《电工基础与电气测量技术》-第七章

7.1瞬态过程

电动机启动，其转速由零逐渐上升，最终达到额定转速;高速行驶汽车的刹车过程:由高速到低速或高速到停止等。它们的状态都是由一种稳定状态转换到一种新的稳定状态，这个过程的变化都是逐渐的、连续的，而不是突然的、间断的，并且是在一个瞬间完成的，这一过程就叫瞬态过程。

1.瞬态过程的概念

1)稳定状态所谓稳定状态就是指电路中的电压、电流己经达到某一稳定值，即电压和电流为恒定不变的直流或者是最大值与频率固定的正弦交流。下一页返回7.1瞬态过程2)瞬态过程电路从一种稳定状态向另一种稳定状态的转变，这个过程称为瞬态过程，也称为过渡过程。电路在瞬态过程中的状态称为瞬态。为了了解电路产生瞬态过程的原因，观察一个实验现象。图7.1所示电路，3个并联支路分别为电阻、电感、电容与灯泡串联，S为电源开关。当闭合开关S时发现电阻支路的灯泡EL1立即发光，且亮度不再变化，说明这一支路没有经历瞬态过程，立即进入了新的稳态;电感支路的灯泡EL2由暗渐渐变亮，最后达到稳定，说明电感支路经历了瞬态过程;电容支路的灯泡EL3由亮变暗直到熄灭，说明电容支路也经历了瞬态过程。上一页下一页返回7.1瞬态过程当然若开关S状态保持不变(断开或闭合)，就观察不到这些现象。由此可知，产生瞬态过程的外因是接通了开关，但接通开关并非都会引起瞬态过程，如电阻支路。产生瞬态过程的两条支路都存在有储能元件(电感或电容)，这是产生瞬态过程的内因。

3)换路通常把电路状态的改变(如通电、断电、短路、电信号突变、电路参数的变化等)，统称为换路，并认为换路是立即完成的。综上所述，产生瞬态过程的原因有两个方面，即外因和内因。换路是外因，电路中有储能元件(也叫动态元件)是内因。所以瞬态过程的物理实质，在于换路迫使电路中的储能元件要进行能量的转移或重新再分配，而能量的变化又不能从一种状态跳跃式地直接变到另一种状态，必须经历一个逐渐变化的过程。上一页下一页返回7.1瞬态过程2.换路定律分析电路的瞬态过程时，除应用基尔霍夫定律和元件伏安关系外还应了解和利用电路在换路时所遵循的规律(即换路定律)。为便于电路分析，特作以下设定:t=0为换路瞬间，而以t=0一表示换路前的终了时间，t=0+表示换路后的初始瞬间。0-和0+在数值上都等于0，但前者是指t从负值趋近于零，后者是指t从正值趋近于零。(1)电感元件由于它所储存的磁场能量0.5LiL2在换路的瞬间保持不变，因此可得

iL(0+)=iL(0-)上一页下一页返回7.1瞬态过程(2)电容元件由于它所储存的电场能量0.5Cuc2在换路的瞬间保持不变，因此可得

uc(0+)=uc(0-)

综上所述，换路时，电容电压uC不能突变;电感电流iL不能突变。这一结论叫做换路定律，即

uc(0+)=uc(0-) iL(0+)=iL(0-)需要强调的是，电路在换路时，只是电容电压和电感电流不能跃变，而电路中其他电压和电流是可以跃变的。上一页下一页返回7.1瞬态过程3.一阶电路初始值的计算

(1)一阶电路只含有一个储能元件的电路称为一阶电路。

(2)初始值把t=0+时刻电路中电压、电流的值，称为初始值。

(3)电路瞬态过程初始值的计算按下面步骤进行①根据换路前的电路求出换路前瞬间，即t=0-时的电容电压uc(0-)和电感电流iL(0-)值。②根据换路定律求出换路后瞬间，即t=0+时的电容电压uc(0+)和电感电流iL(0+)值。③画出t=0+时的等效电路，把uc(0+)等效为电压源，把iL(0+)等效为电流源。④求电路其他电压和电流在t=0+时的数值。上一页返回7.2RC电路的瞬态过程

电容元件经常作为过电压保护元件并联在电路中，它卞要利用电容元件在换路瞬间电压不能发生跃变这一原理进行工作的，这其实是一个电容的放电过程。那么在换路过程中电容电压和电流又是怎样变化的呢?必须对RC电路的瞬态过程进行分析。用经典法分析电路的瞬态过程，就是根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程以得出电路的响应(电压和电流)。由于电路的激励和响应都是时间的函数，所以这种分析也是时域分析。下一页返回7.2RC电路的瞬态过程1.RC电路的零输入响应所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始状态uc(0+)所产生的电路的响应，称为零输入响应。

1)电压、电流的变化规律分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。图7.2是一RC串联电路。在换路前，开关S是合在位置2上的，电源对电容元件充电。在t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。此时，电容元件己储有能量，其上电压的初始值uc(0+)=U0;于是电容元件经过电阻R开始放电。下一页返回7.2RC电路的瞬态过程由KVL方程:uR(t)-uC(t)=0uR(t)=Ri(t)i(t)=-CduC(t)/dt代入上式得R[-CduC(t)/dt]-uC(t)=0RCduC(t)/dt+uC(t)=0(7-1)

式(7-1)是关于“c(t)的一阶常系数线性齐次微分方程，由微分方程的概念得出该微分方程的通解为式中，A为积分常数，由电路的初始条件确定。上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程由换路定律有上式中的t=0+（即0）

(7-2)又因为所以上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程uc(t),i(t)的变化曲线如图7.3所示。由上面的讨论可知，RC电路的零输入响应uc(t),i(t)都是随时间按指数规律衰减的变化曲线，其衰减速率取决于RC的值。

2)时间常数线性电路确定后，电阻R和电容C是确定值，一者的乘积也是一个确定的常数，用来表示，即

(7-4)式中，是表示时间的物理量，其量纲为时间秒(s)，故称为电路的时间常数。因此式(7-2)和式(7-3)可表示为

(7-5) (7-6)上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程

，即在零输入响应中经历时间后，电容电压uC只有0.368U0。分别计算时的uC值，如表7.1所示。由表7.1可以看出，是电容电压(或电路电流)衰减到原来的36.8%所需要的时间。当t=5时，电容电压只有初始值的0.7%，一般认为到此过渡过程基本结束，电路己进入新的稳定状态。所以5是衡量过渡过程时间的标志。时间常数仅由电路参数R和C决定。R越大，电路中放电电流越小，放电时间越长;C越大，电容所储存的电荷量越多，放电时间越长。所以t只与R和C的乘积有关，与电路的初始状态和外加激励无关。上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程

时间常数可用3种方法求取。方法一:直接按时间常数的定义计算。电阻R是从电容联接端口看进去的等效电阻。方法一:根据电容电压充电曲线，找出电容电压由初始值变化到总变化量的63.2%或36.8%时所对应的时间，如图7.4(a)所示。方法三:如图7.4(b)所示，根据电容电压放电曲线，如果电容电压保持初始速度不变，达到终止时对应的时间。上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程2.RC电路的零状态响应所谓零状态响应，是指电路在零初始条件下，即电路中的储能元件L,C未储能，仅由外施激励产生的电路响应。

图7.5是RC串联电路，S断开时，电容C上没有储能。t=0时刻将开关S闭合，RC串联电路与外激励Us接通，电容C充电。RC串联电路的零状态响应实质上就是电容C的充电过程。下面讨论电压、电流的变化规律。按图7.5所示电路中电压、电流的正方向S接通后，由KVL及各元件的伏安关系，得

uR+uC=Us uR=Ri上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程由上述3式得

(7-7)

式(7-7)是一个以uc为待求量的一阶常系数非齐次微分方程，其解是由特解和通解两部分组成，即，其中u‘是特解，它表示在时电容两端的电压，因而又叫稳态解(稳态分量)。即上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程

是式(7-7)中的US=0时的方程的通解，也叫暂态解(暂态分量)。它与零输入响应时的解相同，即为所以方程的完全解为

(7-8)式(7-8)中的A是积分常数，仍由电路的初始条件确定。该RC串联电路的初始值uc(0+)=uc(0-)=0代入式(7.8)中上一页下一页返回7.2RC电路的瞬态过程所以A=-Us最后得出方程的完全解为时间常数，则

(7-9)电容电流

(7-10)uc(t),i(t)的曲线分别如图7.6(a),(b)所示。上一页返回7.3RL电路的瞬态过程

日光灯电路由灯管、镇流器、启辉器3部分组成。当日光灯接通电源后，启辉器开始辉光放电，灯丝发热，使氧化物发射电了。同时，辉光管内两个电极接通，电压为零，辉光放电停止。双金属片两电极脱离，在这一瞬间，回路中的电流突然切断，立即使镇流器两端产生感应电压，与电源电压一起加在灯管两端，产生弧光放电，从而点燃灯管。日光灯电路实际上就相当于一个RL电路，它是由电阻元件和电感元件组成，这类电路在实际中应用也比较广泛。讨论和分析这类电路时，注意电感的伏安关系与电容的伏安关系的区别，按分析RC电路响应的方法，很容易地得出RL电路的各种响应。下一页返回7.3RL电路的瞬态过程1.RL电路的零输入响应如图7.7所示电路，开关S接1时电路己处于稳态。在t=0时将开关S由1接向2。换路后，RL电路与电源脱离，电感L将通过电阻R释放磁场能并转换为热能消耗掉。上述过程是RL电路的零输入响应，下面讨论电路中电压、电流的变化规律。根据换路后的电路，由KVL及元件的伏安关系得上一页下一页返回7.3RL电路的瞬态过程由上而3式得

(7-11)式(7.11)是一个以iL为待求量的一阶常系数线性齐次微分方程，方程的形式与式(7.1)完全相同，因此求解方法也相同。式(7.11)的通解为根据初始条件iL(0+)=iL(0-)=Us/R，确定积分常数A=Us/R，将其代入上式中，得到满足初始条件的微分方程的通解为

(7-12)即

(7-13)上一页下一页返回7.3RL电路的瞬态过程电感电压为

(7-14)式中，为RL电路的时间常数，单位为秒(s)。=L/R具有时问量纲。

iL(t)uL(t)的变化曲线如图7.8所示，它们都是按指数规律变化的。

2.RL电路的零状态响应

图7.9所示电路为RL串联电路，开关S断开时电路处于稳态，且L中无储能。在t=0时将S闭合，此时RL串联电路与外激励接通，电感L将不断从电源吸取电能转换为磁场能储存在线圈内部。下面分析在此过程中电压、电流的变化规律。上一页下一页返回7.3RL电路的瞬态过程当S闭合后，由KVL及元件的伏安关系得将上述3式整理得

(7-15)解式(7.15)所示非齐次微分方程:其特解(即稳态分量)上一页下一页返回7.3RL电路的瞬态过程齐次方程通解故得代入初始条件得 A=-Us/R上一页下一页返回7.3RL电路的瞬态过程则方程的解为

(7-16)电感电压为

(7-17)iL(t)、uL(t)的变化曲线如图7.10所示。上一页返回7.4一阶电路的三要素法1.三要素与三要素法由前面的分析可知，研究一阶电路的瞬态过程，实质是求解电路的微分方程的过程，即求解微分方程的特解和对应齐次微分方程的通解。不论一阶电路的初始值等于多少，也不论它是充电过程还是放电过程，任何电压和电流随时间的变化规律，都可以由下面的公式统一表示为

(7-18)下一页返回7.4一阶电路的三要素法式中，f(0+)是瞬态过程中变量的初始值;f()是变量稳态值;是瞬态过程的时间常数。只要知道这3个量就可以根据式(7.18)直接写出一阶电路瞬态过程中任何变量的变化规律，故把这3个量称为三要素，这种方法称为三要素法。

2.三要素法解题的一般步骤:(1)画出换路前(t=0-)的等效电路。求出电容电压uc(0-)或电感电流iL(0-)。

(2)根据换路定律uc(0+)=uc(0-)，画出换路瞬间(t=0+)时的等效电路，求出响应电流或电压的初始值i(0+)或u(0+)，即f()。上一页下一页返回7.4一阶电路的三要素法(3)画出t=时的稳态等效电路(稳态时电容相当于开路，电感相当于短路)，求出稳态下响应电流或电压的稳态值i()或u()，即f()。

(4)求出电路的时间常数，或，其中R值是换路后断开储能元件C或L,由储能元件两端看进去，用戴维南或诺顿等效电路求得的等效电阻。

(5)根据所求得的三要素，代入式(7.18)即可得响应电流或电压的瞬态过程表达式。上一页返回7.5RC电路的应用

电路的瞬态过程虽然短暂，但在工程上的应用却相当普遍。

1.微分电路和积分电路在电了技术中常利用RC电路实现多种不同的功能，RC微分电路和RC积分电路就是RC电路的两个重要应用。下面分别介绍这两种电路的工作原理。

1)微分电路如图7.11所示的RC电路中，输入电压u1为周期性矩形脉冲，如图7.12(a)所示，矩形脉冲的幅值为Um，脉冲宽度为tW，脉冲周期为T，目电路的时间常数很小，即。下一页返回7.5RC电路的应用首先分析uc的波形。在t=0瞬间，RC电路输入矩形波电压，由于很小，电容迅速被充电至Um值。当tW<t<T时，ui=0，相当于RC电路的输入端短接，电容器开始放电。同样，由于很小，放电过程很快结束，uc下降至零。接着在t=T瞬间，电容又被迅速充电……，如此反复循环，得到如图7.12(b)所示波形。根据KVL，有ui=uR+uc=uo+uc，由于=RC很小，使得输入信号ui几乎全部降落在电容上，即ui=uo+uc

，因而输出电压为

(7-20)上一页下一页返回7.5RC电路的应用

式(7.20)表明，电路的输出电压uo近似与输入电压ui的导数)成正比，因而称该电路为微分电路。利用微分电路可以改变信号的波形，由于时间常数与脉冲宽度tW的关系变化，输出电压uo也将发生变化。

2)积分电路如图7.13所示电路，输入电压ui仍为周期性矩形脉冲，如图7.14(a)所示，且电路的时间常数>>tW。输出电压uo取自电容两端，即uo=uc，则此RC电路称为积分电路。上一页下一页返回7.5RC电路的应用

在t=0瞬间，RC电路输入矩形波电压。由于，电容充电很慢，到t=tw时，uc仅由零微升至UC1值。当tW<t<T时，ui=0，电容C开始经电阻R放电。由于，放电同样进行得很慢，uc从UC1缓慢下降。到t=T时，uc尚未下降至零，而下一个脉冲己经到来，电容C又开始进入充电过程……，如此反复循环，得到图7.14(b)所示波形。在积分电路中，由于，电容的充、放电过程进展很缓慢，电容电压uc变化也很缓漫，输入信号ui几乎全部降落在电阻R两端，uR的波形如图7.14(c)所示，因此上一页下一页返回7.5RC电路的应用

所以式(7.21)说明，电路的输出电压uo近似与输入电压ui成积分关系，因此，这种电路叫积分电路。

2.避雷器的测试电路

1)避雷器的作用避雷器是与电气设备并接的一种过电压保护设备，当出现危及电气设备绝缘的过电压(一般指大气过电压)时，它就放电，将雷电流泄入大地，从而限制电气设备绝缘上的过电压，保打‘其绝缘免受损伤或击穿。上一页下一页返回7.5RC电路的应用2)避雷器的电路组成避雷器使用前要进行测试，检验其各种性能指标。图7.15是测量避雷器电导电流的接线图，其中T为高压试验变压器;V为高压整流硅堆。

R为保护电阻;C为稳压电容;Vc为静电电压表;FA为避宙器;微安表串联在FA下端测量其电导电流。

3)工作原理避宙器本身的电容很小，对整流电压的平波作用甚微。因此，在测量电导电流时，应并联不小于0.1叮的稳压电容C。变压器T的高压侧经整流硅堆输出的电压是半波整流电压，其正半周时，经电阻R对电容C充电。上一页下一页返回7.5RC电路的应用负半周时电容C经R放电，但由于C较大，电荷逸出很少。下一个正半周时，C又通过R充电，使两端的