第08讲有理数的乘除（6种题型）（解析版）

第08讲有理数的乘除（6种题型）【知识梳理】一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．【考点剖析】题型一、有理数的乘法运算 例1．计算：(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】(1)；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【变式1】.【答案】原式=（-）×（-）=【变式2】计算:(-6)×(-7)×(-)=.【答案】-28.试题分析：根据有理数的运算法则进行运算可得：(-6)×(-7)×(-)=-28例2.运用简便方法计算：25×﹣（﹣25）×+25×．【答案与解析】解：25×﹣（﹣25）×+25×，=25×+25×+25×，=25×（++），=25×，=．【变式1】计算：（﹣24）×9．【答案】﹣238．解：原式=﹣24×（10﹣）=﹣240+=﹣238．【变式2】计算：【答案】-24.=（-28）+18+（-14）=-24．【变式3】用简便方法计算：(1)；(2)．【答案】（1）原式．(2)＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)＝-3.14×100＝-314．题型二：倒数的概念例3.的倒数是（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】互为倒数的两个数乘积为1，故选A．【变式】﹣（﹣）的相反数与﹣的倒数的积为_________．【答案】解：﹣（﹣）的相反数是﹣，﹣的倒数是﹣，﹣（﹣）的相反数与﹣的倒数的积是﹣×（﹣）=，故答案为：．题型三、有理数的除法运算例4．计算：【答案与解析】解：【变式1】计算：【答案】原式【变式2】【答案】【变式3】；.【答案】【变式4】【答案】=.例5.计算：【答案与解析】方法1：方法2：所以【变式1】..【答案】【变式2】（1）；（2）.【答案】解：（1）解法一：解法二：（显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。）（2）错解：（出错的原因在于：除法没有分配律，从而是不能运用的）正确解法一：=正确解法二：∵∴根据倒数的定义有：=题型四、有理数的乘除混合运算例6.计算：【答案与解析】【变式】计算：【答案】题型五、有理数的加减乘除混合运算例7.【答案】原式=24-2=22【变式】计算（1）（）×（﹣78）（2）（﹣7）×（﹣5）﹣90÷（﹣15）（3）（﹣+）×（﹣36）（4）（﹣）×．【答案】（1）27（2）31；（3）﹣19；（4）0解：（1）原式=﹣12+26+13=27；（2）原式=25+6=31；（3）原式=﹣18+20﹣21=﹣19；（4）原式=0．考点：有理数的混合运算题型六、含绝对值的化简例8.已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?【答案与解析】解：分四种情况：(1)当a、b、c三个数都为正数时，；(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，；(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，；(4)当a、b、c三个数都为负数时，综上，的值为：【变式1】已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．综上所述：的可能值的个数为4．【变式2】计算的取值.【答案】(1)当a＞0、b＞0时，；(2)当a＜0、b＜0时，；(3)当a＞0，b＜0时，；(4)当a＜0，b＞0时，．综上，的值为：【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2023•宝鸡二模）计算8×（﹣）的结果是（）A．16 B．﹣16 C．﹣4 D．4【分析】两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘．【解答】解：8×（﹣）＝﹣（8×）＝﹣4．故选：C．【点评】本题主要考查的是有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键．2．（2023•晋中模拟）计算的结果正确的是（）A．﹣4 B．4 C．﹣16 D．16【分析】利用有理数的除法法则进行计算即可．【解答】解：原式＝﹣8×2＝﹣16，故选：C．【点评】本题考查有理数的除法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2023•山西模拟）计算：的结果是（）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算即可求解．【解答】解：（﹣4）÷（﹣）＝4×2＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，是基础题，有理数的运算要注意运算符号的处理，这也是七年级同学最容易出错的地方．4．（2023•滨湖区一模）某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【分析】求出a的正确取值，代入﹣16÷a即可．【解答】解：计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果得﹣12，即：﹣16+a＝﹣12，则a＝4．﹣16÷a＝﹣16÷4＝﹣4．故选：D．【点评】此题考查有理数的除法，求出a的正确取值是关键．5．（2023•红桥区一模）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可．【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正，（﹣2）×（﹣3）＝6．故选：D．【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．6．（2022秋•和平区期末）下列说法正确的是（）A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小 C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．乘积为1的两个数互为倒数【分析】根据绝对值的非负性，相反数的定义，倒数的定义，逐一进行判断即可．【解答】解：A、有理数的绝对值一定大于等于0，选项错误，不符合题意；B、正有理数的相反数一定比0小，选项错误，不符合题意；C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，选项错误，不符合题意；D、乘积为1的两个数互为倒数，选项正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查绝对值的意义，相反数和倒数．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．7．（2023•天津二模）计算4÷（﹣2）等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可．【解答】解：4÷（﹣2）＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查了有理数的除法运算，掌握有理数运算法则是解题关键．8．（2022秋•天津期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④【分析】根据图示，可得a＜0，b＞0，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得a＜0，b＞0，|a|＜b，∴①b﹣a＞0，故正确；②|a|＜|b|，故正确；③a+b＞0，故正确；④＜0，故错误．∴正确的是①②③．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，掌握绝对值的定义是关键．9．（2023•锡山区校级三模）的倒数是（）A． B． C． D．【分析】根据倒数的定义解答，乘积是1的两数互为倒数．【解答】解：﹣的倒数是，故选：D．【点评】本题考查了求倒数的方法，掌握求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置是解题的关键．10．（2023春•雁峰区校级期末）已知|a|＝1，b是﹣2的倒数，则a+b的值为（）A．或 B． C． D．或【分析】利用倒数的定义，绝对值的定义计算并判断．【解答】解：∵|a|＝1，b是﹣2的倒数，∴a＝±1，b＝﹣，∴a+b＝1﹣＝，a+b＝﹣1﹣＝﹣．∴a+b的值为﹣或．故选：D．【点评】本题考查了倒数和绝对值，解题的关键是掌握倒数的定义和绝对值的定义．二．填空题（共8小题）11．（2023春•闵行区期末）的倒数是﹣．【分析】先把化为假分数的形式，再根据相反数的定义进行解答即可．【解答】解：化为假分数为﹣，故其倒数为：﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．12．（2023•攸县一模）计算﹣×＝﹣．【分析】根据有理数的乘法法则计算可得．【解答】解：﹣×＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．13．（2023春•闵行区期末）计算：﹣16÷4×＝﹣1．【分析】首先统一成乘法，再约分计算即可．【解答】解：原式＝﹣16××＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．14．（2023•九江一模）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，则−2023m+−2023n的值是3．【分析】直接利用相反数、倒数的定义得出m+n＝0，pq＝1，进而得出答案．【解答】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，∴m+n＝0，pq＝1，∴−2023m+−2023n＝﹣2023（m+n）+＝0+3＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了倒数、相反数，正确掌握相关定义是解题关键．15．（2022秋•南陵县期末）在6，﹣5，﹣4，3四个数中任取两数相乘，积记为A，任取两数相除，商记为B，则A﹣B的最大值为．【分析】要确定积最大的数，组成积的两个数必须是同号，并且积的绝对值最大；要确定商的最小的数，两个数必须是异号，并且积的绝对值最大．【解答】解：A的最大值为：（﹣5）×（﹣4）＝20，B的最小值为：（﹣5）÷3＝，∴A﹣B的最大值为：＝＝．故答案为：【点评】本题利用了有理数的乘除法则计算：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘除．16．（2022秋•岳麓区校级期末）计算：﹣9÷3÷（﹣3）＝1．【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，把除法转化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：﹣9÷3÷（﹣3）＝﹣9××（﹣）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，注意按照从左到右的顺序依次进行运算．17．（2022秋•邗江区期末）若a、b是互为倒数，则2ab﹣5＝﹣3．【分析】互为倒数的两数之积为1，从而代入运算即可．【解答】解：∵a、b是互为倒数，∴ab＝1，∴2ab﹣5＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了倒数的定义，属于基础题，注意互为倒数的两数之积为1．18．（2022秋•河东区期末）在﹣1，2，﹣3，0，5这五个数中，任取两个相除，其中商最小的是﹣5．【分析】首先根据有理数大小比较的方法，把所给的五个数从小到大排列；然后根据有理数除法的运算方法，要使任取两个相除，所得的商最小，用最大的数除以绝对值最小的负数即可．【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜2＜5，∴所给的五个数中，最大的数是5，绝对值最小的负数是﹣1，∴任取两个相除，其中商最小的是：5÷（﹣1）＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．（2）此题还考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．三．解答题（共11小题）19．（2022秋•兴隆县期末）根据下列语句列式并计算：（1）﹣8加上5与﹣2的积；（2）3、﹣5、﹣9三个数的和比这三个数绝对值的和小多少？【分析】（1）先根据和、乘法运算的定义列出运算式子，再计算即可得；（2）先根据和差运算、绝对值的定义列出运算式子，再计算即可得．【解答】解：（1）﹣8+5×（﹣2）＝﹣8﹣10＝﹣18；（2）（|3|+|﹣5|+|﹣9|）﹣[3+（﹣5）+（﹣9）]＝17﹣（﹣11）＝17+11＝28．【点评】本题考查了有理数乘法与加减法运算、绝对值，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．20．（2022秋•朝阳区校级期中）计算：．【分析】按照有理数乘除法的从左往右的运算顺序，即可计算．【解答】解：原式＝××＝．【点评】本题考查有理数的计算，关键是掌握有理数的乘除混合运算法则．21．（2022秋•前郭县期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）（1）上面解题过程有两处错误：第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算；第二处是第三步，错误原因是符号弄错；（2）请写出正确的结果．【分析】根据有理数的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算．第二处是第三步，错误原因是符号弄错．（2）原式＝﹣15÷（﹣）×6＝15××6＝．故答案为：（1）一，没有按同级运算从左至右运算．二，符号弄错．（2）．【点评】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除运算法则，本题属于基础题型．22．（2022秋•茅箭区校级月考）已知x、y、z都是不为0的有理数，且满足xyz＞0，x+y+z＜0；（1）判断：x、y、z中有1个正数；（2）的值．【分析】（1）根据有理数的乘法法则和加法法则可判断x、y、z中正数的个数；（2）先化简绝对值，再算加减即可．【解答】解：（1）∵xyz＞0，x+y+z＜0，∴x、y、z中有1个正数，2个负数．故答案为：1；（2）∵x、y、z中有1个正数，2个负数，∴可设x＞0，y＜0，z＜0，∴＝＝1﹣1﹣1+1＝0．【点评】本题考查了有理数的乘法法则，有理数的加法法则，化简绝对值，判断出x、y、z中有1个正数，2个负数是解答本题的关键．23．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料：计算解：原式的倒数是（﹣+）÷（）＝（﹣+）×（﹣30）＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式等于﹣再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．【分析】首先看懂例题的做法，先计算出的倒数（﹣+﹣）÷（﹣）的结果，再算出原式结果即可．【解答】解：原式的倒数是：（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣42）＝﹣（×42﹣×42+×42﹣×42）＝﹣（7﹣9+28﹣12）＝﹣14，故原式＝﹣．【点评】此题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键．24．（2022秋•越城区期中）阅读下题解答：计算：．分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，则原式＝．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（2023•路南区二模）老师在黑板上写下了下面的等式，让同学自己出题，并作出答案．7+▢﹣5×〇＝38请你解答下列两个同学所提出的问题．（1）甲同学提出的问题：当〇代表﹣2时，求▢所代表的有理数；（2）乙同学提出的问题：若▢和〇所代表的有理数互为相反数，求〇所代表的有理数．【分析】（1）当〇代表﹣2时，□所代表的有理数设为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可；（2）当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，﹣a，根据题意列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）当〇代表﹣2时，□所代表的有理数为x，根据题意得：7+x+10＝38，解得：x＝21，则甲提出的问题：□所代表的有理数为21；（2）当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，﹣a，根据题意得：7+a+5a＝38，解得：a＝，则﹣a＝﹣则乙提出的问题：〇所代表的有理数为﹣．【点评】此题考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．26．（2022秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．（1）求3*（﹣4）的值；（2）求（﹣2）*（6*3）的值．【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．【解答】解：（1）3*（﹣4），＝4×3×（﹣4），＝﹣48；（2）（﹣2）*（6*3），＝（﹣2）*（4×6×3），＝（﹣2）*（72），＝4×（﹣2）×（72），＝﹣576．【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．27．（2023•遵化市校级模拟）（1）将9个不同的数分别填入图中的9个空格中，使得每行、每列及对角线上各数的和都等于0；（2）将9个不同的数分别填入图中的9个空格中，使得每行、每列及对角线