通过课后作业的完成情况，综合检测目标2、4。（作业评价）

【资源与建议】

1.学习资源：求值流程图卡片、计算器。

2.学习建议：求值过程如同计算机执行程序，务必遵循“代入→计算”的顺序，并注意还原省略的乘号，处理负数代入时的括号问题。

3.学前预警：当字母取值是分数或负数时，是出错的高发区，需格外谨慎。

【学习过程】

一、问题导向，明确任务（5分钟）

1.回顾上节课：我们学会了用代数式2n+1

表示火柴棒图形的规律。

2.新问题：如果我想知道第20个图形具体需要多少根火柴棒，该怎么办？——引出课题：代数式的求值。

二、探索程序，掌握方法（20分钟）

1.活动1：程序模拟（两人一组）

1.2.一人扮演“输入员”，给出字母n=20

。

2.3.一人扮演“处理器”，执行运算：2×20+1=41

。

3.4.角色互换，尝试n=0,n=1.5,n=-2

等情况。

4.5.师生共同总结求值步骤：①当……时，②抄下原式，③替换字母为数值，④计算求值。强调格式规范。

6.活动2：规范书写训练

1.7.教师板书示范：当x=-3

时，求代数式x²-2x+1

的值。

解：当x=-3时，

x²-2x+1

=(-3)²-2×(-3)+1

=9+6+1

=16

2.8.学生模仿练习：当a=2,b=-1

时，求代数式3a-ab+b²

的值。

三、探究发现，理解本质（10分钟）

1.探究与发现：

1.2.对于代数式3x-2

：

1.2.3.当x=0,1,2,3...

时，分别求出对应的值。

2.3.4.将这些(x,值)

作为数对，在坐标系中描点（初步渗透函数思想）。

4.5.讨论：代数式的值是谁决定的？一个代数式对应多少个值？（理解“一个代数式的值随字母取值的变化而变化”，一个代数式在字母取值范围内对应无数个值）。

四、综合应用，巩固提升（10分钟）

1.实际应用：

1.2.一张光盘的形状是圆环，内圆半径rcm，外圆半径Rcm。圆环面积公式为S=π(R²-r²)

。若π≈3.14,R=6,r=2

，求面积S。

2.3.如图，一个窗户的上面是半圆，下面是正方形。若正方形边长为a米，则窗户的透光面积是多少？当a=1.2

时，面积是多少？（先列式，再求值）

4.易错辨析：判断并改正：当x=1/2

时，求1/x+x

的值。学生常见错误：1/1/2+1/2

。

第三课时：解剖代数式——单项式与多项式

【学习目标】

1.能判断一个代数式是否为整式。

2.能识别单项式，并能说出其系数、次数。

3.能识别多项式，并能说出其项数、各项以及该多项式的次数。

4.能对多项式进行按某一字母的升幂或降幂排列。

【评价任务】

1.通过“分类游戏”的成果展示，检测目标1、2、3的达成情况。（表现性评价）

2.通过“解剖实验室”的汇报，检测目标2、3的深度理解。（嵌入式评价）

3.通过“排序练习”的完成，检测目标4的达成情况。（技能评价）

【资源与建议】

1.学习资源：写有各类代数式的卡片、概念思维导图模板。

2.学习建议：本课是“概念辨析课”，重点是理解概念的本质，而非死记定义。通过大量的正例、反例辨析来加深理解。

3.概念联系：单项式是“细胞”，多项式是“由细胞组成的组织”，它们统称整式，构成一个“家族”。

【学习过程】

一、观察分类，感知概念（10分钟）

1.活动：代数式分类游戏（小组合作）

1.2.提供一组代数式卡片：5,-3x²y,1/a,x+y,πr²,3x+4y-5,0,(m+n)/2,a²+b,√2x

。

2.3.任务：请根据你们的理解，对这些代数式进行分组，并给每组起个名字。

3.4.学生可能按“有加减号”、“没有加减号”、“有除法”、“只有一个数”等朴素标准分类。

二、概念建构，明确内涵（20分钟）

1.1.单项式家族：

1.2.从学生分类中引出“只含乘法（含乘方）运算的代数式”的类别。

2.3.定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

3.4.解剖实验室：以-3x²y

和πr²

为例。

1.4.5.系数：数字因数（连同符号）。-3x²y

的系数是-3

，πr²

的系数是π

。

2.5.6.次数：所有字母的指数之和。-3x²y

的次数是2+1=3

，πr²

的次数是2

。

7.2.多项式家族：

1.8.引出“由几个单项式的和组成的代数式”。

2.9.定义：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项。

3.10.解剖实验室：以3x+4y-5

为例。

1.4.11.项：3x

,4y

,-5

。常数项是-5

。

2.5.12.次数：次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。3x+4y-5

是二次多项式。

6.13.概念统整：单项式和多项式统称为整式。辨析1/a

（分母含字母）不是整式。

三、技能训练，深化理解（15分钟）

1.练习1（辨析）：判断并说明理由。

2.练习2（填空）：填写单项式的系数和次数，多项式的项、常数项和次数。

3.练习3（排序）：

1.4.多项式x³+5x-3-2x²

看起来“杂乱”。为了美观和后续运算方便，我们常按某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）排列。

2.5.示范：按x

的降幂排列为x³-2x²+5x-3

。

3.6.学生练习：将多项式3xy²+x³-y³-2x²y

按x

的降幂排列。

第四、五课时：家族的化简——合并同类项

【学习目标】

1.能准确理解同类项的概念（两相同：字母相同，相同字母的指数相同）。

2.能熟练、准确地识别多项式中的同类项。

3.能阐述合并同类项的依据（乘法分配律的逆用），并掌握其法则（系数相加，字母部分不变）。

4.能规范、熟练地进行整式的加减运算（主要是合并同类项），并能解决相关的简单应用问题。

【评价任务】

1.通过“找朋友”游戏，检测目标1、2的达成情况。（游戏评价）

2.通过“算理探源”的讨论与表达，检测目标3的达成情况。（理解性评价）

3.通过“综合演练”和课后作业的准确率与规范性，检测目标4的达成情况。（技能评价）

【资源与建议】

1.学习资源：同类项卡片、几何模型（如用面积表示2a

与3a

可以合并）。

2.学习建议：理解“同类项”的本质是“可以归为一类进行计数”，就像“3个苹果+2个苹果=5个苹果”。关键在于“识别”，合并是水到渠成的运算。

3.错误预防：合并时注意符号；不是同类项绝不能合并；合并后通常按降幂排列。

【学习过程】（两课时连贯设计）

第一段：概念生成与理解（第四课时）

一、情境类比，引出需求（10分钟）

1.问题：计算教室图书角的总价值。小说每本a元，有5本；绘本每本b元，有3本；又新购入小说2本，绘本4本。如何快速计算总花费？

1.2.学生可能列式：5a+3b+2a+4b

。

2.3.提问：这个式子能进一步简化吗？怎样简化？（引出“合并”想法）

二、探究概念，把握本质（25分钟）

1.活动1：找朋友（游戏）

1.2.学生手持写有单项式的卡片（如2x²y

,-3xy²

,5x²y

,0.5xy

,-x²y

）。

2.3.活动规则：找到你的“朋友”（同类项），并站在一起。

3.4.讨论：你们成为朋友的“标准”是什么？——归纳同类项定义。

5.活动2：算理探源

1.6.从数的运算迁移：5a+2a=(5+2)a=7a

。

2.7.提问：这一步变形的依据是什么？（乘法分配律ab+ac=a(b+c)

的逆用）。

3.8.归纳法则：合并同类项，系数相加，字母及其指数不变。

9.活动3：辨析深化

1.10.判断是否为同类项：2abc

与2ab

；x²y

与xy²

；-5

与3

。

2.11.强调：同类项与系数无关，与字母顺序无关。

三、初步尝试，规范步骤（10分钟）

1.例题：合并多项式4x²+2x-5+3x-4x²-2

中的同类项。

2.教师板书规范步骤：①标记同类项（可用不同下划线）；②运用交换律、结合律将同类项放一起；③合并；④按降幂排列结果。

3.学生模仿练习。

第二段：技能形成与应用（第五课时）

一、技能训练，巩固法则（15分钟）

1.阶梯练习：

1.2.直接合并：3a+2a

,-5x²y+2x²y

。

2.3.先找再合：3x-2y+5+x-6y-8

。

3.4.多层合并：2(x-y)²-3(x-y)²+5(x-y)²

。（将(x-y)²

视为一个整体）

4.5.求值优化：先合并，再求值：2x³+4x-1/3x²-x+2x²-2x³

，其中x=-3

。（体会先化简再求值的优越性）

二、综合应用，解决问题（20分钟）

1.应用1（几何背景）：求一个窗户边框的用料长度（图形为长方形上方加半圆），用含字母的式子表示，并合并同类项。

2.应用2（实际背景）：

1.3.例：某公司第一季度营收为(2a+b)

万元，第二季度营收为(a-2b)

万元，第三季度比第一季度多(3a+4b)

万元。

1.2.4.小问1：第三季度营收是多少？

2.3.5.小问2：前三季度总营收是多少？（均要求先列式，再化简）

6.挑战题（思维拓展）：若多项式3x²-2x+b

与x²+bx-1

的和中不含x

的一次项，求b

的值。

三、课堂小结与作业（5分钟）

1.总结合并同类项“两步走”：一找、二合。

2.布置作业：包含基础化简、先化简后求值、简单应用题和一道探究题（如上挑战题）。

第六课时：单元项目实践与总结评估

【学习目标】

1.能综合运用本单元所学的知识（列代数式、求值、整式加减），解决一个较为复杂的真实情境问题。

2.能在项目小组中承担明确角色，通过合作、讨论完成项目任务。

3.能清晰、有条理地撰写项目报告并进行展示交流。

4.能通过单元总结，梳理知识脉络，反思学习得失，形成结构化认知。

【评价任务】

1.通过项目成果（设计方案、报告、模型）的质量，综合检测目标1的达成情况。（表现性评价）

2.通过小组合作观察记录与个人角色任务单，检测目标2的达成情况。（过程性评价）

3.（可选）通过项目答辩或报告展示，检测目标3的达成情况。（交流评价）

4.通过单元思维导图或学习日志，检测目标4的达成情况。（反思性评价）

【资源与建议】

1.学习资源：项目任务书、评价量规、学习日志模板、彩纸、剪刀、直尺等制作材料。

2.学习建议：本项目是对单元知识的综合检验与应用。重点在于“用数学语言描述问题、规划方案”。小组成员需分工明确，如“测量员”、“建模师”、“计算员”、“汇报员”。

3.项目周期：本课时为项目课堂实施与总结展示，部分前期测量、课后完善可延伸至课外。

【学习过程】

一、项目发布与准备（5分钟）

1.项目主题：《为我们的教室设计一组储物柜》

2.驱动性问题：学校计划为班级教室墙面安装一组储物柜（由若干个相同大小的立方体柜单元并列组成），如何设计才能最大化利用空间且成本合理？

3.项目任务书：

1.4.测量与假设：测量教室可用墙面的宽度W厘米。假设每个立方体柜单元的边长为a厘米，板材厚度忽略