第04讲 认识实数(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第04讲认识实数内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1无理数的识别题型2无理数的大小估算题型3实数概念理解题型4实数的分类题型5实数的性质题型6实数的数轴题型7实数的大小比较04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航无理数、实数、一一对应、无限不循环小数、数系扩充。1.理解无理数和实数的概念，知道实数分为有理数和无理数。2.能识别常见无理数（如π、含根号开不尽的数、无限不循环小数）。3.知道实数与数轴上的点一一对应，能在数轴上估算并标出简单无理数的位置。4.体会数系扩充的必要性，感受逼近思想与数形结合的数学方法。学习重点：无理数与实数的概念，以及实数与数轴上点的一一对应关系。学习难点：理解无理数是无限不循环小数，以及用数轴上的点表示无理数（如2的几何构造）。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01无理数的概念概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式(2)常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.【易错提醒】无理数是无限不循环小数。常见形式：含π的数、开方开不尽的根式（如√2）、有规律但不循环小数（如0.1010010001…）。注意分数（如1/3）是循环小数，不是无理数。即时即练在实数，，，，（两个之间依次多一个），，中，无理数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个知识点02实数1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数.2.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数实数3.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.【易错提醒】实数包括有理数和无理数，不是仅指无理数。注意：所有开方运算结果不一定都是无理数（如√4=2），带根号的数不一定是无理数。分类勿遗漏0。即时即练把下列各数的序号填在相应的横线上：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间依次多一个0）．整数_______________；负分数_____________；无理数_____________．题型1无理数的识别【例1】下列各数是无理数的是（）A． B． C．0 D．【例2】下列四个实数中，是无理数的是（

）A． B．0.3 C． D．【技巧归纳】1.定义法：无限不循环小数为无理数，常见π、e、开方开不尽的数（2）。2.排除法：整数、分数（含循环小数）为有理数，其余多为无理数。3.注意形式：22仍无理，带根号但能开尽（4【变式1-1】在实数：，，3，，，（相邻每个1之间依次多一个0），中，无理数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式1-2】下列各数中：（3和3之间的0的个数依次增加1个），，无理数有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型2无理数的大小估算【例3】下列各数，比大的是（

）A． B． C． D．【例4】估计的值应在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【技巧归纳】1.找邻近平方数：如5，因4<5<9，故2<5<3。2.二分逼近：取中间值平方比较，逐步缩小范围到所需精度。3.保留近似值：常用1.414、1.732、2.236等熟记。【变式2-1】如图，数轴上点A表示的数可能是（

）A． B． C． D．【变式2-2】《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（为“勾”，为“股”，为“弦”）若“勾”为，“股”为，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（）A．点 B．点 C．点 D．点题型3实数概念理解【例5】已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例6】下列说法正确的是（

）A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数【技巧归纳】1.实数组成：有理数（整数、分数）与无理数（无限不循环小数）。2.与数轴关系：每个实数与数轴上点一一对应。3.分类标准：按定义（有理/无理）或性质（正/负/零）区分，注意0既非正非负。【变式3-1】下列说法正确的是（

）A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数【变式3-2】下列判断正确的是（）A．是分数，是有理数 B．是整数，是有理数C．是无限小数，是无理数 D．3.1415926是小数，是无理数题型4实数的分类【例7】把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）．(1)正实数：{}；(2)负实数：{}；(3)有理数：{}；(4)无理数：{}．【例8】请将下列各数分别填入相应的括号内：…（两个6之间依次增加一个5），，0，，8，，，，，，．正数：{

，…}；有理数：{

，…}；负数：{

，…}；无理数：{

，…}．【技巧归纳】1.二分法：实数分为有理数和无理数。2.三分法：正实数、零、负实数。3.有理数再分：整数（正整数、零、负整数）和分数（正负分数、有限小数、无限循环小数）。4.注意：无理数是无限不循环小数。【变式4-1】在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．(1)有理数集合：{

…}；(2)无理数集合：{

…}；(3)正实数集合：{

…}；(4)负实数集合：{

…}．【变式4-2】把下列各数填入相应的大括号内：，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）．有理数：｛

｝；无理数：｛

｝；整数：｛

｝；负实数：｛

｝．题型5实数的性质【例9】实数的相反数是__________．【例10】的相反数是______，的绝对值是______．【技巧归纳】1.运算封闭：加、减、乘、除（除数≠0）结果仍为实数。2.比较大小：正数>0>负数；两负数绝对值大的反而小。3.数轴对应：每个实数与数轴上的点一一对应。4.相反数、倒数、绝对值：定义与有理数相同。【变式5-1】的相反数是______，的绝对值是______．【变式5-2】（1）的倒数是__________．（2）相反数和绝对值都为的实数是_____________．（3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________．题型6实数的数轴【例11】如图，数轴上的点表示的数为，则．【例12】如图，在数轴上，点表示的数为，垂直数轴，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为．【技巧归纳】1.一一对应：每个实数对应数轴上唯一一点，反之亦然。2.比较大小：右点表示的数大于左点。3.表示无理数：用勾股定理作2等，以原点为心画弧取点。4.求距离：|a-b|。【变式6-1】如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则N点所表示的数为．【变式6-2】如图，数轴上表示的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．(1)写出实数x的值．(2)求的值．题型7实数的大小比较【例13】比较大小：．【例14】比较大小：．(填“”“”或“”)【技巧归纳】1.数轴法：右大左小。2.近似法：取无理数近似值比较。3.平方法：平方后比较（正数）。4.作差法：差>0则大。5.作商法：商>1且正数则大。6.找中间量。注意分母有理化。【变式7-1】比较大小：（选填“”，“”或“”）．【变式7-2】（1）比较与的大小；（2）比较与的大小一、单选题1．实数的相反数是（

）A． B． C．6 D．2．如图，在数轴上表示的点可能是（

）A．点 B．点 C．点 D．点3．在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（

）A． B． C． D．5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，，记，那么三角形的面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题6．如图，在数轴上点A表示的实数是________7．比较大小：______．______．8．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母）9．在，，，（每两个之间的个数依次增加），，中，无理数的个数有______个．10．斐波那契数列中的第n项可以用表示，随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值，因此斐波那契数列又称黄金分割数列．在上述式子中，最接近的整数为______．三、解答题11．利用勾股定理在数轴上画出的点P12．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14．(1)整数集合：{

…}；(2)分数集合：{

…}；(3)非负有理数集合：{

…}；(4)无理数集合：{

…}．13．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点上．(1)在图①中画一条长度为的线段；(2)在图②中画一个面积为5的正方形．14．如图，数轴上A、B