第09讲 有理数乘方及科学记数法（解析版）

第09讲有理数乘方及科学记数法【知识梳理】一、有理数乘方（1）一般地，我们把n个相同因数a相乘，记作，即．（2）定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数．读作a的n次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）．（3）读法：读作a的n次方，看作运算结果时，读作a的n次幂．（4）特别地：，．（n为正整数）（5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．【例】表示有n个a连续相乘：表示，表示，表示．【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，．二、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【考点剖析】一、有理数乘方例1.的底数是______，指数是______；的底数是______，指数是______； 的底数是______，指数是______．【答案】3，2；，4；5，3．【解析】乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数．【变式1】（1）______；（2）______；（3）______；（4）______．【答案】（1）9；（2）9；（3）-9；（4）-27．【解析】负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数．【变式2】计算：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______；（5）______；（6）______．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【解析】．【变式3】计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【变式4】（1） （2）（3） （4）【答案】（1）原式 （2）原式（3）原式 （4）原式 【变式5】若与互为相反数，则a=______，b=______．【答案】，．【解析】∵，，，∴，，即．【变式6】已知x的倒数是5，y的相反数是2，求代数式的值．【答案】．【解析】由题意得：，代入得：．【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念．【变式7】．【答案】．【解析】原式== ===．【变式8】计算：．【答案】．【解析】原式==．【变式9】计算：（1）； （2）．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）．（2）．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算．二、科学记数法例2.用科学记数法表示下列各数：（1）7013=___________________； （2）123000000=______________；（3）=________________； （4）101010．1=_______________；（5）=________________； （6）0．00036=________________；（7）=______________；（8）=_______________．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【变式1】（1）=______；（2）5432000=5．432，则n=______．【答案】（1）；（2）6．【解析】用科学计数法表示绝对值大于10的数时，10的指数n比原数的整数位数少1．【变式2】据统计，地球上每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，用科学技术法表示每天的排污量为______________千克．【答案】．【解析】8500000吨=8500000000千克=千克，故每天的排污量为：（千克）．【变式3】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数：（1）=________________； （2）=________________；（3）=________________； （4）=________________．【答案】（1）3000；（2）13400；（3）-301200；（4）-9800．【变式4】一个数的科学记数法是，它的原数是______________．【答案】31400000．【变式5】（1）若一个数等于，则这个数的整数位有______位；（2）若一个数等于，则这个数的整数位有______位．【答案】（1）10；（2）2．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2023春•黄浦区期末）下列数值中，（﹣4）2的计算结果是（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16【分析】根据有理数的乘方的定义计算即可．【解答】解：（﹣4）2＝﹣4×（﹣4）＝16．故选：C．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，熟记有理数乘方的定义是解答本题的关键．2．（2023•瑶海区校级一模）中国的太空空间站离地球大约400000米，则近似数400000用科学记数法表示为（）A．4×104 B．40×104 C．4×105 D．40×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：400000＝4×105．故选：C．【点评】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数是关键．3．（2022秋•高碑店市期末）下列计算结果相等的是（）A．（﹣3）2与﹣32 B．（﹣3）2与（﹣2）3 C．（﹣2）3与﹣23 D．﹣（﹣5）与﹣|﹣5|【分析】A、B、C根据乘方的意义计算；D、根据绝对值的性质计算．【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴不符合题意；B、（﹣2）3＝﹣8，（﹣3）2＝9，∴不符合题意；C、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，∴符合题意；D、﹣（﹣5）＝5，﹣|﹣5|＝﹣5，∴不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了绝对值、相反数、有理数的乘方，熟练掌握运算性质是解题的关键．4．（2022秋•鞍山期末）已知3.42＝11.56，则计算（﹣0.34）2的结果是（）A．1156 B．﹣0.1156 C．0.1156 D．一0.01156【分析】原式变形后，根据已知等式确定出所求即可．【解答】解：∵3.42＝11.56，∴原式＝（﹣3.4×0.1）2＝3.42×0.12＝11.56×0.01＝0.1156．故选：C．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．5．（2023•高新区校级三模）随着我国经济的快速发展，为方便人们的出行和生活，河南即将迎来一条新建的城际铁路一郑登洛城际铁路，其总长约为175公里，项目总投资206.6亿元．将数据“206.6亿”用科学记数法可表示为（）A．206.6×10s B．20.66×1010 C．2.066×1011 D．2.066×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：206.6亿＝20660000000＝2.066×1010．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．（2022秋•青县期末）若整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1011，则原数中“0”的个数为（）A．4 B．6 C．7 D．10【分析】把8.1555×1011写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．【解答】解：∵8.1555×1011表示的原数为815550000000，∴原数中“0”的个数为7．故选：C．【点评】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，掌握当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位是关键．7．（2022秋•昆都仑区校级期末）若|a+|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵|a+|+（b﹣3）2＝0，∴a+＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣，b＝3，∴（ab）2021＝（﹣×3）2021＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．8．（2022秋•邹平市期末）设A＝x2﹣5x﹣6，B＝2x2﹣5x﹣3，若x取任意有理数，则A﹣B的值（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定【分析】先计算出A﹣B列出两多项式的差，再根据x取任意有理数，可得﹣x2≤0，进而可得﹣x2﹣3＜0即可解答．【解答】解：∵A＝x2﹣5x﹣6，B＝2x2﹣5x﹣3，∴A﹣B＝x2﹣5x﹣6﹣（2x2﹣5x﹣3）＝﹣x2﹣3，∵x取任意有理数，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣3＜0．故选：C．【点评】本题主要考查了整式的减法，利用非负数的性质确定代数式的正负是解题关键．9．（2023•伊通县模拟）43表示的意义是（）A．4+4+4 B．4×4×4 C．4×3 D．3×3×3×3【分析】关键乘方的定义求解．【解答】解：43＝4×4×4．故选：B．【点评】本题考查了乘方的定义，熟记定义是解题的关键．10．（2022秋•青神县期末）若|m﹣1|+（n+2）2＝0，则m﹣n＝（）A．1 B．﹣3 C．3 D．﹣1【分析】根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将代数式求解．【解答】解：根据题意得：m﹣1＝0，n+2＝0，解得：m＝1，n＝﹣2．则m﹣n＝1+2＝3．故选：C．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•白云区期末）在﹣34中，底数是3，指数是4．计算：﹣34＝﹣81．【分析】根据幂的定义：形如an中a是底数，n是指数，及乘方计算法则计算解答．【解答】解：﹣34中，底数是3，指数是4，﹣34＝﹣81，故答案为：3，4，﹣81．【点评】此题考查了幂的定义，有理数的乘方计算法则，熟记定义及计算法则是解题的关键．12．（2023•鄂伦春自治旗一模）近似数3.06×104精确到百位．【分析】由于近似数3.06×104数字6在百位上，则近似数3.06×104精确到百位．【解答】解：3.06×104＝30600，所以近似数3.06×104精确到百位．故答案为：百．【点评】本题考查了近似数和有效数字，用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．13．（2023•武山县一模）阅读材料：如果ab＝N（a＞0，且a≠1），那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN．例如23＝8，则log28＝3．根据材料填空：log464＝3．【分析】根据乘方运算得到43＝64，然后利用新定义求解．【解答】解：∵43＝64，∴log464＝3．故答案为3．【点评】本题考查了有理数的乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了阅读理解能力．14．（2023•道外区三模）把数据62500用科学记数法表示为6.25×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：62500＝6.25×104．故答案为：6.25×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．（2022秋•大连期末）用科学记数法写出的数﹣7.04×105原数是﹣704000．【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．【解答】解：﹣7.04×105＝﹣704000．故答案为：﹣704000．【点评】本题主要考查的是科学记数法，确定出原数的整数位数是解题的关键．16．（2023春•江都区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为2，则△ABC的周长为7．【分析】根据非负性的和为零的特点，计算出b、c的值，根据三角形周长的计算即可．【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，即b＝2，c＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝2+2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了完全平方和绝对值的非负性，两个非负数的和为0则这两个数都为0．17．（2022秋•郑州期末）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和．如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3“分裂”后，其中有一个奇数是223，则m的值是15．【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出223所在的奇数的范围，即可得解．【解答】解：∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数，∵15×（15﹣1）+1＝211，16×（16﹣1）+1＝241，∴奇数223是底数为15的数的三次幂“分裂”后的一个奇数，∴m＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了有理数的乘方，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．18．（2022秋•宣城期末）若（a+3）2+|b﹣2|＝0，则ab＝9．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，所以，ab＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•平桥区期末）计算：6÷（﹣1）3﹣|﹣22×3|．【分析】先计算乘方，再计算乘除，后计算绝对值和加减．【解答】解：6÷（﹣1）3﹣|﹣22×3|＝6÷（﹣1）﹣|﹣4×3|＝﹣6﹣|﹣12|＝﹣6﹣12＝﹣18．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．20．（2021秋•满洲里市校级月考）用科学记数法按题后要求表示下列各数：（1）水星和太阳的平均距离约为57900000km（保留两个有效数字）；（2）冥王星和太阳的平均距离约为5900000000km（精确至亿位）；（3）地球上陆地的面积约为149000000km2（精确到万位）；（4）地球上海洋的面积约为361000000km2（精确到千万位）．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点；有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解答】解：（1）57900000km＝5.7900000×107≈5.8×107（保留两个有效数字）；（2）5900000000km＝5.900000000×109≈5.9×109（精确至亿位）；（3）149000000km2＝1.49000000×108≈1.4900×108（精确到万位）；（4）361000000km2＝3.61000000×108≈3.6×108（精确到千万位）．【点评】本题考查了对科学记数法的掌握和有效数字的运用．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．21．（2022秋•魏都区校级期末）小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结．（1）【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空．①|﹣2|＝2，|2|＝2：②（﹣3）2＝9，32＝9；③若|x|＝4，则x＝±4；④若x2＝16，则x＝±4；（2）[知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；平方等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；（3）[知识运用]运用上述结论解答：已知|x+1|＝1，（y+2）2＝25，求x+y的值．【分析】（1）利用绝对值以及平方根的定义计算即可得到结果；（2）根据运算结果归纳即可；（3）利用绝对值以及平方根的定义求出x与y的值，即可确定出x+y的值．【解答】解：（1）若|x|＝4，则x＝±4；若x2＝16，则x＝±4；故答案为：±4，±4；（2）根据上述知识，能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；平方等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；故答案为：两，相反数；两，相反数．（3）|x+1|＝1，（y+2）2＝25根据题意得：x+1＝1或﹣1，y+2＝5或﹣5，解得：x＝0或﹣2，y＝3或﹣7，当x＝0，y＝3时，x+y＝3；当x＝0，y＝﹣7时，x+y＝﹣7；当x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1；当x＝﹣2，y＝﹣7时，x+y＝﹣9．综上所述，x+y的值是3，﹣7，1，﹣9．【点评】此题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021秋•越城区校级月考）一次自然灾害导致大约20万人受困，急需准备一批帐篷和粮食进行援助．估计每顶帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0.4千克，共维持15天，那么有关部门需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？（结果用科学记数法表示）【分析】根据题意列式计算，并用科学记数法表示结果即可．【解答】解：根据题意得：20万＝200000，所以有关部门需要筹集200000÷10＝20000（顶）帐篷，即2×104顶帐篷；需要筹集200000×0.4×15＝1200000（千克）粮食，1200000千克＝1200吨即1200＝1.2×103吨粮食．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．23．（2022秋•河北期末）已知P＝﹣1n﹣6÷m×（﹣）．（1）当n＝100，m＝﹣2时，求P的值；（2）当n＝101，m＝3时，求P的值．【分析】（1）把m、n的值代入计算求P的值；（2）把m、n的值代入计算求P的值．【解答】解：（1）∵n＝100，m＝﹣2，∴P＝﹣1n﹣6÷m×（﹣），P＝﹣1100﹣6÷（﹣2）×（﹣），P＝﹣1﹣6××P＝﹣1﹣1∴P＝﹣2；（2）∵n＝101，m＝3，∴P＝﹣1n﹣6÷m×（﹣），P＝﹣1101﹣6÷3×（﹣），P＝﹣1﹣6××（﹣），P＝﹣1+∴P＝﹣．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方．24．（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝