弹性力学空间问题的基本理论

弹性力学空间问题的基本理论第1页，共52页。弹性力学空间问题的基本理论第2页，共52页。一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第3页，共52页。在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。平衡微分方程一第4页，共52页。取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:

平衡微分方程一第5页，共52页。由x轴向投影力的平衡微分方程可得因为x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。平衡微分方程一第6页，共52页。由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量平衡微分方程一第7页，共52页。一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第8页，共52页。

在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量……，来求出斜面(法线为

）上的应力。物体内任一点的应力状态二第9页，共52页。斜面的全应力p可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量：p沿法向和切向分量：物体内任一点的应力状态二第10页，共52页。取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的力平衡条件可得1.求物体内任一点的应力状态二第11页，共52页。2.求将向法向投影，即得得由物体内任一点的应力状态二第12页，共52页。设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:3.在上的应力边界条件物体内任一点的应力状态二第13页，共52页。一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第14页，共52页。1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为：代入,得到：主应力最大与最小的应力三第15页，共52页。考虑方向余弦关系式，有结论：式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b)主应力最大与最小的应力三第16页，共52页。2.求主应力将式(a)改写为：主应力最大与最小的应力三第17页，共52页。

上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,(c)主应力最大与最小的应力三第18页，共52页。3.应力主向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得主应力最大与最小的应力三第19页，共52页。由上两式解出。然后由式(b)得出再求出及。4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。主应力最大与最小的应力三第20页，共52页。5.应力不变量若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，因式(c)和(f

)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出：主应力最大与最小的应力三第21页，共52页。(g)主应力最大与最小的应力三第22页，共52页。所以分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。

式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。主应力最大与最小的应力三第23页，共52页。6.关于一点应力状态的结论：6个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要6个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及主应力。主应力最大与最小的应力三第24页，共52页。(3)3个主应力包含了此点的最大和最小正应力。(4)一点存在3个应力不变量(5)最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。

设主应力最大与最小的应力三第25页，共52页。一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第26页，共52页。

空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：

(a)几何方程及物理方程四第27页，共52页。从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。几何方程及物理方程四第28页，共52页。--沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。

由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量，为：

(b)--绕x,y,z轴的刚体转动。几何方程及物理方程四第29页，共52页。若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为：(c)几何方程及物理方程四第30页，共52页。(d)其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。体积应变定义为：

几何方程及物理方程四第31页，共52页。空间问题的物理方程

⑴应变用应力表示，用于按应力求解方法：(x,y,z).(e)可表示为两种形式：几何方程及物理方程四第32页，共52页。⑵应力用应变表示，用于按位移求解方法：(x,y,z).(f)由物理方程可以导出（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。--称为体积模量。几何方程及物理方程四第33页，共52页。空间问题的应力，形变，位移等15个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论：几何方程及物理方程四第34页，共52页。一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第35页，共52页。

空间轴对称问题

采用柱坐标表示。

如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。轴对称问题的基本方程五第36页，共52页。

对于空间轴对称问题：应力中只有(a)形变中只有位移中只有所有物理量仅为(ρ,z)的函数。轴对称问题的基本方程五第37页，共52页。而由得出为。平衡微分方程：轴对称问题的基本方程五第38页，共52页。几何方程：其中几何方程为轴对称问题的基本方程五第39页，共52页。物理方程：应变用应力表示：(d)轴对称问题的基本方程五第40页，共52页。

应力用应变表示：其中轴对称问题的基本方程五第41页，共52页。边界条件：一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。

在柱坐标中，坐标分量的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。轴对称问题的基本方程五第42页，共52页。一、平衡微分方程二、物体内任一点的应力状态三、主应力最大与最小的应力四、几何方程及物理方程五、轴对称问题的基本方程例题第七章空间问题的基本理论内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第43页，共52页。例题1设物体的边界面方程为试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力应力边界条件是什么形式？例题六第44页，共52页。其中解：当物体的边界面方程为

时，它的表面法线的方向余弦为例题六第45页，共52页。当面力为法向分布拉力q时，(x,y,z).因此，应力边界条件为代入应力边界条件，得(x,y,z).例题六第46页，共52页。例题2试求图示空间弹性体中的应力分量。(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。例题六第47页，共52页。qqooxxzz例题六第48页，共52页。解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向