浙江省宁波市慈溪市2025-2026学年高二下学期期末测试数学试题含答案

2025学年第二学期高二年级期末测试

数学学科试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．

考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．

第Ⅰ卷（选择题，共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．已知(1+2i)z=3i，则z=

A．B．

C．D．

2．已知命题p:彐x∈R，x2_x+1≤0；命题q:∀x∈R，x+x≥0，则

A．p和q都是真命题

B．p和一q都是真命题

C．一p和q都是真命题

D．一p和一q都是真命题

3．已知集合A={x∈Zx_1≤2}，B={yy=2sinx+1}，则

A．AUB=[_1,3]B．A∩B={1,2,3}

C．A=BD．BşA

4．的展开式中x2的系数为

77

A．_B．_

416

77

C．D．

416

5．一名同学投掷骰子5次，分别记录每次出现的点数．现已知平均数和中位数均为3，则

A．点数6可以出现2次B．众数不可能为3

C．极差可能是5D．方差可能是1

一

6．已知函数f(x)=2x+2ax与函数g=一x2+ax的图象有唯一公共点，则实数a=

A．4B．2C．1D．0

7．在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，P，Q是线段BC上的动点，且PQ的长度不小于1，则

AP.AQ的取值范围为

A．[1,7]B．[1,9]

8．在三棱锥O一ABC中，OA=AC=4，OB=BC=3，AB=5，记二面角O一AC一B的平面角为

α,记二面角O一BC一A的平面角为β,则tan(β一α)的最大值为()

A．3B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是

A．若在成对样本数据分析中得到相关系数r=0，则表明成对样本数据间没有线性相关关系

B．若一组数据(xi,yi)（i=1，2，3，…,10）的线性回归方程为x+bxi=20，

yi=30，则b=1

C．若X~N(30,62)，P(X<24)=0.16，则P(30<X<36)=0.34

D．设A，B是两个随机事件，记A为事件A的对立事件，若P，则

π

10．已知函数f(x)=cos(ωx+φ)（0<ω<1，φ<)满足f(x)≤2f(0)，则

2

C．当f时，

D．当，且f(x)在(0,π)上单调递减时，≤⑴<1

11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(2+x)=f(2-x)，且当x∈(0,2]时，

，则

f(x)=log2x

A．f(x)的图象关于点(4,0)中心对称

B．f(x)在(2024,2026)单调递增

D．f≥f

第Ⅱ卷（非选择题，共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

42

12．甲、乙两人各投篮一次，若甲投中的概率是，乙投中的概率是，则两人中恰好有1人投中的概率

53

为．

5

13．已知两个圆锥的母线长相等，它们的侧面展开图中圆心角之和为π,记两个圆锥侧面积分别为s，

31

，体积分别为，，若，则．

s2v1v2=_______

14．若存在m，n∈R且m≠0，满足对任意x∈R，x2+mx恒成立，则m2+n的取值范

围为．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）为调查某地区水质污染整治情况，研究人员将该区域的100个水体样品中的A指标值检测数

据进行整理，绘成如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中a的值，并估计A指标值的中位数；

（2）若从A指标值在[3,5)和[5,7)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取10个样本，求从[3,5)中抽取

的样本数量．

16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinc．

（1）求B；

（2）若b=3+1，求△ABC的面积最大值．

17．（15分）如图1是由矩形ABCD和等腰直角△ADP组成的一个平面图形，其中AB=3，

AD=1，将△ADP沿着AD折起使得PC，如图2．若E是PC的中点．

（1）求证：PC丄平面PAD；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的余弦值．

18．（17分）已知函数f(x)=x2+ax_a_1，g=sina，θ∈R．

（1）若a=1，求不等式f(x)≥0的解集；

（2）若函数y=g(x)+g(x+1)在区间的最大值为2，求θ的取值范围；

（3）当θ=0时，函数y=f(g(x))+1在区间[0,4]至少有4个零点，求a的取值范围．

19．（17分）已知在△ABC中，.=1，=，=2，AD与BE交于点F．

（1）若CF丄AB，求AB；

（2）求AF在AB上的投影向量的模的最小值；

（）过作直线分别交线段、于点、，记与面积分别为，，求S1

3FlABACMN△AMN△ABCS1S2

S2

的取值范围．

2025学年第二学期高二期末考试

数学学科参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号12345678

答案BCADCBAD

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分；全部选对的得6分，部分选对的得部

分分，有选错的得0分．

题号91011

答案ACDBCABC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12．；13．14．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．

15．解：

（1）因为2×0.02+2×0.06+2a+2×0.18+2×0.05+2×0.03+2×0.02=1，

所以a=0.14；4分

由题意可知：中位数落在[7,9]，设中位数为x，

则0.44+(x-7)×0.18=0.5，

所以x8分

（2）因为A指标值在[3,5)中有100×0.12=12个，

A指标值在[5,7)中有100×0.28=28个10分

所以抽取10个样本，从[3,5)中抽个．13分

16．解：

（1）由正弦定理得，sinBsinsinAsinC，1分

13·33

所以sinBsinA+sinBcosA=sinA+sinAcosB+cosAsinB，

2222

即sinAsinA，4分

因为sinA≠0，所以sinBcosB=sin6分

因为B∈(0,π)，所以B8分

（2）因为b2=a2+c2-2accosA，

所以a2+cacac，11分

所以ac

所以分

S△ABCacsinB14

当且仅当=时，15分

acmax

17．解：

（1）由题意知，AD丄DP，AD丄DC，

又DPDC=D，

所以AD丄平面PDC，3分

所以AD丄PC，

又因为DC2=DP2+PC2，所以PC丄DP，5分

而DPAD=D，

所以PC丄平面PAD；7分

（2）由（1）知，PD丄PC，AD丄平面PDC，又AD聂BC，

所以BC丄平面PDC，

所以BC丄DP，

而PCBC=C

所以PD丄平面PBC，9分

过点E作EF丄PB于点F，所以PD丄EF，

所以EF丄平面PDB，所以∠EBP就是直线BE与平面PBD所成角，12分

因为PB=·3，PE=，BE，

所以cos∠EBP

即直线BE与平面PBD所成角的余弦值为．15分

18．解：

（1）因为f(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)≥0，2分

所以x≥1或x≤-2，

所以不等式的解集为{xx≥1或x≤-2}；4分

(

（2）因为y=g(x)+g(x+1)=sinx+θl+sin|(x++θl=2sinx+θ+l，

(|(

6分

)

所以x∈(|0,l时，x+θ+∈|(θ+,θ+l，

(丿(

ππ5π

由题意知，θ+<+2kπ<θ+,k∈Z，8分

4212

所以k∈Z，即k∈Z9分

（3）当θ=0时，令g=sint，x∈[0,4]，

所以t=0时，x三解；-1<t<0或0<t<1时，x两解；

t=±1时，x一解；t<-1或t>1时，x无解．12分

又函数y=f(g(x))+1在区间[0,4]至少有个零点，

4

所以方程f(t)+1=0有两个不同实根t1，t2，且t1,t2∈(_1,1)或t1=±1，t2=0．14

分

①时，令2，

t1,t2∈(_1,1)h(t)=f(t)+1=t+at_a

所以，解得：0<a<；16分

②h(0