第06讲 绝对值（6种题型）（原卷版）

第06讲绝对值（6种题型）【知识梳理】一、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.二、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4.要点诠释：

（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.

（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.三、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．【考点剖析】题型一、相反数的概念例1.下列各组数互为相反数的是（）A．和B．和C．和D．和【变式1】填空：(1)－(－2.5)的相反数是；(2)是-100的相反数；(3)是的相反数；(4)的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数.（6）a和互为相反数.（7）______的相反数比它本身大，______的相反数等于它本身．【变式2】下列说法中正确的有()①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．A.0个B.1个C.2个D.3个或更多【变式3】已知互为相反数，则．题型二、多重符号的化简例2.化简下列各数中的符号．（1）（2）-(+5)（3）-(-0.25)（4）（5）-[-(+1)]（6）-(-a)【变式1】把下列各数填在相应的大括号中:，，0，，，0.25，，正数集合{…}；整数集合{…}分数集合{…}．【变式2】将下列各数：，表示在数轴上，并用“<”连接各数．题型三、绝对值的概念例3．求下列各数的绝对值．，-0.3，0，【变式1】计算：（1）（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+(-8)|例4.下列说法正确的是（）A.一个数的绝对值一定比0大B.一个数的相反数一定比它本身小C.绝对值等于它本身的数一定是正数D.最小的正整数是1【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是．【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．例5．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【变式3】已知|a|＝3，|b|＝4，若a，b同号，则|a+b|＝_________；若a，b异号，则|a+b|＝________．据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系．题型四、绝对值非负性的应用例6.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．【变式1】若，则__，__，__．【变式2】（1）若，则__；（2）若，则__；（3）若，则__，__；（4）若，则__，__；（5）若，则__，__；（6）若，则__，__．题型五、绝对值的实际应用 例7．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明：(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?题型六、数轴与绝对值综合例8.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．【变式1】探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：(1)观察数轴，填空：点A与点B的距离是；点C与点B的距离是；点E与点F的距离是；点D与点G的距离是．我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离可表示为（用m、n表示）．(2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝．(3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：①，则x＝．②，则x＝．【变式2】【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．(1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______；(2)若，则_________，若，则________；【应用】(3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值；(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）下列互为相反数的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和2．（2021秋·浙江绍兴·七年级校考期中）某天，有四个城市的平均气温分别是，，，，其中最低气温是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·七年级单元测试）几种气体的固化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氮气二氧化碳氢气固化温度/℃其中固化温度最高的气体是（

）．A．氧气 B．氮气 C．二氧化碳 D．氢气4．（2023秋·山西临汾·七年级统考期末）正式排球比赛时所使用的排球质量是由严格规定的，检查了4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号；②号；③号；④号，那么质量最好的排球是（

）A．①号 B．②号 C．③号 D．④号5．（2020秋·广东江门·七年级期末）下列说法，正确的是（）A．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越近C．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远D．一个数的绝对值总是大于06．（2023·全国·七年级假期作业）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则，，三个数中绝对值最大的数是（

）A． B． C． D．无法确定7．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）若，则的值是(

)A． B． C．无意义 D．或无意义8．（2023·全国·七年级假期作业）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·七年级假期作业）下列判断正确的是（

）A．任何有理数的绝对值都是正数 B．在有理数中，零是绝对值最小的数C．一个数的相反数，一定是负数 D．若，则10．（2023·浙江·七年级假期作业）的相反数是（

）A． B． C． D．二、填空题11．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）用“>，=，<”符号填空：___12．（2023·全国·七年级假期作业）比较大小：__（填“＞”、“＝”或“＜”）．13．（2023·浙江·七年级假期作业）的绝对值是______．14．（2021秋·广东河源·七年级校考期末）比较大小：_______．15．（2023·浙江·七年级假期作业）已知在数轴上A点表示数，点B表示数5，数轴上另有一点P到点A、B的距离之和是9，则点P表示的数为___________.16．（2022秋·七年级单元测试）点、、是数轴上的三个点，且，已知点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是______．17．（2023·全国·七年级假期作业）在数轴上到原点的距离小于的整数个数为____个.18．（2023春·天津南开·七年级天津大学附属中学校考开学考试）若，那么_____．三、解答题19．（2021秋·四川遂宁·七年级校考阶段练习）画出数轴，在数轴上表示下列数，并用“<”连接，，，，，20．（2022秋·山西临汾·七年级统考阶段练习）（1）绝对值是1的数有几个？各是什么？（2）绝对值是0的数有几个？各是什么？（3）绝对值是的数是否存在？若存在，请写出来．21．（2022秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知，求x，y的值分别是多少？22．（2023·浙江·七年级假期作业）化简下列各数：(1)；(2)；(3)；(4)．23．（2022秋·陕西西安·七年级校考期中）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对面上的数字或代数式互为相反数，求的值．24．（2022秋·七年级单元测试）小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的站地为个单位长度（假设每两站之间距离相同）回答下列问题：(1)到火车站的距离等于站地的是和．(2)到劝业场的距离等于站地的是和．(3)在数轴上，到表示的点的距离等于的点有个，表示的数是．(4)如果用表示图中数轴上的点，那么表示该点到火车站的距离，当时，或．请你结合图形解释等式表达的几何意义，并求出当时，的值．25．（2023·浙江·七年级假期作业）根据这条性质，解答下列问题：(1)当________时，有最小值，此时最小值为________；(2)已知，互为相反数，且，，求的值．26．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图：(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；②______；③______；(2)化简：．27．（2023·全国·七年级假期作业）点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，两点之间的距离，例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示和两点之间的距离；(2)若数轴上表示点的数满足，那么；(3)若数轴上表示点的数满足，求的值；(4)|的最小值是．28．（2023春·黑龙江哈尔滨