2027届高考数学一轮总复习7.2空间点、直线、平面之间的位置关系【课件】

第2节空间点、直线、平面之间的位置关系课标解读

1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论,证明一些空间基本图形位置关系的简单命题.强基础•固本增分1.平面的基本性质基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.空间点、直线、平面之间的位置关系

关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言

符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言

符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l关系直线与直线直线与平面平面与平面其他关系图形语言

—符号语言a,b是异面直线a⊂α—3.平行直线(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.4.异面直线(1)判定:与一个平面相交的直线和这个平面内

的直线是异面直线,如图所示.

(2)异面直线所成的角:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).其取值范围为

.

不经过交点

5.常用结论(唯一性定理)(1)过直线外一点

直线与已知直线平行;

(2)过直线外一点

平面与已知直线垂直;

(3)过平面外一点

平面与已知平面平行;

(4)过平面外一点

直线与已知平面垂直.

有且只有一条有且只有一个有且只有一个有且只有一条[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(

)(2)两个平面α,β有一个公共点A,则α,β相交于过A点的任意一条直线.(

)(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(

)(4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.(

)×解析

两条平行直线且没有公共点.×解析

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.×解析

若三点共线,则两平面可能相交.×解析

由题可知,a与α相交,则α内过交点的直线与a相交.2.(人A必修二教材例题)下列说法正确的是(

)A.三点确定一个平面B.一条直线和一个点确定一个平面C.圆心和圆上两点可确定一个平面D.梯形可确定一个平面D解析

三个不共线的点才可以确定一个平面,故A错误;直线和直线外一点才可以确定一个平面,故B错误;若圆心和圆上的两点共线,则无法确定一个平面,故C错误;两条平行直线确定一个平面,梯形有一组对边平行,另一组对边不平行,故梯形可确定一个平面,故D正确.故选D.3.(人A必修二教材习题)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(

)A.平行 B.相交C.是异面直线 D.可能相交,也可能是异面直线D解析

如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,当A'B所在的直线为a,BC'所在的直线为b时,a与b相交;当A'B所在的直线为a,B'C所在的直线为b时,a与b异面.故选D.4.(人A必修二教材习题改编)已知平面α∥平面β,直线a∥平面α,直线b∥平面β,则a与b的位置关系可能是(

)A.平行或相交B.相交或异面C.平行或异面D.平行、相交或异面D5.(人B必修四教材习题改编)已知空间中两个角α,β,且角α与角β的两边分别平行,若α=70°,则β=

.

70°或110°解析

根据等角定理,知α=β或α+β=180°,则β=70°或β=110°.6.(人A必修二教材例题改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则:(1)当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH为菱形;

(2)当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH为正方形.

AC=BD

AC=BD且AC⊥BD

研考点•精准突破考点一与平面有关的基本事实的应用例1

已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;(3)DE,BF,CC1三线交于一点.证明

(1)如图所示,连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)在正方体AC1中,因为AA1∥CC1,所以AA1与CC1确定一个平面α,设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,即R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.(3)因为EF∥BD,且EF<BD,所以DE与BF相交.设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于点M.规律方法

共面、共线、共点问题的证明方法

[对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:(1)C1,O,M三点共线;(2)E,C,D1,F四点共面;(3)CE,D1F,DA三线共点.证明

(1)因为A1C∩平面BDC1=O,所以O∈A1C,O∈平面BDC1.又因为A1C⊂平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1.因为AC,BD交于点M,所以M∈AC,M∈BD.又AC⊂平面ACC1A1,BD⊂平面BDC1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面BDC1.又C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BDC1,所以C1,O,M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上,所以C1,O,M三点共线.(2)连接BA1,EF,D1C,BC1,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF∥BA1.又因为BC∥A1D1,BC=A1D1,所以四边形BCD1A1是平行四边形,所以BA1∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,F,C,D1四点共面.(3)因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,设CE与D1F交于一点P,则P∈CE,CE⊂平面ABCD,所以P∈平面ABCD,同理,P∈平面ADD1A1,又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以P∈AD,所以直线CE,D1F,DA三线交于一点P,即三线共点.考点二空间两直线的位置关系例2

(2025·湖南娄底学业考试)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线位置关系判断正确的是(

)A.直线AB与AC异面 B.直线AC与A1C1相交C.直线A1B与AC异面 D.直线A1B与C1D相交C解析

如图,连接A1C1,A1B,C1D,AC,D1C,对于A,因为AB∩AC=A,所以直线AB与AC相交,不异面,故A错误;对于B,因为AA1∥BB1∥CC1,AA1=BB1=CC1,所以四边形AA1C1C为平行四边形,则有AC∥A1C1,所以直线AC与A1C1不可能相交,故B错误;对于C,因为AC⊂平面ABCD,B∈平面ABCD,A1∉平面ABCD,所以直线A1B与AC异面,故C正确;对于D,因为A1D1∥B1C1∥BC,A1D1=B1C1=BC,所以四边形BCD1A1为平行四边形,则A1B∥CD1,而CD1与C1D相交,所以直线A1B与C1D异面,故D错误.故选C.规律方法

判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型,通过向量法、定义法与方程法来判断,二是排除法.特别地,对于异面直线的判定常用到结论:“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线”.[对点训练2](多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列四个结论正确的是(

)A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线CD解析

对于A,因为点A在平面C1D1DC外,点M在平面C1D1DC内,直线CC1在平面C1D1DC内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故A错误;对于B,直线AM在平面ABC1D1内,直线BN与平面ABC1D1相交于点B,点B不在直线AM上,所以直线AM与BN是异面直线,故B错误;对于C,直线BN在平面BCC1B1内,直线MB1与平面BCC1B1相交于点B1,点B1不在直线BN上,所以直线BN与直线MB1是异面直线,故C正确;对于D,因为点M与DD1都在平面C1D1DC内,点A在平面C1D1DC外,DD1不过点M,所以AM与DD1是异面直线,故D正确.故选CD.考点三异面直线所成的角例3

(1)(2026·江西南昌月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,AA1=1,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为

.

解析

如图,连接CD1,因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1D1CB是平行四边形,故A1B∥D1C,所以异面直线A1B与B1C所成的角等价于D1C与B1C所成的角.

D

教考衔接(人A必修二教材例题)如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?(2)求直线BA'与