第2章 有理数及其运算全章复习与测试（解析版）

第2章有理数及其运算全章复习与测试【知识梳理】1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．2、有理数的分类：①按整数、分数的关系分类：有理数；②按正数、负数与0的关系分类：有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．3．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．4．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．5．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）6．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．7．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•＝1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．8．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．9．有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．10．有理数的加减混合运算（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．（2）方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．11．有理数的乘法（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．12．有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）（2）方法指引：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．13．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．14．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．15．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．16．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．17．计算器—有理数计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：（1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．（2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算．（3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值．18．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（2）含有π的绝大部分数，如2π．【考点剖析】一．正数和负数（共3小题）1．（2022秋•聊城期末）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】先化简原题中的各数，然后即可判断哪些数是负数，本题得以解决．【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，∴在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是2个，故选：C．【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义，可以对题目中的数进行化简．2．（2023•越秀区校级一模）某天的温度上升了﹣2℃的意义是（）A．上升了2℃ B．没有变化 C．下降了﹣2℃ D．下降了2℃【分析】根据正负数表示的意义解答即可．【解答】解：某天的温度上升了﹣2℃的意义是下降了2℃；故选：D．【点评】本题考查了正负数的实际应用，属于应知应会题目，掌握正负数表示的意义是关键．3．（2022秋•内江期末）卓越中学为提高中学生身体素质，积极倡导“阳光体育”运动，开展一分钟跳绳比赛．七年级某班10名参赛代表成绩以160次为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，成绩记录如下（单位：次）：+18，﹣1，+22，﹣2，﹣5，+12，﹣8，1，+8，+15．（1）求该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差多少？（2）求该班参赛代表一分钟平均每人跳绳多少次？（3）规定：每分钟跳绳次数为标准数量，不加分；超过标准数量，每多跳1个加1分；未达到标准数量，每少跳1个，扣0.5分，若班级跳绳总积分超过60分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班能否得到学校奖励？【分析】（1）用记录中的最大数减去最小数即可；（2）根据平均数的意义，可得答案；（3）根据题意列式计算求出该班的总积分，再与60比较即可．【解答】解：（1）+22﹣（﹣8）＝22+8＝30（次），答：该班参赛代表最好成绩与最差成绩相差30次；（2）160+（18﹣1+22﹣2﹣5+12﹣8+1+8+15）÷10＝160+60÷10＝160+6＝166（次），答：该班参赛代表一分钟平均每人跳绳166次；（3）（18+22+12+1+8+15）×1﹣（1+2+5+8）×0.5＝76﹣8＝68（分），68＞60，答：该班能得到学校奖励．【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键．二．有理数（共3小题）4．（2022秋•郸城县期末）下列各数中为有理数（）A．π B． C．3.3030030003… D．面积为2的正方形的边长a【分析】根据有理数和无理数的概念，即可解答．【解答】解：A．π是无理数，故A不符合题意；B．是分数，属于有理数，故B符合题意；C．3.3030030003…是无理数，故C不符合题意；D．面积为2的正方形的边长a，则，是无理数，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数和无理数的概念是解题的关键．5．（2022秋•青神县期末）若a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是倒数等于它本身的数，则a+b+c＝（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．﹣1或1【分析】找出最大的负整数，最小的自然数，以及倒数等于本身的数，确定出a，b，c的值．【解答】解：根据题意得：a＝0，b＝﹣1，c＝1或﹣1，则原式＝﹣1+0+1＝0，或原式＝﹣1+0﹣1＝﹣2，故选：C．【点评】此题考查了代数式求值，有理数，以及倒数，确定出a，b，c的值是解本题的关键．6．（2023•青岛三模）下列四个选项中的数不是分数的是（）A． B． C． D．80%【分析】根据无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数，也不是分数，进而判断得出答案．【解答】解：A．﹣是分数，故此选项不合题意；B．是分数，故此选项不合题意；C．是无理数，不是分数，故此选项符合题意；D．80%是分数，故此选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了有理数，正确掌握分数的定义是解题关键．三．数轴（共5小题）7．（2023•东明县二模）如图，数轴上点A表示的有理数可能是（）A．﹣2.7 B．﹣2.3 C．﹣1.7 D．﹣1.3【分析】根据点A在数轴上的位置，先确定A的大致范围，再确定符合条件的数．【解答】解：因为点A在﹣2与﹣1之间，且更靠近﹣2，所以点A表示的数可能是﹣1.7．故选：C．【点评】本题考查了数轴上的点表示有理数．题目比较简单．原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数．8．（2022秋•大余县期末）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）填空：A，B之间的距离为a﹣b；A，C之间的距离为a﹣c；（2）化简：|a﹣1|﹣|c﹣b|﹣|b﹣1|+|﹣1﹣c|．【分析】（1）根据两点间的距离公式解答；（2）根据a、b、c的取值范围去绝对值．【解答】解：（1）如图所示，A、B之间的距离为a﹣b；A、C之间的距离为a﹣c．故答案是：a﹣b；a﹣c；（2）如图所示，a＞1，原式＝a﹣1﹣（b﹣c）﹣（1﹣b）+（﹣c﹣1）＝a﹣1﹣b+c﹣1+b﹣c﹣1＝a﹣3．【点评】本题考查的是数轴的特点及绝对值的性质，属较简单题目．9．（2023•路南区二模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：根据数轴得：a＜﹣2，∴a可以是﹣3．故选：A．【点评】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．10．（2022秋•公安县期末）9月5日是“中华慈善日”，某出租车司机在这天献爱心免费接送乘客．在家门口东西走向的友爱大道上他连续免费接送8位乘客，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负）．第一位第二位第三位第四位第五位第六位第七位第八位﹣4.5km3.5km8km﹣2km﹣6.5km﹣3.5km10km﹣2km（1）接送完第八位乘客后，该出租车在家门口的什么方向？距离家门口多少千米？（2）该出租车在这个过程中行驶的路程是多少？如果每千米耗油0.15升，那么共耗油多少升？【分析】（1）将所有数据进行相加，根据和的情况，即可得出结论；（2）将所有数据的绝对值相加，再乘以0.15，即可得解．【解答】解：（1）﹣4.5+3.5+8﹣2﹣6.5﹣3.5+10﹣2＝+3（km），所以该出租车在家门口东边，距离家门口3km；（2）|﹣4.5|+|3.5|+|8|+|﹣2|+|﹣6.5|+|﹣3.5|+|10|+|﹣2|＝40km，40×0.15＝6（升）；答：该出租车在这个过程中行驶的路程是40km，共耗油6升．【点评】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义，根据题意，正确的列出算式，是解题的关键．11．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数2表示的点重合；（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数﹣3表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得；（2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则：①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合；②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解．【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，∴对称中心是原点，∴﹣2表示的点与2表示的点重合，（2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合，∴对称中心是1表示的点，∴5表示的点与数﹣3表示的点重合；②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5，∵对称点是表示1的点，∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5，故答案为：2；﹣3．【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键．四．相反数（共2小题）12．（2023•云岩区校级一模）若a与﹣2互为相反数，则a的值是（）A．﹣2 B． C． D．2【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此作答即可．【解答】解：∵a与﹣2互为相反数，∴a＝2．故选：D．【点评】本题考查了相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．13．（2023•振兴区校级一模）如果a与1互为相反数，那么a＝（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：因为a与1互为相反数，﹣1与1互为相反数，所以a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．五．绝对值（共2小题）14．（2023•运城二模）﹣9的绝对值是（）A．﹣9 B．9 C． D．【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．【解答】解：根据绝对值的性质，得|﹣9|＝9．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的性质，一个负数的绝对值是它的相反数，比较简单．15．（2023•涪城区模拟）若|a+2|＝﹣a﹣2，则|a﹣1|﹣|2﹣a|＝（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【分析】根据|a+2|＝﹣a﹣2确定a的取值范围，进而确定a﹣1，2﹣a的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可．【解答】解：∵|a+2|＝﹣a﹣2，∴a+2≤0，即a≤﹣2，∴a﹣1＜0，2﹣a＞0，∴|a﹣1|﹣|2﹣a|＝﹣a+1﹣2+a＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．六．非负数的性质：绝对值（共4小题）16．（2022秋•绥宁县期末）若|a+3|+|b﹣2|＝0，则（a+b）2022＝1．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+3|+|b﹣2|＝0，∴a＝﹣3，b＝2，则（a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝（﹣1）2022＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．17．（2022秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．（1）a＝﹣2，b＝﹣3．（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．【分析】（1）根据相反数、倒数的定义进行计算即可；（2）根据绝对值的非负性以及a、b的值进行计算即可．【解答】解：（1）∵a与2互为相反数，而2的相反数是﹣2，∴a＝﹣2，∵b与﹣互为倒数，而﹣的倒数是﹣3，∴b＝﹣3，故答案为：﹣2，﹣3；（2）∵|m﹣a|+|b+n|＝0，∴m﹣a＝0，b+n＝0，又∵a＝﹣2，b＝﹣3，∴m＝﹣2，n＝3，∴mn＝﹣2×3＝﹣6，答：mn的值为﹣6．【点评】本题考查的是非负数的性质，相反数以及互为倒数，掌握相反数、倒数的定义以及绝对值的非负性是正确解答的前提．18．（2022秋•封开县期末）若|x﹣2|+|2y﹣6|＝0，则x+y的值为（）A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣6【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，2y﹣6＝0，解得x＝2，y＝3，所以x+y＝3+2＝5．故选：B．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．19．（2022秋•郑州期末）若|a﹣2|+|b+3|＝0，则ba的值为9．【分析】由已知可得a﹣3＝0，b+4＝0，求出a＝3，b＝﹣4，即可求解．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∴ba＝（﹣3）2＝9，故答案为：9．【点评】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．七．倒数（共1小题）20．（2023•枣庄二模）下列互为倒数的是（）A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵3×＝1，∴3和互为倒数，符合题意；B、∵（﹣2）×2＝﹣4，∴﹣2和2不互为倒数，不符合题意；C、∵3×（﹣）＝﹣1，∴3和﹣不互为倒数，不符合题意；D、∵（﹣2）×＝﹣1，∴﹣2和不互为倒数，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．八．有理数大小比较（共2小题）21．（2023•樊城区模拟）在数2，﹣2，，﹣中，最小的数为（）A．﹣2 B． C． D．2【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣2＜﹣＜＜2，∴在数2，﹣2，，﹣中，最小的数为﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．22．（2023春•沈阳月考）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：﹣（﹣3），﹣，0，﹣|﹣|，2，并比较它们的大小．比较大小：﹣|﹣|＜﹣＜0＜2＜﹣（﹣3）．【分析】先根据相反数和绝对值进行计算，再画出数轴，在数轴上表示出各个数，再比较大小即可．【解答】解：﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣|＝﹣，在数轴上表示为：﹣|﹣|＜﹣＜0＜2＜﹣（﹣3），故答案为：﹣|﹣|，﹣，0，2，﹣（﹣3）．【点评】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较和数轴等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．九．有理数的加法（共1小题）23．（2023•顺庆区三模）比﹣1大2的数是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】根据有理数的加法法则，可得答案．【解答】解：﹣1+2＝（2﹣1）＝1，故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．一十．有理数的减法（共1小题）24．（2023•旺苍县模拟）计算（﹣2）﹣（﹣4）的结果等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6【分析】利用有理数的减法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2，故选：B．【点评】本题考查了有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数的减法法则．一十一．有理数的加减混合运算（共2小题）25．（2022秋•宛城区校级期末）把（﹣3）﹣（+4）﹣（﹣6）+（﹣7）+（+2）写成省略加号的和的形式正确的是（）A．﹣3﹣4﹣6﹣7+2 B．﹣3+4+6﹣7+2 C．﹣3﹣4+6﹣7+2 D．﹣3﹣4﹣6+7+2【分析】根据有理数的加减进行计算即可求解．【解答】解：（﹣3）﹣（+4）﹣（﹣6）+（﹣7）+（+2）＝﹣3﹣4+6﹣7+2，故选：C．【点评】本题考查了有理数的加减运算，正确的去括号是解题的关键．26．（2022秋•永年区期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（）甲：11+（﹣14）+19﹣（﹣6）＝11+19+[（﹣14）+（﹣6）]＝10乙：A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确【分析】先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解．【解答】解：甲：11+（﹣14）+19﹣（﹣6）＝11+19+[（﹣14）+6]＝30﹣8＝22，乙：原式＝（﹣）+（﹣）+（﹣）＝[（﹣）+（﹣）]+（﹣）＝（﹣1）+（﹣）＝﹣，故选：D．【点评】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律是解题的关键．一十二．有理数的乘法（共1小题）27．（2023•红桥区一模）计算（﹣2）×（﹣3）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【分析】根据有理数乘法法则进行计算即可．【解答】解：根据有理数乘法法则：负负得正，（﹣2）×（﹣3）＝6．故选：D．【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．一十三．有理数的除法（共2小题）28．（2023•滨湖区一模）某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【分析】求出a的正确取值，代入﹣16÷a即可．【解答】解：计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果得﹣12，即：﹣16+a＝﹣12，则a＝4．﹣16÷a＝﹣16÷4＝﹣4．故选：D．【点评】此题考查有理数的除法，求出a的正确取值是关键．29．（2023•山西模拟）计算：的结果是（）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算即可求解．【解答】解：（﹣4）÷（﹣）＝4×2＝8．故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的除法运算，是基础题，有理数的运算要注意运算符号的处理，这也是七年级同学最容易出错的地方．一十四．有理数的乘方（共2小题）30．（2023春•长宁区期末）计算：（﹣1）2022×33＝27．【分析】根据（﹣1）的偶数次幂等于1，有理数的乘方的意义进行计算即可得解．【解答】解：（﹣1）2022×33＝1×27＝27．故答案为：27．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，难点在于熟记﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1求出（﹣1）2012＝1．31．（2023•伊通县模拟）43表示的意义是（）A．4+4+4 B．4×4×4 C．4×3 D．3×3×3×3【分析】关键乘方的定义求解．【解答】解：43＝4×4×4．故选：B．【点评】本题考查了乘方的定义，熟记定义是解题的关键．一十五．非负数的性质：偶次方（共2小题）32．（2022秋•昆都仑区校级期末）若|a+|+（b﹣3）2＝0，则（ab）2021的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵|a+|+（b﹣3）2＝0，∴a+＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣，b＝3，∴（ab）2021＝（﹣×3）2021＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．33．（2023春•江都区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为2，则△ABC的周长为7．【分析】根据非负性的和为零的特点，计算出b、c的值，根据三角形周长的计算即可．【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，即b＝2，c＝3，∴△ABC的周长为a+b+c＝2+2+3＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了完全平方和绝对值的非负性，两个非负数的和为0则这两个数都为0．一十六．有理数的混合运算（共7小题）34．（2022秋•武安市期末）计算（﹣+﹣）×（﹣24）的结果是（）A．1 B．﹣1 C．10 D．﹣10【分析】根据乘法分配律计算即可．【解答】解：（﹣+﹣）×（﹣24）＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）＝﹣22+28+（﹣18）+13＝1，故选：A．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．35．（2022秋•益阳期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2﹣的值．【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，当x＝2时，x3+cdx2﹣＝23+1×22﹣＝8+1×4﹣0＝8+4﹣0＝12；当x＝﹣2时，x3+cdx2﹣＝（﹣2）3+1×（﹣2）2﹣＝﹣8+1×4﹣0＝﹣8+4﹣0＝﹣4，由上可得，x3+cdx2﹣的值为12或﹣4．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．36．（2023•大连一模）计算：．【分析】先算括号里面的，再算乘方，乘法，最后算加减即可．【解答】解：原式＝﹣8﹣（+﹣0.75）×24＝﹣8﹣（×24+×24﹣×24）＝﹣8﹣（4+9﹣18）＝﹣8﹣（﹣5）＝﹣3．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．37．（2023春•青秀区期中）计算：﹣22×5﹣（﹣2）3÷4．【分析】先算乘方，再算乘除，最后计算加减．【解答】解：原式＝﹣4×5﹣（﹣8）÷4＝﹣20﹣（﹣2）＝﹣20+2＝﹣18．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟记有理数混合运算的顺序，运算法则．38．（2022秋•泗水县期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．（1）如果小玲想的数是﹣5，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；（2）如果小明想了一个数计算后告诉魔术师结果为2023，魔术师立刻说出小明想的那个数，你知道小明说的那个数是多少吗？【分析】（1）利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即可；（2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于2023，得出一元一次方程，即可求出答案．【解答】解：（1）（﹣5×3﹣6）×3+7＝﹣56；（2）设这个数为x，（3x﹣6）×3+7＝2023，解得，x＝226．∴小明想的那个数是226．【点评】此题主要考查有理数的混合运算，正确理解题中运算步骤的规律性是解题的关键．39．（2023•阜城县校级模拟）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．【分析】（1）根据a@b＝，a⊕b＝，代入计算即可求解；（2）根据a@b＝，a⊕b＝，代入计算求出A和B，再比较A和B的大小即可求解．【解答】解：（1）3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）＝﹣＝+＝1；（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝+＝3b﹣1，B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝+＝3b+1，则A＜B．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握定义新运算的运算法则是解本题的关键．40．（2023•池州模拟）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：所以：＝＝＝问题：计算：①；②．【分析】（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为＝﹣，依此抵消即可求解；（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为＝（﹣），依此抵消即可求解．【解答】解：①＝＝＝；②＝＝＝＝＝．【点评】考查了有理数的混合运算，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．一十七．近似数和有效数字（共1小题）41．（2022秋•曲靖期末）由四舍五入得到的近似数57.75万，精确到了（）A．十分位 B．百分位 C．百位 D．千位【分析】确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位即可．【解答】解：由四舍五入得到的近似数57.75万，精确到了百位；故选：C．【点评】本题考查了近似数和有效数字，确定一个近似数精确到哪位的方法是需要熟记的内容．一十八．科学记数法—表示较大的数（共1小题）42．（2022秋•高新区期末）2022年10月12号，“神舟十四号”飞行乘组，在距地面约390000米的中国空间站问天实验舱开展第三次天宫授课，大大激发了广大青少年的追求科学的兴趣，数据“390000”用科学记数法表示为（）A．3.9×104 B．3.9×105 C．39×104 D．0.39×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：390000＝3.9×105．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．一十九．科学记数法—原数（共1小题）43．（2022秋•大连期末）用科学记数法写出的数﹣7.04×105原数是﹣704000．【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．【解答】解：﹣7.04×105＝﹣704000．故答案为：﹣704000．【点评】本题主要考查的是科学记数法，确定出原数的整数位数是解题的关键．二十．科学记数法与有效数字（共1小题）44．（2023春•普陀区期末）用科学记数法表示0.00763，结果保留两个有效数字约为7.6×10﹣3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：用科学记数法表示0.00763，结果保留两个有效数字约为：7.6×10﹣3，故答案为：7.6×10﹣3．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二十一．计算器—有理数（共1小题）45．（2022秋•安次区期中）用计算器求﹣53，按键的顺序正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据计算器的应用求解．【解答】解：根据计算器的应用，故选：A．【点评】本题考查了计算器的应用，掌握计算器的基本用法是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．表示（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据乘方的意义解答即可．【详解】表示，故选C．【点睛】本题考查乘方的意义，掌握求n个相同因数乘积的运算叫做乘方是解题关键．2．的相反数和倒数分别为（）A．3，3 B．3，- C．-，3 D．以上都不对【答案】B【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案.【详解】的相反数为，倒数为.故选：.【点睛】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.3．甲、乙、丙三地的海拔分别为10米，-12米，-5米，那么最高的地方比最低的地方高(

)A．15米 B．22米 C．17米 D．7米【答案】B【分析】根据有理数的大小的比较方法，判断出三地的海拔高低；然后用海拔最高的减去海拔最低的即可．【详解】解：10＞-5＞-12∵10-（-12）=22（米），∴最高的地方比最低的地方高22米．故选B．【点睛】本题主要考查了有理数的减法的运算方法，以及有理数大小比较的方法，要熟练掌握．4．把有理数a、b在数轴上表示，如图所示，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数轴知b＜-1＜0＜a＜1，且|a|＜|b|，再利用有理数的除法、加法、减法等知识点逐一判断可得．【详解】解：从数轴可知：b＜-1＜0＜a＜1．∵|a|＜|b|，∴a-b>0，故选项A不正确；∴a+b＜0，即a＜-b，故选项B不正确；∵1＞a，且a＞0，∴＞1，故选项C正确；∵-1＞b，即1＜-b，且b＜0，∴＞-1，故选项D不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是数轴上根据点的位置，确定点表示的数大小范围：数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大．5．如图，有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则a+b的结果是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】C【分析】根据数轴的特点求出a，b，故可求解．【详解】由数轴可得a=-1，b=1∴a+b=0故选C．【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知数轴上数的表示．6．如果a与b互为相反数，下列各式中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】互为相反数的性质：两数互为相反数，它们的和为0，据此解答即可．【详解】解：由相反数的性质知：a+b=0，a=-b，；A.，正确，不符合题意；B.，正确，不符合题意；C.，正确，不符合题意；D.由得，即a，b互为倒数，故此错误，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查的是相反数的相关定义和知识，相反数只是符号相反但绝对值相等的两个数，要特别注意0这个特殊的数字，以免造成错解．7．据人民网5月20日电报道：中国森林生态系统年涵养水源量为4947．66亿立方米，将4947．66亿用科学记数法表示为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式，所以用科学记数法表示4947．66亿=，故选C考点：科学记数法8．如果向东走记为，则向西走可记为(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为正，可得向西走的表示方法．【详解】解：若向东走2m记作+2m，则向西走3m记作-3m，故选C．【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示．9．下列各数：﹣6.2，﹣|+|，﹣（﹣1），﹣22，﹣[﹣（+2）]中，负数有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．2个【答案】A【详解】试题解析：负数有：共3个，故选A．10．若|m﹣2|+（n+3）2＝0，则m﹣n的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【答案】D【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而得出答案．【详解】解：∵|m﹣2|+（n+3）2＝0，∴m﹣2＝0，n+3＝0，解得：m＝2，n＝﹣3，∴m﹣n＝2﹣（﹣3）＝5．故选：D．【点睛】此题主要考查绝对值与平方的性质，解题的关键是熟知非负性的运用.二、填空题11．的绝对值是；倒数是．【答案】【分析】乘积为1的两个数互为倒数，正数的绝对值是它本身，可得答案．【详解】解：的绝对值是，倒数是．故答案为：，．【点睛】本题考查了倒数和绝对值，分子分母交换位置是求一个数倒数的关键，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．12．比较大小：（填“”或“”或“”）．【答案】【分析】两个负数比较大小，绝对值较大的反而小，由此判断即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了比较两个负数的大小，掌握绝对值比较大小的方法，是解题关键．13．计算：﹣12020+（﹣1）2019＝．【答案】-2【解析】首先计算乘方，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【详解】解：﹣12020+（﹣1）2019＝﹣1+（﹣1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【分析】本题考查有理数的乘方运算,熟记乘方运算法则,灵活掌握奇偶次方运算规律是解题的关键.14．下列说法：①两数的差一定小于被减数；②减去一个数等于加上这个数的相反数；③零减去一个数等于这个数的相反数；④一个负数减去一个正数差小于0；⑤两数相加和小于每一个加数，则这两个数一正一负．其中正确的说法是；【答案】②③④【分析】根据有理数的减法和加法运算法则对各小题分析判断即可得解．【详解】解：①两数的差一定小于被减数，错误，减数是负数时差大于被减数；②减去一个数等于加上这个数的相反数，正确；③零减去一个数等于这个数的相反数，正确；④一个负数减去一个正数差小于0，正确；⑤两数相加和小于每一个加数，则这两个数都是负数，综上所述，正确的说法是②③④．故答案为②③④．【点睛】本题考查了有理数的减法、有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．15．请你画出一个数轴，在数轴上记出：、、0及绝对值是5的各点；看图回答：（1）若设表示的点是A，将点A沿数轴先向左移动1.5个单位再向右移动单位，最后点A表示的数是什么？回答：；（2）小于5且不小于的整数有个，它们分别是．（3）若M、N是数轴上的两点，且M点到原点的距离是1，当N点与M点分别在原点的两侧，两点之间的距离是4时，M、N各表示的是什么数．回答：．【答案】08，，，0，4M表示1时，N表示；M表示时，N表示3【分析】题设：按要求画出数轴即可；（1）根据数轴的特点，向左移表示减，向右移表示加，由此求解即可；（2）利用数轴进行求解即可得到答案；（3）M点到原点的距离是1，M表示的数为1或-1，然后分别讨论当M为1或-1时N的值即可．【详解】解：如图所示，数轴即为所求：（1）由题意得：最后点A表示的数是，故答案为：0；（2）如上图数轴所示，小于5且不小于的整数有8个，它们分别是±3，±2，±1，0，4，故答案为：8；±3，±2，±1，0，4；（3）∵M点到原点的距离是1，∴M表示的数为1或-1，当M表示的是-1时，∵N点与M点分别在原点的两侧，两点之间的距离是4，∴此时N点表示的数是距离-1的距离为4的数，∴N点表示的数为3，同理求得当M表示的数为1时，N点表示的数为-3，∴M表示1时，N表示−3；M表示−1时，N表示3，故答案为：M表示1时，N表示−3；M表示−1时，N表示3．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16．将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对(n，m)表示第n排、第m个数，比如(4，2)表示的数是8，则若(25，6)表示的数是．【答案】306【分析】据（4，2）表示整数8，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：对所有数对（n，m）(n≥m)有：（n，m）＝（1＋2＋3＋…＋n−1）＋m＝+m．【详解】解：有序数对(n，m)表示第n排、第m个数，对如图中给出的有序数对和（4，2）表示整数8可得，（4，2）＝+2＝8；（3，1）＝＋1＝4；…，由此可以发现，对所有数对（n，m）(n≥m)有：（n，m）＝（1＋2＋3＋…＋n−1）＋m＝+m．所以，（25，6）＝＋6＝300＋6＝306．故答案为：306．【点睛】此题考查对数字变化类知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律，解决问题．三、解答题17．把下面个各数填入相应的大括号内，，，，，，，整数集合：{_______________________}，非负整数集合：{_______________________}，负分数集合：{______________________}．正有理数集合：{______________________}．【答案】整数集合：{5，0，，+27}；非负整数集合：{5，0，+27}；负分数集合：{，，}；正有理数集合：{5，，}【分析】根据有理数的分类进行解答即可，注意非负整数表示：正整数和．【详解】解：整数集合：{5，0，，}；非负整数集合：{5，0，}；负分数集合：{，，}，正有理数集合：{5，，}．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解本题的关系，注意带“非”字有理数分类．18．计算：（﹣6.5）×（﹣2）÷（）÷（﹣5）．【答案】【分析】除法转化为乘法，再依据法则计算可得．【详解】解：原式＝13×（﹣3）×（）．【点睛】本题主要考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序与运算法则及运算律．19．计算：【答案】1【详解】解：===1.【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数运算顺序和法则，准确进行计算．20．某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家，请问：（1）聪聪家与刚刚家相距多远?（2）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少?（3）如果把这条人民路看作一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位．（数轴上一格表示50米）