初中数学九年级上册 二次函数y=a(xh)²+k的图象和性质 知识清单

初中数学九年级上册二次函数y=a(xh)²+k的图象和性质知识清单一、核心概念与函数模型【基础】【核心】（一）二次函数顶点式的定义二次函数y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k(其中aaa、hhh、kkk是常数，且a≠0a\neq0a=0)被称为二次函数的顶点式。这种形式直接揭示了函数图象的顶点坐标和对称轴，是研究二次函数性质和应用的关键模型。它是通过对一般式y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c进行配方而得到的，体现了数形结合与化归的数学思想。（二）顶点式的由来与一般式的转化将一般式y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c通过配方转化为顶点式，是初中阶段必须掌握的核心技能。y=ax2+bx+c=a(x2+bax)+c=a[x2+bax+(b2a)2]+c−a×(b2a)2=a(x+b2a)2+4ac−b24a\begin{aligned}y=ax^2+bx+c\\=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\=a\left[x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+ca\times\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4acb^2}{4a}\end{aligned}y​=ax2+bx+c=a(x2+ab​x)+c=a[x2+ab​x+(2ab​)2]+c−a×(2ab​)2=a(x+2ab​)2+4a4ac−b2​​由此可得，对于一般式y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c，其顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)\left(\frac{b}{2a},\frac{4acb^2}{4a}\right)(−2ab​,4a4ac−b2​)，对称轴为直线x=−b2ax=\frac{b}{2a}x=−2ab​。而在顶点式y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k中，顶点坐标直接表现为(h,k)(h,k)(h,k)，对称轴为直线x=hx=hx=h。这两个参数hhh和kkk精确地控制了抛物线在平面直角坐标系中的位置。（三）顶点坐标与对称轴【高频考点】在顶点式y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k中：1.顶点坐标：(h,k)(h,k)(h,k)。顶点是抛物线的最高点（当a<0a<0a<0时）或最低点（当a>0a>0a>0时）。2.对称轴：直线x=hx=hx=h。这是一条平行于y轴的直线，抛物线关于这条直线对称。对称轴与抛物线的交点即为顶点。3.【易错点】符号问题：务必注意括号内是(x−h)(xh)(x−h)。若函数形式为y=a(x+m)2+ky=a(x+m)^2+ky=a(x+m)2+k，则顶点坐标为(−m,k)(m,k)(−m,k)，对称轴为直线x=−mx=mx=−m。例如，y=2(x+3)2−1y=2(x+3)^21y=2(x+3)2−1的顶点是(−3,−1)(3,1)(−3,−1)，而不是(3,−1)(3,1)(3,−1)。二、参数aaa、hhh、kkk对图象的影响与图象变换【难点】【热点】（一）参数aaa的作用：决定了抛物线的形状和开口方向1.开口方向：当a>0a>0a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a<0a<0a<0时，抛物线开口向下，顶点是最高点。2.开口大小：∣a∣|a|∣a∣的大小决定了抛物线的开口宽窄。∣a∣|a|∣a∣越大，抛物线开口越小（越陡峭）；∣a∣|a|∣a∣越小，抛物线开口越大（越平缓）。当∣a∣|a|∣a∣相同时，抛物线的形状完全相同。（二）参数hhh的作用：决定了抛物线左右平移的位置【重要】1.hhh控制着抛物线相对于y=ax2y=ax^2y=ax2的水平平移。2.平移规律（左加右减）：将函数y=ax2y=ax^2y=ax2的图象向左平移∣h∣|h|∣h∣个单位，得到y=a(x+h)2y=a(x+h)^2y=a(x+h)2的图象；向右平移∣h∣|h|∣h∣个单位，得到y=a(x−h)2y=a(xh)^2y=a(x−h)2的图象。简记为“左加右减”。注意，这里的“左加右减”是对xxx本身进行的操作。（三）参数kkk的作用：决定了抛物线上下平移的位置【重要】1.kkk控制着抛物线相对于y=ax2y=ax^2y=ax2的竖直平移。2.平移规律（上加下减）：将函数y=ax2y=ax^2y=ax2的图象向上平移∣k∣|k|∣k∣个单位，得到y=ax2+ky=ax^2+ky=ax2+k的图象；向下平移∣k∣|k|∣k∣个单位，得到y=ax2−ky=ax^2ky=ax2−k的图象。简记为“上加下减”。注意，这里的“上加下减”是对函数值yyy整体进行的操作。（四）综合平移规律：从y=ax2y=ax^2y=ax2到y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k函数y=ax2y=ax^2y=ax2的图象可以通过两次平移得到y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k的图象：1.先水平平移：将y=ax2y=ax^2y=ax2向右（h>0h>0h>0）或向左（h<0h<0h<0）平移∣h∣|h|∣h∣个单位，得到y=a(x−h)2y=a(xh)^2y=a(x−h)2。2.再竖直平移：将y=a(x−h)2y=a(xh)^2y=a(x−h)2向上（k>0k>0k>0）或向下（k<0k<0k<0）平移∣k∣|k|∣k∣个单位，得到y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k。反之，要由y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k得到y=ax2y=ax^2y=ax2，则需要进行反向平移。平移过程中，抛物线的形状（由aaa决定）始终保持不变。三、二次函数y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k的图象与性质深度解析（一）性质总览表（以a>0a>0a>0和a<0a<0a<0分类讨论）1.a>0a>0a>0时（开口向上）：(1)顶点位置：(h,k)(h,k)(h,k)是图象的最低点。(2)最值：函数有最小值，最小值为ymin=ky_{\{min}}=kymin​=k，此时x=hx=hx=h。(3)增减性：在对称轴左侧（即x<hx<hx<h时），yyy随xxx的增大而减小（减函数）；在对称轴右侧（即x>hx>hx>h时），yyy随xxx的增大而增大（增函数）。(4)值域：{y∣y≥k}\{y|y\gek\}{y∣y≥k}。2.a<0a<0a<0时（开口向下）：(1)顶点位置：(h,k)(h,k)(h,k)是图象的最高点。(2)最值：函数有最大值，最大值为ymax=ky_{\{max}}=kymax​=k，此时x=hx=hx=h。(3)增减性：在对称轴左侧（即x<hx<hx<h时），yyy随xxx的增大而增大（增函数）；在对称轴右侧（即x>hx>hx>h时），yyy随xxx的增大而减小（减函数）。(4)值域：{y∣y≤k}\{y|y\lek\}{y∣y≤k}。（二）图象的画法（五点作图法）绘制y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k的图象，通常采用“五点作图法”，具体步骤如下：1.第一步：确定顶点。顶点坐标为(h,k)(h,k)(h,k)，这是图象的中心点。2.第二步：确定对称轴。画出直线x=hx=hx=h作为辅助线。3.第三步：在对称轴两侧取对称点。通常取x=h±1x=h\pm1x=h±1，h±2h\pm2h±2等，计算对应的yyy值。由于抛物线关于对称轴对称，这两组点必然关于直线x=hx=hx=h对称。例如，可以取x1=h+1x_1=h+1x1​=h+1，x2=h−1x_2=h1x2​=h−1，则y1=a(1)2+k=a+ky_1=a(1)^2+k=a+ky1​=a(1)2+k=a+k，y2=a(−1)2+k=a+ky_2=a(1)^2+k=a+ky2​=a(−1)2+k=a+k。同理取x3=h+2x_3=h+2x3​=h+2，x4=h−2x_4=h2x4​=h−2。4.第四步：连线。用平滑的曲线将顶点和这些对称点顺次连接起来，并超出这些点，以显示抛物线的延伸趋势。四、考点精析与解题模型【核心】【高频考点】（一）考点1：求顶点坐标与对称轴【考查方式】直接给出顶点式或一般式，要求写出顶点坐标和对称轴；或根据顶点坐标和对称轴求函数解析式。【解题步骤】1.若函数为顶点式y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k，则顶点为(h,k)(h,k)(h,k)，对称轴为x=hx=hx=h。2.若函数为一般式y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c，可通过公式x=−b2ax=\frac{b}{2a}x=−2ab​求对称轴，代入求顶点纵坐标；或直接配方转化为顶点式。【经典例题】抛物线y=−3(x+2)2−5y=3(x+2)^25y=−3(x+2)2−5的顶点坐标是______，对称轴是______。【解析】对照顶点式y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k，这里x+2=x−(−2)x+2=x(2)x+2=x−(−2)，所以h=−2h=2h=−2，k=−5k=5k=−5。顶点坐标为(−2,−5)(2,5)(−2,−5)，对称轴为直线x=−2x=2x=−2。（二）考点2：抛物线的平移【热点】【考查方式】给出一个抛物线解析式和一段平移描述，求平移后的解析式；或给出平移前后的解析式，描述平移过程。【解题模型】牢牢抓住顶点坐标的变化。平移只改变顶点坐标(h,k)(h,k)(h,k)，不改变aaa的值。1.【口诀法】直接对解析式操作：“左加右减”（对xxx），“上加下减”（对整体）。2.【顶点法】找出原抛物线的顶点，根据平移方式计算出新顶点坐标，再代入顶点式。【易错警示】“左加右减”是针对xxx本身，如果xxx前有系数，需将系数提取出来再进行操作。例如，将y=2x2y=2x^2y=2x2向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到y=2(x−3)2+1y=2(x3)^2+1y=2(x−3)2+1，而不能写成y=2x2−3+1y=2x^23+1y=2x2−3+1。【经典例题】将抛物线y=2x2y=2x^2y=2x2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，求所得抛物线的解析式。【解析】向左平移1个单位：y=2(x+1)2y=2(x+1)^2y=2(x+1)2；向下平移3个单位：y=2(x+1)2−3y=2(x+1)^23y=2(x+1)2−3。所以新解析式为y=2(x+1)2−3y=2(x+1)^23y=2(x+1)2−3。（三）考点3：求函数最值（值域）【必考点】【考查方式】在给定自变量的取值范围（或未给范围）内，求函数的最大值或最小值。【解题模型】1.无自变量取值范围限制（全体实数）：(1)若a>0a>0a>0，则当x=hx=hx=h时，ymin=ky_{\{min}}=kymin​=k，无最大值。(2)若a<0a<0a<0，则当x=hx=hx=h时，ymax=ky_{\{max}}=kymax​=k，无最小值。2.给定自变量取值范围m≤x≤nm\lex\lenm≤x≤n：(1)画出草图，确定对称轴x=hx=hx=h与区间[m,n][m,n][m,n]的位置关系。(2)若hhh在区间内，则顶点处的纵坐标kkk是一个最值（最大值或最小值，取决于开口方向）。另一个最值在离对称轴较远的端点处取得。(3)若hhh不在区间内，则函数在区间[m,n][m,n][m,n]上具有单调性，最值在两端点mmm和nnn处取得。【重要】务必结合图象进行分析，避免死套公式。（四）考点4：增减性（单调性）的判断【重要】【考查方式】给出几个点，比较它们纵坐标的大小。【解题模型】利用对称性将点转化到对称轴的同一侧，再利用增减性进行比较；或直接计算各点与对称轴的距离，结合开口方向判断。1.若a>0a>0a>0（开口向上），则抛物线上的点离对称轴越远，纵坐标越大。2.若a<0a<0a<0（开口向下），则抛物线上的点离对称轴越远，纵坐标越小。【经典例题】已知点A(−3,y1)A(3,y_1)A(−3,y1​)，B(1,y2)B(1,y_2)B(1,y2​)，C(5,y3)C(5,y_3)C(5,y3​)在抛物线y=2(x−1)2+1y=2(x1)^2+1y=2(x−1)2+1上，则y1,y2,y3y_1,y_2,y_3y1​,y2​,y3​的大小关系是______。【解析】抛物线开口向上，对称轴为直线x=1x=1x=1。点B(1,y2)B(1,y_2)B(1,y2​)恰为顶点，故y2y_2y2​最小。计算各点到对称轴的距离：A:∣−3−1∣=4A:|31|=4A:∣−3−1∣=4；B:∣1−1∣=0B:|11|=0B:∣1−1∣=0；C:∣5−1∣=4C:|51|=4C:∣5−1∣=4。由于AAA和CCC距离相同，且开口向上，所以y1=y3>y2y_1=y_3>y_2y1​=y3​>y2​。因此y2<y1=y3y_2<y_1=y_3y2​<y1​=y3​。（五）考点5：图象信息题（数形结合）【难点】【综合】【考查方式】给出二次函数y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k的图象，判断aaa、hhh、kkk的符号，或根据图象特征求解参数的取值范围。【解题模型】1.看开口方向：开口向上⇒a>0\Rightarrowa>0⇒a>0；开口向下⇒a<0\Rightarrowa<0⇒a<0。2.看顶点位置：顶点在第二象限⇒h<0,k>0\Rightarrowh<0,k>0⇒h<0,k>0；顶点在x轴上⇒k=0\Rightarrowk=0⇒k=0；顶点在y轴上⇒h=0\Rightarrowh=0⇒h=0。3.看与坐标轴的交点：与y轴交点坐标为(0,ah2+k)(0,ah^2+k)(0,ah2+k)，可由此判断常数项。与x轴的交点个数由Δ\DeltaΔ（或aaa与kkk的符号关系）决定。【拓展】将顶点式与一元二次方程联系起来。方程a(x−h)2+k=0a(xh)^2+k=0a(x−h)2+k=0的解即为抛物线与x轴交点的横坐标。若方程有两个不等实根，则图象与x轴有两个交点；若有两个相等实根，则顶点在x轴上；若无实根，则图象与x轴无交点。五、思维提升与跨学科视野【拓展】（一）建模思想与应用二次函数顶点式是描述许多自然现象和现实问题的重要模型。例如，在物理学中，斜抛运动的轨迹（在不考虑空气阻力的情况下）就是一个抛物线。其轨迹方程可以表示为y=−g2v02cos⁡2θ(x−v02sin⁡2θ2g)2+v02sin⁡2θ2gy=\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}(x\frac{v_0^2\sin2\theta}{2g})^2+\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}y=−2v02​cos2θg​(x−2gv02​sin2θ​)2+2gv02​sin2θ​，这里顶点坐标直接对应了物体所能达到的最大高度和水平位移（射程）。理解顶点式的性质，有助于我们分析和解决这类最优化问题。（二）从函数观点看方程与不等式将顶点式与二次方程、二次不等式建立联系：1.方程a(x−h)2+k=0a(xh)^2+k=0a(x−h)2+k=0的根的情况，由−ka\frac{k}{a}−ak​的符号决定。当−ka>0\frac{k}{a}>0−ak​>0时，方程有两个根x=h±−kax=h\pm\sqrt{\frac{k}{a}}x=h±−ak​<pathd="M98390l00c4,6.7,10,10,18,10Hv40H1013.1s83.4,268,264.1,840c180.7,572,277,876.3,289,913c4.7,4.7,12.7,7,24,7s12,0,12,0c1.3,3.3,3.7,11.7,7,25c35.3,125.3,106.7,373.3,214,744c10,12,21,25,33,39s32,39,32,39c6,5.3,15,14,27,26s25,30,25,30c26.7,32.7,52,63,76,91s52,60,52,60s208,722,208,722c56,175.3,126.3,397.3,211,666c84.7,268.7,153.8,488.2,207.5,658.5c53.7,170.3,84.5,266.8,92.5,289.5zMhv40hz">​。2.不等式a(x−h)2+k>0a(xh)^2+k>0a(x−h)2+k>0的解集，可借助图象直观得出。若a>0a>0a>0，则解集为x<h−−kax<h\sqrt{\frac{k}{a}}x<h−−ak​<pathd="M98390l00c4,6.7,10,10,18,10Hv40H1013.1s83.4,268,264.1,840c180.7,572,277,876.3,289,913c4.7,4.7,12.7,7,24,7s12,0,12,0c1.3,3.3,3.7,11.7,7,25c35.3,125.3,106.7,373.3,214,744c10,12,21,25,33,39s32,39,32,39c6,5.3,15,14,27,26s25,30,25,30c26.7,32.7,52,63,76,91s52,60,52,60s208,722,208,722c56,175.3,126.3,397.3,211,666c84.7,268.7,153.8,488.2,207.5,658.5c53.7,170.3,84.5,266.8,92.5,289.5zMhv40hz">​或x>h+−kax>h+\sqrt{\frac{k}{a}}x>h+−ak​<pathd="M98390l00c4,6.7,10,10,18,10Hv40H1013.1s83.4,268,264.1,840c180.7,572,277,876.3,289,913c4.7,4.7,12.7,7,24,7s12,0,12,0c1.3,3.3,3.7,11.7,7,25c35.3,125.3,106.7,373.3,214,744c10,12,21,25,33,39s32,39,32,39c6,5.3,15,14,27,26s25,30,25,30c26.7,32.7,52,63,76,91s52,60,52,60s208,722,208,722c56,175.3,126.3,397.3,211,666c84.7,268.7,153.8,488.2,207.5,658.5c53.7,170.3,84.5,266.8,92.5,289.5zMhv40hz">​（当k<0k<0k<0时）；若a<0a<0a<0，则解集为h−−ka<x<h+−kah\sqrt{\frac{k}{a}}<x<h+\sqrt{\frac{k}{a}}h−−ak​<pathd="M98390l00c4,6.7,10,10,18,10Hv40H1013.1s83.4,268,264.1,840c180.7,572,277,876.3,289,913c4.7,4.7,12.7,7,24,7s12,0,12,0c1.3,3.3,3.7,11.7,7,25c35.3,125.3,106.7,373.3,214,744c10,12,21,25,33,39s32,39,32,39c6,5.3,15,14,27,26s25,30,25,30c26.7,32.7,52,63,76,91s52,60,52,60s208,722,208,722c56,175.3,126.3,397.3,211,666c84.7,268.7,153.8,488.2,207.5,658.5c53.7,170.3,84.5,266.8,92.5,289.5zMhv40hz">​<x<h+−ak​<pathd="M98390l00c4,6.7,10,10,18,10Hv40H1013.1s83.4,268,264.1,840c180.7,572,277,876.3,289,913c4.7,4.7,12.7,7,24,7s12,0,12,0c1.3,3.3,3.7,11.7,7,25c35.3,125.3,106.7,373.3,214,744c10,12,21,25,33,39s32,39,32,39c6,5.3,15,14,27,26s25,30,25,30c26.7,32.7,52,63,76,91s52,60,52,60s208,722,208,722c56,175.3,126.3,397.3,211,666c84.7,268.7,153.8,488.2,207.5,658.5c53.7,170.3,84.5,266.8,92.5,289.5zMhv40hz">​（当k>0k>0k>0时）。这种数形结合的视角，为高中进一步学习函数与方程思想奠定了坚实基础。（三）与相似三角形的综合应用在平面直角坐标系中，将二次函数与几何图形（如三角形、平行四边形）结合，是中考的压轴题方向。通常以顶点式给出的抛物线，其顶点坐标明确，便于计算线段长度和图形面积。解题时，常利用抛物线的对称性构造等腰三角形或平行四边形，并结合相似三角形的性质求解动点坐标或探究存在性问题。六、典型例题与规范解答【例1】（高频考点：顶点式与一般式的互化）将二次函数y=x2−4x+3y=x^24x+3y=x2−4x+3化为y=a(x−h)2+ky=a(xh)^2+ky=a(x−h)2+k的形式，并指出其开口方向、顶点坐标、对称轴和最值。【规范解答】：y=x2−4x+3=(x2−4x+4)+3−4(配方：加上一次项系数一半的平方，再减去)=(x−2)2−1\begin{aligned}y=x^24x+3\\=(x^24x+4)+34\quad(\{配方：加上一次项系数一半的平方，再减去})\\=(x2)^21\end{aligned}y​=x2−4x+3=(x2−4x+4)+3−4(配方：加上一次项系数一半的平方，再减去)=(x−2)2−1​∴二次函数化为顶点式为y=(x−2)2−1y=(x2)^21y=(x−2)2−1。∵a=1>0a=1>0a=1>0，∴抛物线开口向上。顶点坐标为(2,−1)(2,1)(2,−1)。对称轴为直线x=2x=2x=2。函数有最小值，最小值为ymin=−1y_{\{min}}=1ymin​=−1。【例2】（难点：平移与性质综合）已知抛物线y=−2(x−1)2+8y=2(x1)^2+8y=−2(x−1)2+8。(1)求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。(2)将抛物线经过怎样的平移，可以得到y=−2x2y=2x^2y=−2x2？【规范解答】：(1)令x=0x=0x=0，则y=−2(0−1)2+8=−2+8=6y=2(01)^2+8=2+8=6y=−2(0−1)2+8=−2+8=6。∴与y轴的交点为(0,6)(0,6)(0,6)。令y=0y=0y=0，则−2(x−1)2+8=02(x1)^2+8=0−2(x−1)2+8=0，即(x−1)2=4(x1)^2=4(x−1)2=4。开平方得x−1=±2x1=\pm2x−1=±2。解得x1=3x_1=3x1​=3，x2=−1x_2=1x2​=−1。∴与x轴的交点为(3,0)(3,0)(3,0)和(−1,0)(1,0)(−1,0)。(2)抛物线y=−2(x−1)2+8y=2(x1)^2+8y=−2(x−1)2+8的顶点坐标为(1,8)(1,8)(1,8)。抛物线y=−2x2y=2x^2y=−2x2的顶点坐标为(0,0)(0,0)(0,0)。要将顶点从(1,8)(1,8)(1,8)平移到(0,0)(0,0)(0,0)，需要向左平移1个单位，再向下平移8个单位。∴将抛物线y=−2(x−1)2+8y=2(x1)^2+8y=−2(x−1)2+8先向左平移1个单位，再向下平移8