山东省枣庄市2024-2025学年高二年级下册期末考试 数学试题（含解析）

2024-2025学年高二教学质量检测

数学

2025.07

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.下列求导运算正确的是()

A.(x+1)'=x

C.(sinx)Z=cosxD.(e1'=xei

【答案】C

【详解】(x+l)'=l，故A错误；

=—二，故B错误；

(sinx)=cosx，故C正确；

(e')'=ex，故D错误.

故选：C.

2.用1,4,7,10中的任意一个数作分子，2,5,9,11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个

数为()

A.9B.10C.14D.16

【答案】B

11414714710

【详解】由题可知：不同真分数有:2,5,5,9,9,9，T1，T1，T1，T1,共10个.

故选：B

3.下列命题为真命题的是()

A.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

B.若x与y线性相关越强，则(X”％)在线性回归直线上的点越多

C.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1

D.线性回归分析中决定系数炉值越小，则模型的拟合效果越好

【答案】A

【详解】对于A,残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确；

对于B,x与y线性相关越强，(天,上)在线性回归直线上的点不一定越多，故B错误；

对于C,两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,故C错误;

对于D,炉值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误.

故选：A.

4.己知函数/(X)的部分图象如图所示，其导函数为了'(X),则()

A.八石)>/'(%)>八七)B./'(石)>/8)>/'(%)

C.八七)>/'(%)>八为)D.八%)>/'(&)>人石)

【答案】D

，

【详解】由/(X)的单调性可知，/(X1)<O,而/'(》2)〉0,/'(》3)〉0，

又/(x)的图象在X2处切线的倾斜角大于在X3处切线的倾斜角，因此/'(》2)〉/(匕)，

所以/'(%)>/缶)>/'(不)，

故选：D.

5.下列四组成对数据：@(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3),(2,5)；②(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),

(4,16)；③(—3,3),(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,-1)；④(-2,0),(—1,百),(0,2),Q,回(2,0).其中

z(%-三)(％-7)

样本相关系数最小的是()(附：样本相关系数r=/"I•)

A.①B.②C.③D.@

【答案】C

【详解】对于①，数据均在歹=2x+l上，故样本相关系数为1,

对于③，数据均在歹=一工上，故样本相关系数为-1,

对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0,

对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故-1＜外＜1,

5555

事实上，Z(%-三)(％-7)=£手£%-歹2占+5♦歹

i=lt=li=lz=l

55

=Zxiyi-5x-y-5x-y+5x-y=^xiyi-5x-y,

i=li=l

—555

其中x=0,2X》=0，故£(%-元)(%-7)=£xl.y,.-5x-y=o,

i=li=li=l

故厂=0,

综上，样本相关系数最小的是③.

故选：c

6.现有8道四选一的单选题，某生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为

0.85,没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.该生从这8道题中随机选择1题，他做

对该题的概率为()

A.0.7B.0.75C,0.8D,0.85

【答案】A

【详解】设A表示“考生答对”，B表示“选到有思路的题”，由全概率公式得

--62

P(A)=P(B)P(A|B)+尸(8)尸(Z18)=—义0.85+—x0.25=0.7.

88

故选：A.

7.若随机事件A在一次试验中发生的概率为2(0＜。＜1),用随机变量X表示A在一次试验中发生的次数,

1—9Q(X)

则口的最小值为()

E(X；)

A.—3B.0C.1D.3

【答案】A

【详解】由题意可得随机变量X的所有可能取值为0,1,

则尸(x=l)=夕，P(x=o)=l—夕，

则£(x)=p,Z)(x)=p(l-p),

1-9p(l-p)=9p2—9p+l=9=-3,

E(X)ppPNP

当且仅当92=’，即夕=工时取等号，故A正确.

P3

故选：A.

8.函数/(x)=lnx+a在区间［加河的值域为［e"T,e"［,则a的取值范围为()

A.［1,+co)B.(l,+oo)C,［ee-1-l,+oo)D.(ee-1-l,+oo)

【答案】B

［详解］易知/(x)=InX+a在阿,〃］上是增函数，

所以数/(x)=lnx+a在区间的值域为［In加+a,In”+a］,

lnm+a=ew-1

又值域为［e"i,e"T］所以

lnn+a=ew-1

a=e'T-Inx有两个不等的实根,

记g(x)=ex-1-Inx(x>0),则g'(x)=ex-1,

设KM=g'(x),则〃'(x)=ei+A>0,所以g(x)是增函数，又g'⑴=0,

所以0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，x〉l时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)min=g6=L而Xf+co时，g(x)->+ce,+0时，g(x)—+8，

所以a>1,

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知随机变量X〜N(O,1),y〜N(0,4),则()

A.E(X)=E(y)B.D(y)=2D(X)

C,尸(X<—2)+P(X<2)=lD,P(|x|<1)>P(|y|<1)

【答案】ACD

【详解】由题可知：X〜N(O,1),y〜N(0,4)

对A,E(X)=E(y)=O,故正确；

对B,£>(y)=4,£>(x)=l,所以。(y)=4D(X),故错误；

对C,P(X<-2)=P(X>2),所以尸(X<—2)+尸(X<2)=1,故正确；

对D,由E(X)=E(y),bx<5，所以随机变量£的正太曲线更高瘦，

而随机变量y的正太曲线更矮胖，所以尸(|x|wi)>尸阴wi),故正确.

故选：ACD

10.设函数/(乃=；/一3必一2》的导函数为/，(幻，则()

A./'(-1)=0B.x=2是函数/(X)的极值点

C./(X)有且仅有两个零点D./(X)在［-3,3］上的最小值为

【答案】ABD

［详解］/(x)=x2-x-2=(x+l)(x-2).

A：因为/'(—l)=(—l+l)(-l—2)=0,所以本选项说法正确；

B：因为当x>2时，/'(x)>0J(x)单调递增,

当-l<x<2时，/'(x)<0J(x)单调递减,且/'(2)=0,

所以x=2是函数/(x)的极值点，因此本选项说法正确；

C：f(x)=—%3—X"-2x=—x(2x2—3x—12^=0=>x=0,或2x?-3x-12=0，

3267

由2/—3x—12=0nx=土抗面,因此/(x)有且仅有三个零点，

4

所以本选项说法不正确；

D：当2<x<3时，/'(x)〉O,/(x)单调递增，

当—l<x<2时，/'(x)<OJ(x)单调递减,

当一3<x<—1时,/'(x)〉OJ(x)单调递增,所以

因为/⑵=一l，/(-3)=_1,

所以/(x)在［-3,3］上的最小值为-?，因此本选项说法正确，

故选：ABD

11.某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发

现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系：

x/万元12345

V/千人568.1914.5

,—亍)8-歹)5

附6=^^—^-----------，a^y-bx,歹=8.52,2(王一元)(%一歹)=22,令/=2工，T=12.4,

之(不-可9

Z=1

55

一亍)(％一歹)=178.56,Z&—TP=595.2现用曲线C:y=«+R*2工拟合变量x与y的相关关系,

Z=1Z=1

并利用一元线性回归模型求参数G的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则()

A.曲线C经过点(3,8.52)

B.c,=4.8

C.若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力

D.广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人

【答案】BC

5

【详解】由题可知，令f=2"T=12.4,-歹)=178.56,

7=1

5

A7)2=595.2,

Z=1

z&—f)(%—歹)

178.56

所以------------

之(—)2595.2

!=1

Cj=y—c2t=8.52—0.3x12.4=4.8,故B正确;

所以C:y=4.8+0.3x2。

令x=log212.4,则y=4.8+0.3x12.4=8.52,

所以曲线C经过点(log212.4,8.52),故A错误；

当x=9时，j=4.8+0.3x29=158.4,

所以若投入广告费9万元，则每晚客流量为15.84万人，

因为每晚最多能接纳10万人，

所以会超过夜市接纳能力，故C正确；

由C:y=4.8+0.3x2*可知，当x=1时y=4.8+0.3x2=5.4,当x=2时＞=4.8+0.3x22=6,

所以当广告费从1万元增加2万元，每晚客流量增加6000人，故D错误.

故选：BC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2

名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有.

【答案】30

【详解】先选1名去新疆，再选2名去青海，剩下的2名去西藏，方法数为C；C；C；=30,

故答案为：30.

TTTT

13.已知/(X)满足/(x)=/'(§)sinX—cos2x,则/(x)在§处的导数为.

【答案】2百

JTTT

【详解】/(%)=/'(§)sinx-cos2xn/'(%)=/'(j)cosx+2sin2x,所以有

故答案为：2百

14.十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的"(〃eN*)满足：

kklk2

n=a0x2+atx2~+a2x2~+---+akx2°,a0=1,ate{0,1},(i=1,2,3,…,左),则其在二进制计数

法下可记为(4。避2…%)2(左WN).例如：1在二进制中表示为⑴2,2表示为(IO1,3表示为(11月,4表

示为(100)2,7表示为(111)2.记/(〃)为生,。2,…，勾中o的个数，如/(2)=1,/(4)=2,

/(7)=0,则从1到255这些自然数的二进制表示中，/(〃)=2的个数为.

【答案】56

【详解】2°<〃<255<28=(100000000)2，要使/(〃)=2,

则"是2〜7位二进制数，恰好有两个0,

所以有C：+C；+C：+C；+C；+C"C；=C；+C；+C：+C：+C"C；=C；=8x7x6=56个满足题意

1x2x3

的〃的值.

故答案为：56.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(耳=(%-2)6".

(1)求函数/(X)的极值；

(2)画出函数/(x)的大致图像.

【答案】(1)极小值为/(l)=—e,无极大值.

(2)图像见解析

【小问1详解】

/(x)=(x-2)ex,函数定义域为R,

/1X)=ex+(x-2)ex-(x-l)ev,

/，(x)<0,解得x<l；/'(x)〉0,解得x>l,

即函数/（x）在（-8,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增,

极小值为/。）=-e,无极大值.

【小问2详解】

当x<2时，/（x）<0；/（O）=-2,/（l）=-e,/（2）=0,结合函数单调性，可画出函数/（x）的大

致图像，如下图所示：

16.已知在l[x-的展开式中，第6项为常数项.

（1）求含好的项的系数;

（2）求展开式中所有的有理项.

45

【答案】（1）一；（2）答案见解析.

4

1n—2r

【详解】Tr+l=C：（-^x-

⑴『=。二〃=1。

10-2r=2.」=2.,©(一；)2=?

3

10-2r

(2)Q------eZ.-.r=2,5,8

3

245/45

展开式中所有的有理项为qjX=-，--C-；0（一；）5=£'*（一；）8》

4256/

17.台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免费畅游古

城活动.景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到

如下2x2列联表：

调查

结展

不满意满意合计

组别

高考生游客80120200

中考生游客13070200

合计210190400

(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关；

(2)在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈,

求这3人中满意人数X的概率分布列、数学期望和方差.

附：〃(ad-bc¥,

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(/N左)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)满意情况与学生的组别有关

(2)答案见解析

【小问1详解】

因为八一We#—=400x(80x70—120x130)2。2506〉w,

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)200x200x210x190

所以满意情况与学生的组别有关;

【小问2详解】

根据分层抽样的性质可知:

选出5人中，满意人数为5义120=3,不满意人数为5-3=2,

80+120

由题意可知：X=1,2,3,

尸(x=l)=当CY=上3

\'C510

3

一)=

15

C3C01

尸(X=2)=*」

l/C；10

所以这3人中满意人数X的概率分布列为:

X123

331

P

To5To

331

£(用=—xl+-x2+—x3=1.8,

10510

3371

°(x)=—x(l-1.87)+-x(2-1.8)+—x(3-1.87)=0.36

1

18.已知函数/(x)=xlnx+〃--1+(〃_1)X(QeR).

x

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程：

(2)若/(x)20,求。的取值范围；

(3)当a=l时，记/(x)的导函数为/'(x),证明：对Vxe(O,+。)，不等式/'(x)<+2x—3恒成

立.

【答案】⑴>=0

(2)ae[l,+oo)

(3)证明见解析

【小问1详解】

由题意得/(X)的定义域为(0,+8)，

当a=l时，/(x)=xlnxH----1,则/'(x)=l+lnx——,

XX

所以/'(1)=0,又/(1)=0,

所以所求切线方程为y=0.

【小问2详解】

由题得/'(%)=Inx——+ci,x>0,

JC

令g(x)=/'(x)，则g，(x)=L?=V^,

XXX

若a",则g[x)>0,即/'⑴在(0,+动上单调递增;

因为/'(1)=0,所以当xe(O,l)时，()

令0(x)==l+lnx-J-3x+3,

x

m"”、12、—3x3+x~+2

则"(x)=_+F_3=------------

XXX

-3(X3-1)+(X2-1)

=P

3(x-l)(^x2+x+l^-(x-l)(x+l)

=P

(x-l)(3x?+2x+2)

x3

因为3—+2x+2〉0恒成立，所以由"(x)>0,得0<x<l,由。'(x)<0,得x>l,

所以夕(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

则夕(X)WQ(1)=0,所以/'(X)<3(X_1).

综上可知，/,(x)<3(x-l)<eA-1+2x-3,当且仅当x=l时两等号同时成立，

所以/'(x)〈ei+2x—3.

19."随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外

力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位.

(1)求质点移动6次后位于(3,3)的概率；

(2)设质点在第2秒末移动到点(XJ),记xy的取值为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X)；

(3)记第。秒末质点回到原点的概率为夕

⑴求夕2，夕4；

(ii)求力•

参考公式：S(c：)2=q„.

左=0

【答案】(1)—

1024

(2)分布列见解析，期望为0；

191[(2〃)丁

⑶⑴%二—八

16"(〃!),

【小问1详解】

质点移动6次后位于(3,3),6次移动中只能有3次向右，3次向上，因此概率为

k4y

【小问2详解】

因在1秒末，粒子会等可能地出现在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)四点处，故在第2秒末可能运动到点

(-1,1),(1,1),(1-1),(T-1)各两种情形，(0,2),(2,0),(0,-2),(—2,0)各一种情形，(0,0)有4种情形,共计

16种情形,

随机变量X表示肛的取值，故X的可能取值为0,1,-1,

4+414141

对应的概率分别为：P(X=0)=——=—,P(X=1)=—=-,P(X=-1)=—=-,