第9讲 勾股定理的应用-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）（教师版）

第九讲勾股定理的应用【学习目标】知识与技能:经历多种方法探索勾股定理，进一步利用勾股定理进行简单的计算和证明，解决实际问题。【基础知识】1能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.【考点剖析】考点一：求梯子滑动的距离例1．一架云梯AB斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离AC＝24米，梯子底端距墙脚的距离BC＝7米．（1）求梯子的长度．（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动4米吗？为什么？【答案】（1）25米；（2）梯子底部在水平方向滑动了8米【详解】解：（1）由题意可得：AC=24米，BC=7米，∠ACB=90°，∴AB==25米，∴梯子的长度为25米；（2）如图，在Rt△CDE中，∵CD=AC-4=24-4=20米，DE=25米，∴CE==15米，∴BE=CE-BC=15-7=8（米）．答：梯子底部在水平方向滑动了8米．考点二：航海问题例2．如图，一艘轮船从小岛处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小时到达处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达处继续执行任务，然后以相同的速度直接从处返回处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行任务时间）【答案】1小时【详解】（海里），（海里），再Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得：（海里），∴返回所用时间为：小时，出去所用时间为：小时，∴则返回时比出去时节省的时间为：小时．答：返回时比出去时节省了1小时．考点三：求旗杆的高度例3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【答案】旗杆的高度为12米【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理可得：x2+52=（x+1）2，解得，x=12．答：旗杆的高度为12米．【真题演练】1．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A，B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为（）A．2km B．4km C．10km D．14km【答案】B【详解】解：由题意可得：则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．

故选：B．2．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（）A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里【答案】B【详解】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°，又∵OA=8海里，OB=6海里，∴AB=（海里）．故选：B．3．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（）A．天 B．天 C．天 D．天【答案】A【详解】解：∵，∴.在中，，，∴，∴隧道凿通需要（天），∴天才能把隧道凿通．故选：．4．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为5m，梯子的顶端B到地面的距离为12m，现将梯子的底端A向外移动到A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于6m，同时梯子的顶端B下降至B'，那么BB'（）A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m【答案】A【详解】解：在Rt△AOB中，由勾股定理可知AB2＝AO2＋OB2＝169，

在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2＝A′O2＋OB′2．

∵AB＝A′B′，

∴A′O2＋OB′2＝169，

∴OB′＝=，∴BB′＝OB−OB′＝12−＜1．

故选：A．5．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．x2＝（x﹣1）2+102 B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12 D．（x+1）2＝x2+12【答案】A【详解】如图所示，依题意BA=10尺，CD=1尺，AC=BD，设木杆长x尺，AC=x尺，则BC=（x-1）尺，在RtΔABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2即x2=102+(x-1)2．故选择：A．6．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．【答案】17【详解】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为=12米，

则红地毯至少要12+5=17米长，故答案为：17．7．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x尺，则依题意所列方程为__________．（1丈=10尺，1尺=10寸）【答案】【详解】设长方形门的宽尺，则高是（）尺，根据题意得，故答案为：．8．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是______尺．【答案】13【详解】解：设芦苇长AB=AB′=x尺，则水深AC=(x-1)尺，因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，解之得x=13，即芦苇长13尺．故答案为：13．9．一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）____．【答案】30cm．【详解】由题意，得AC=3×16÷2=24．在Rt△ABC中，由勾股定理，得=30cm．故填：30cm．10．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子拉展后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m（绳子下端与旗杆根部的距离），请你帮小明计算旗杆的高．【答案】12m．【详解】解：如图，表示旗杆，表示拉展的绳子，设的长是m，则的长是m，在中，∴整理得：解得：答：旗杆的高是12m．11．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．【答案】千米解：由题意可得：AB=3，AD=5∴在Rt△ABD中，设AC=CD=x，则BC=4-x在Rt△ABC中，，解得：x=∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米12．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【答案】（1）梯子距离地面的高度为米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．【详解】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，根据勾股定理：OB′＝2米，所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．13．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，梯子顶端到地面的距离为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米．（1）梯子的长是多少？（2）求小巷的宽．【答案】（1）2.5米；（2）2.7米【详解】（1）在中，∵，米，米，∴．∴（米）．答：梯子的长是2.5米（2）在中，∵，米，，∴，∴．∵，∴米．∴米．答：小巷的宽度为2.7米．【过关检测】1．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（）千米．A．26 B．18 C．13 D．32【答案】A【详解】解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝242＋102，∴AC＝26km．故选：A．2．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子原高1丈（1长=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面尺，则下面所列方程正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：，故选：C．3．如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意得：当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分a的长度为最小，即为12，当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度为最大，如图所示：∴，∴在Rt△ABC中，，∴吸管在罐内部分a的长度的范围是，故选A．4．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【详解】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，连接AC，由题意得：EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8m，在Rt△AEC中，AC＝＝＝10m，故小鸟至少飞行10m．故选：C．5．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（）A．12 B．13 C．15 D．24【答案】A【详解】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m，在中，解得：故选：A．6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．6 B．8 C．9 D．15【答案】D【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：D．7．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________cm．【答案】13【详解】解：如图所示：BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm，连接BD、AD，在Rt△BCD中，BD==5（cm），在Rt△ABD中，AD==13（cm）．故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm．故答案为：13．8．如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高_____．【答案】36米【详解】解：∵大树离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，即△ABC是直角三角形，∴BC=，∵AB=10米，AC=24米，∴（米），∴大树的高度=AB+BC=26+10=36（米）．故答案为：36米．9．我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．【答案】x2−（x−3）2＝82【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，故答案为：x2−（x−3）2＝82．10．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）．

【答案】【详解】解：设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得：，解得：∴，故答案为．11．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，未折抵地，间折者高几何？”意思是：一根柱子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【答案】尺【详解】解：设还有尺高，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：；

解得：答：还有尺高．故答案为：尺12．如图是某体育广场上的秋千，秋千静止时，其下端离地面0.7m，秋千荡到最高位置时，其下端离地面1.2m，此时秋千与静止位置时的水