第07讲 立方根(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第07讲立方根内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1立方根概念理解题型2求一个数的立方根题型3已知一个数的立方根，求这个数题型4立方根的性质题型5与立方根有关的程序运算问题题型6利用开立方解方程题型7平方根与立方根的综合题型8立方根的应用题型9与立方根有关的规律探究问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航立方根、三次根号、立方运算、性质、负数立方根、开立方。1.理解立方根的概念，掌握立方根的符号表示（3a2.掌握立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。3.理解平方根与立方根的区别（如负数有立方根而无平方根），能正确区分二者。4.能用立方根解决简单的实际问题，体会数系扩充的必要性与数学的实用性。学习重点:立方根的概念及其性质，特别是负数也有立方根（区别于平方根）。学习难点:理解立方根与平方根的区别与联系（如负数立方根的存在性、3−a=−知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01立方根的定义1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.2.立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.【易错提醒】立方根定义易错警示：若x3=a，则x是a的立方根，记作3a。任何实数都有唯一立方根，符号与被开方数相同（正、负、0即时即练1．计算：．2．已知a的立方根为，则a的值为．知识点02立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.【易错提醒】立方根性质易错警示：3−a=−3a；3a3=a（对任意实数成立）。注意与平方根性质区分（平方根有即时即练若，则的平方根是．知识点03立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【易错提醒】立方根小数点移位易错警示：被开方数小数点每移动三位，立方根小数点向相同方向移动一位。注意与平方根（移动两位）区分。仅适用于小数位数移动，且被开方数需为完全立方数附近。即时即练完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题．x…64640064000……8m……n40…(1)表格中的______，______；(2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数)(3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数）题型1立方根概念理解【例1】下列语句正确的是（）A．负数没有立方根 B．的立方根是C．立方根等于本身的数只有 D．【例2】下列选项正确的是（

）A．8的立方根是 B．C． D．立方根等于本身的数只有1和0【技巧归纳】若x3=a，则x是a的立方根，记作3a。任何实数都有唯一立方根，符号与原数相同。负数立方根为负，0立方根为0。3−a=【变式1-1】下列说法中，正确的是（

）A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数【变式2】下列说法正确的是（

）A．的立方根是 B．没有立方根C．立方根等于本身的数是和 D．题型2求一个数的立方根【例3】64的立方根是．【例4】计算：．【技巧归纳】求立方根：正数立方根为正，负数为负。可将数分解质因数，找出三个相同因子，提取一个。分数则分子分母分别开立方，小数化分数。【变式1-1】的平方根是．的立方根是．2．填空题．（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是_________．（2）___________________；_____．（3）的平方根是_______；的立方根是_____．题型3已知一个数的立方根，求这个数【例5】已知一个数的立方根为，则这个数为．【例6】一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为．【技巧归纳】已知立方根求原数，直接将立方根进行立方运算。注意立方根符号与原数一致，负数的立方根为负，立方后仍得负数。如3a=2，则a=8；若3a=-3\)，则a=-【变式1-1】已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____．【变式2】已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根．题型4立方根的性质【例7】已知，则的值为．【例8】数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为．【技巧归纳】立方根性质：3a3=a。负数立方根性质：3−a【变式1-1】根据立方根的意义填空：_____，_____，______，_____，_____．观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？8．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示：(1)化简：(2)若实数，满足，求的立方根．题型5与立方根有关的程序运算问题【例9】如图是一个数值转换器，当输入数值8时，输出的是______．【例10】按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是729，则输出的的值是_____．【技巧归纳】按流程图顺序执行，输入数值后依次开立方、加减乘除等。注意立方根符号可能改变正负，可用性质3−a=−3a简化。遇到循环结构，多次开立方可能趋近于1【变式1-1】小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是_________．7．小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为_____．题型6利用开立方解方程【例11】解下列方程：(1)；(2)【例12】求下列各式中的x(1)；(2)；【技巧归纳】解形如x3=a的方程：两边同时开立方得x=3a。若方程为(ax+b)3=c，则开立方得ax+b=3【变式1-1】解下列方程：(1)；(2)．【变式2】求下列各式中x的值：(1)；(2)．题型7平方根与立方根的综合【例13】已知的平方根是的立方根是2．(1)求的值；(2)求的算术平方根．【例14】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2．(1)求，的值；(2)求的平方根．【技巧归纳】平方根非负，立方根保号。混合运算时注意运算顺序，先开方再加减乘除。解方程时，平方根需考虑正负，立方根唯一。化简要区分a2=|a|与3a3【变式1-1】已知正数的算术平方根是，的立方根是．(1)求，的值；(2)求的平方根．【变式2】已知的立方根是，的算术平方根是3．(1)求a，b的值；(2)若，且c是整数，求的平方根．题型8立方根的应用【例15】如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？【例16】将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？【技巧归纳】立方根应用：求立方体边长（体积开立方）、球体半径（体积反推）、缩放比例。实际问题中注意单位一致，结果取正根。如体积为V的正方体，边长a=3V【变式1-1】如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块．(1)求该正方体铁块的棱长；(2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长．【变式2】在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了．(1)铁块的棱长为多少厘米？(2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？题型9与立方根有关的规律探究问题【例17】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题：(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___________移动___________位；(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___________，___________．(3)类比上述立方根运算：已知，则___________，___________．【例18】观察下列规律回答问题：(1)_______，_______；(2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______；(3)根据规律写出与a的大小情况．【技巧归纳】计算若干立方根值，观察结果整数部分、小数变化或循环。猜想含n的通项公式，如3n3=【变式1-1】（1）填表：a0.0000080.00888000（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；（3）根据你发现的规律解答：①已知，，，则介于哪两个整数之间？②已知，则______；③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）a0.0000080.008880000.020.222012．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是；③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1)；(2)若，则；(3)已知，且与互为相反数，求，的值．一、单选题1．式子表示的意义是（

）A．的平方根是 B．的立方根是C．的立方根是 D．的平方根是2．在下列实数中：，，，，，…（每两个1之间多一个0）其中无理数有（

）A． B．个 C．个 D．个3．下列结论正确的是（

）A． B．的平方根是C．若，则 D．64的立方根是4．是的平方根，是的立方根，则的值为（

）A．1或 B． C．1 D．或55．如果，那么约等于（

）A． B． C． D．二、填空题6．9的平方根是________，的立方根是________．7．已知，则的值是_____．8．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根是___．9．已知a的立方根是2，b是的整数部分，c是9的平方根，则的算术平方根是___________．10．（1）已知，则_______；（2）已知则________．三、解答题11．求下列各式中x的值：(1)；(2)．12．已知一个正数的两个平方根分别为和，是的整数部分．(1)求的值，并求这个正数；(2)求的立方根．13．已知的平方根为，的立方根为．(1)求的算术平方根；(2)若是的整数部分，求的立方根．14．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．(1)求出这个魔方的棱长；(2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长；(3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与表示的点重合，那么点在数轴上表示的数为_____________．15．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：…0.00010.01110010000……0.011100…(1)表格中________，___