2022娄底数学试卷+答案+解析

2022年娄底市初中学业水平考试一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里)1.(2022湖南娄底,1,3分)2022的倒数是 ()A.2022 B.-2022 C.12022 D.-2.(2022湖南娄底,2,3分)下列式子正确的是 ()A.a3·a2=a5 B.(a2)3=a5C.(ab)2=ab2 D.a3+a2=a53.(2022湖南娄底,3,3分)一个小组10名同学的出生月份(单位:月)如下表所示:编号12345678910月份26861047887这组数据(月份)的众数是 ()A.10 B.8 C.7 D.64.(2022湖南娄底,4,3分)下列与2022年冬奥会相关的图案中,是中心对称图形的是 ()A. B. C. D.5.(2022湖南娄底,5,3分)截至2022年6月2日,世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时,相当于替代标准煤约1.52亿吨,减排二氧化碳约4.16亿吨.5000亿用科学记数法表示为 ()A.50×1010 B.5×1011 C.0.5×1012 D.5×10126.(2022湖南娄底,6,3分)一条古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=80°,则∠2= ()A.20° B.80° C.100° D.120°7.(2022湖南娄底,7,3分)不等式组3−x≥1,2x>−28.(2022湖南娄底,8,3分)将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于 ()A.向左平移2个单位B.向左平移1个单位C.向右平移2个单位D.向右平移1个单位9.(2022湖南娄底,9,3分)在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了 ()A.1335天 B.516天 C.435天 D.54天10.(2022湖南娄底,10,3分)如图,等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是 ()A.3π18 B.318 C.311.(2022湖南娄底,11,3分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点P(m,1)、Q(1,m)(m>0且m≠1),过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点,连接OP、OQ,则下列结论中成立的有 ()①点P、Q在反比例函数y=mx的图象上②△AOB为等腰直角三角形;③0°<∠POQ<90°;④∠POQ的值随m的增大而增大.A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③12.(2022湖南娄底,12,3分)若10x=N,则称x是以10为底N的对数.记作:x=lgN.例如:102=100,则2=lg100;100=1,则0=lg1.对数运算满足:当M>0,N>0时,lgM+lgN=lg(MN).例如:lg3+lg5=lg15,则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为 ()A.5 B.2 C.1 D.0二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分)13.(2022湖南娄底,13,3分)函数y=1x−1的自变量x的取值范围是14.(2022湖南娄底,14,3分)已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=.

15.(2022湖南娄底,15,3分)黑色袋子中装有质地均匀,大小相同的编号为1~15号台球共15个,搅拌均匀后,从袋中随机摸出1个球,则摸出的球编号为偶数的概率是.

16.(2022湖南娄底,16,3分)九年级融融陪同父母选购家装木地板,她感觉某品牌木地板拼接图(如实物图)比较美观,通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点,即DE≈0.618AD,延长HF与AD相交于点G,则EG≈DE.(精确到0.001)

17.(2022湖南娄底,17,3分)菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,点P、Q分别是BC、BD上的动点,CQ+PQ的最小值为.

18.(2022湖南娄底,18,3分)如图,已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ,点D为边BC上的动点(与B、C不重合),将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D'处,连接BD'.给出下列结论:①△ACD≌△ABD';②△ACB∽△ADD';③当BD=CD时,△ADD'的面积取得最小值.其中正确的结论有(填结论对应的序号).

三、解答题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)19.(2022湖南娄底,19,6分)计算:(2022-π)0+12−1+|1-320.(2022湖南娄底,20,6分)先化简,再求值:x+2+4x−2÷x3x2四、解答题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)21.(2022湖南娄底,21,8分)按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求,各中小学校积极行动,取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间(A:10h以上,B:8h~10h,C:6h~8h,D:6h以下)进行问卷调查,将所得数据进行分类,统计绘制了如下不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:(1)本次调查的学生共名;

(2)a=,b=;

(3)补全条形统计图.22.(2022湖南娄底,22,8分)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉.如图,握力器弹簧的一端固定在点P处,在无外力作用下,弹簧的长度为3cm,即PQ=3cm.开始训练时,将弹簧的端点Q调在点B处,此时弹簧长PB=4cm,弹力大小是100N,经过一段时间的锻炼后,他手部的力量大大提高,需增加训练强度,于是将弹簧端点Q调到C处,使弹力大小变为300N,已知∠PBC=120°,求BC的长.注:弹簧的弹力与形变成正比,即F=k·Δx,k是劲度系数,Δx是弹簧的形变量,在无外力作用下,弹簧的长度为x0,在外力作用下,弹簧的长度为x,则Δx=x-x0.五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)23.(2022湖南娄底,23,9分)“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量;(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克?24.(2022湖南娄底,24,9分)如图,以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG(点C,D,F共线),动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上,连接EF交BC于点O.设∠G=θ.(1)求证:无论θ为何值,EF与BC相互平分,并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值;(2)当θ=90°时,试给出tan∠ABC的值,使得EF垂直平分AC,请说明理由.(1)(2)六、综合题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)25.(2022湖南娄底,25,10分)如图,已知BD是Rt△ABC的角平分线,点O是斜边AB上的动点,以点O为圆心,OB长为半径的☉O经过点D,与OA相交于点E.(1)判断AC与☉O的位置关系,为什么?(2)若BC=3,CD=32①求sin∠DBC、sin∠ABC的值;②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC,猜测sin2α与sinα、cosα的关系,并用α=30°给予验证.26.(2022湖南娄底,26,10分)如图,抛物线y=12x2-2x-6与x轴相交于点A、点B,与y轴相交于点(1)请直接写出点A,B,C的坐标;(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上,当m取何值时,△PBC的面积最大?并求出△PBC面积的最大值;(3)点F是抛物线上的动点,作FE∥AC交x轴于点E,是否存在点F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.备用图

2022年娄底市初中学业水平考试1.C2.A选项B,(a2)3=a6;选项C,(ab)2=a2b2;选项D,a3与a2不是同类项,不能合并.3.B8出现了3次,出现的次数最多,则众数是8.4.D把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,故选D.5.B5000亿=5×103×108=5×1011.6.C由题图中的平行关系可得∠2等于∠1的补角,故∠2+∠1=180°,所以∠2=100°.7.C解不等式3-x≥1,得x≤2,解不等式2x>-2,得x>-1,在数轴上表示x≤2和x>-1,易知C选项正确.8.B直线y=2x+1向上平移2个单位后所得直线方程为y=2x+1+2,即y=2x+3.因为y=2x+3=2(x+1)+1,所以直线y=2x+1向上平移2个单位相当于向左平移了1个单位.故选B.9.B1×73+3×72+3×7+5=516(天),故孩子已经出生了516天.故选B.10.A设等边三角形的内心为点O,过点O作OD⊥BC于D,且OD=r,∵O是△ABC的内心,∴∠OBD=30°,Rt△OBD中,∠OBD=30°,OD=r,∴OB=2r,BD=3r,∴BC=23r.∴S△ABC=3×12×23r×r=33r2∵S☉O=πr2,∴黑色部分与△ABC面积之比为12S☉O11.D由点P(m,1)和点Q(1,m)都满足反比例函数表达式y=mx,所以点P、Q在这个反比例函数的图象上,所以结论①成立设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0),则有km+b∴y=-x+m+1,令x=0,得到y=m+1,∴B(0,m+1),令y=0,得到x=m+1,∴A(m+1,0),∴OA=OB,∵∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形.所以结论②成立.如图,∠POQ位于第一象限,∴0°<∠POQ<90°,所以结论③成立.当0<m<1时,∠POQ的值随m的增大而减小.当m>1时,∠POQ的值随m的增大而增大.所以结论④不成立.解题关键本题考查一次函数、反比例函数的表达式,矩形的性质,待定系数法,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.12.C∵101=10,∴lg10=1,∴(lg5)2+lg5×lg2+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5×lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.故选C.解题关键本题考查了学生对新定义的“对数”材料的阅读理解和运用的能力,正确理解新定义及其运算法则是解题的关键.13.答案x>1解析由题意得x-1>0,解得x>1,故答案为x>1.14.答案-1解析由根与系数的关系可知x1x2=ca,即x1x2=-115.答案7解析15个数字中有8个奇数,7个偶数,所以摸到偶数的概率是71516.答案0.618解析∵点E是AD的黄金分割点(AE<ED),∴ED2=AE·AD,即AEDE=DE又AE=EG,∴EGDE=AEDE≈0.618,∴EG≈0.17.答案2解析∵四边形ABCD为菱形,∴A、C关于BD对称,过点A作AP⊥BC于点P,交BD于点Q,连接CQ,则CQ+PQ=AQ+PQ=AP,∴AP的长即为CQ+PQ的最小值.∵∠ABC=45°,∴△ABP为等腰直角三角形,∵AB=2,∴AP=2,∴CQ+PQ的最小值为2.方法技巧本题考查了轴对称——最短路径问题,利用菱形的对称性转化为点到直线的距离来求解.18.答案①②③解析①由旋转知AD=AD',∠CAB=∠DAD',∴∠CAB-∠BAD=∠DAD'-∠BAD,∴∠DAC=∠D'AB,又AB=AC,∴△ACD≌△ABD'(SAS),故①正确.②由①得AD=AD',∴ADAD'=ACAB又∠CAB=∠DAD',∴△ACB∽△ADD',故②正确.③由②得S△ACBS∴S△ADD'=AD2·S△即当AD取最小值时,S△ADD'取得最小值,此时AD为△ABC中BC边上的高,∵△ABC为等腰三角形,∴BD=CD,故③正确.综上,正确的结论为①②③.19.解析原式=1+2+3-1-2×32=220.解析原式=(x+2)(=x2−4+4=x−2∵x是满足条件x≤2的非负整数,且x≠2,x≠0,∴取x=1,∴原式=1−21=-121.解析(1)本次调查的学生有10÷5%=200(名).(2)60÷200×100%=30%,100÷200×100%=50%,故a=30,b=50.(3)如图所示.解题关键本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.22.解析如图,根据F=k·Δx可得100=解得k在Rt△PAB中,∠A=90°,∠PBA=180°-120°=60°,PB=4cm,∴AB=2cm,PA=23cm.在Rt△PAC中,∠A=90°,PC=6cm,PA=23cm,∴AC=26cm,∴BC=AC-AB=(26-2)cm.解题关键先根据弹簧的弹力与形变所成的正比例函数关系式求出PC的长,再利用勾股定理求相应线段的长进而得解.23.解析(1)设一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别是xmg、ymg,依题意得x+y答:一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别是22mg、40mg.(2)50000×40=2000000mg=2kg.答:这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约是2kg.解后反思本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键,随后1kg=1000g=1000000mg的单位换算很重要.24.解析(1)证明:如图,连接CE、BF,由菱形BCDE和菱形BCFG可知BC=BE,BC=CF,BE∥CF,∴BE=CF.∴四边形BECF是平行四边形,∴EF与BC相互平分,∴无论θ为何值,EF与BC相互平分.当EF⊥BC时,平行四边形BECF是菱形,∴BF=CF,在菱形BCFG中,CF=FG=GB,∴BF=BG=GF,∴△BGF是等边三角形,∴θ=60°,即当θ=60°时,EF⊥BC.(2)当θ=90°时,菱形BCFG是正方形,∴∠ACB+∠ACF=90°,又∠BAC=90°,∴∠ACB+∠ABC=90°,∴∠ABC=∠ACF,当EF垂直平分AC时,设垂足为H,则有∠CHF=90°,在△ABC和△HCF中,∠∴△ABC≌△HCF,∴AB=CH,∵EF垂直平分AC,∴AC=2HC,∴AC=2AB,∴tan∠ABC=2.解题关键本题主要考查平行四边形的判定方法,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,菱形的判定与性质等知识点,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.第(2)问中暗含弦图,试着找找看.25.解析(1)直线AC与☉O相切.理由如下:连接OD,如图,∵BD为∠ABC的平分线,∴∠1=∠2,∵OB=OD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OD∥BC,∵∠C=90°,∴∠ODA=90°,∴AC是☉O的切线.(2)①在Rt△BCD中,∠C=90°,BC=3,CD=32∴BD=352,∴sin∠DBC=55,cos∠DBC过O作OG⊥BC于点G,∵OG⊥BC,OD⊥AC,∠C=90°,∴四边形CDOG是矩形.设☉O的半径是r,∵BC=3,CD=32∴BG=BC-CG=3-r,OG=CD=32在Rt△OBG中,OB2=BG2+OG2,∴r2=(3-r)2+322,解得r=∴sin∠ABC=45②sin∠ABC=2sin∠D