第10讲 平面直角坐标系(8类重点题型+过关检测)(原卷版)

添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群添加微信xiaoanziliao6免费拉进资料分享群第10讲平面直角坐标系内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1用有序数对表示位置/路线题型2判断点所在的象限题型3求点到坐标轴的距离题型4已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标题型5已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标题型6坐标与图形题型7建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标题型8与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航平面直角坐标系、坐标、横轴、纵轴、象限、一一对应、数形结合。1.理解平面直角坐标系的概念，掌握横轴（x轴）、纵轴（y轴）、原点等构成要素。2.能在给定的坐标系中，根据点的位置写出坐标，由坐标描出点的位置。3.知道四个象限的划分及坐标轴上点的坐标特征，理解平面上的点与有序实数对的一一对应关系。4.经历坐标系建立过程，体会数形结合思想，感受代数与几何的联系。学习重点：平面直角坐标系的概念；能由坐标描点，由点的位置写出坐标。学习难点：理解平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01确定位置在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。【易错提醒】确定位置易错警示：用有序数对（如行列、经纬度）或方向与距离表示。注意“列”与“行”的顺序不可颠倒；方向描述需明确参照点（如“北偏东30°”），距离单位统一。地图上注意比例尺换算。即时即练1．根据下列表述，能确定具体位置的是（

）A．八年级教室 B．北京东路C．东偏北方向 D．东经，北纬2．在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是（）A．点 B．点C．点 D．点知识点02平面直角坐标系1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．2.点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．3.象限和坐标轴：（1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，；（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，.（5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：；注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．4.坐标系中的特殊直线：（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为；（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为．（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为；（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为．5.点到特殊直线的距离：（1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为；（2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为．【易错提醒】平面直角坐标系易错警示：由互相垂直、有公共原点的两条数轴组成。注意：象限按逆时针顺序（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ）。坐标轴上的点不属于任何象限。点P(a,b)中a为横坐标（x轴），b为纵坐标（y轴），顺序不可互换。即时即练1．下列说法不正确的是（

）A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上B．点到轴的距离是2C．若中，则点在轴上D．点可能在第二象限2．已知平面直角坐标系内的不同点．则下列说法中正确的是（

）A．若点A在第一、三象限的角平分线上，则B．若点B在第二、四象限的角平分线上，则C．若直线平行于x轴，则且D．若直线平行于y轴，且，则3．已知点，(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；(2)若点，且轴，求a的值；(3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标．题型1用有序数对表示位置/路线【例1】根据下列表述，能确定位置的是（

）A．航海东路 B．大卫城负二层停车场C．奥斯卡影城3号厅2排 D．东经，北纬【例2】如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（

）A．目标B B．目标C C．目标D D．目标F【技巧归纳】有序数对(x,y)表示平面内位置，x为横坐标（水平），y为纵坐标（垂直）。路线问题：按指令移动，起点加增量。如右移→x+，上移→y+。建立坐标系后，用坐标描述路径，注意方向与符号。区分“列行”与“横纵”。【变式1-1】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（

）A．7 B．21 C．23 D．35【变式1-2】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．(1)图中（________，________）；(2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程；(3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置．题型2判断点所在的象限【例3】在平面直角坐标系内，点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例4】在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（

）A． B． C． D．【技巧归纳】根据横纵坐标符号：第一象限(+，+)，第二(-，+)，第三(-，-)，第四(+，-)。坐标轴上的点不属于任何象限（x轴y=0，y轴x=0）。先看符号，再对应象限。如(2,-3)在第四象限。原点(0,0)在原点。【变式2-1】某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式2-2】若点在第一象限，则点一定在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型3求点到坐标轴的距离【例5】点到轴的距离是，到轴的距离是．【例6】已知点，则点A到x轴的距离是；到y轴的距离是．【技巧归纳】点到x轴距离=纵坐标绝对值|y|；到y轴距离=横坐标绝对值|x|。如P(3,-4)到x轴距离4，到y轴距离3。注意距离非负。到原点距离用勾股√(x²+y²)。坐标系中距离常用绝对值表示。【变式3-1】点到轴的距离是，到坐标原点的距离是．【变式3-2】点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3．则点P的坐标是．题型4已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标【例7】已知点在y轴上，则．【例8】如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为【技巧归纳】点在x轴上则纵坐标=0；在y轴上则横坐标=0。设参数方程等于0，解参数，再代回得坐标。如P(m+1,2m-3)在x轴上，则2m-3=0得m=1.5，P(2.5,0)。注意区分坐标轴，同时满足x=0且y=0时原点。【变式4-1】已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是．【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作．（1）若，则；（2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为．题型5已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标【例9】在平面直角坐标系中，已知点，．(1)点是否可能与原点重合，请说明理由；(2)若点在轴下方，且轴，，求和的值．【例10】已知点，试根据以下条件分别求出点A的坐标：(1)点A的横坐标比纵坐标大2；(2)已知点，且轴．【技巧归纳】平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等；平行于y轴的直线上所有点横坐标相等。利用该性质列方程求参数。如A(2,a)与B(3,4)连线平行x轴，则a=4。注意垂线情况：若垂直于轴，则与平行条件相反。【变式5-1】已知点的坐标为．(1)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标．(2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，求点的坐标．【变式5-2】已知点，根据下列条件求点P的坐标．(1)点P在x轴上；(2)点P的纵坐标比横坐标大5；(3)在（2）的条件下，轴，且，请直接写出点Q坐标；(4)点P到x轴的距离为1．题型6坐标与图形【例11】已知：，，(1)在坐标系中描出各点，画出；(2)求的面积；(3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标．【例12】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，则_，_；(2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出，并求出的面积；【技巧归纳】将几何图形放在坐标系中，利用点坐标表示长度（两点距离公式）、面积（底乘高/2或割补法）、位置关系（斜率）。平移时坐标加减；对称时坐标变号。数形结合，代数方法求几何量。常用中点坐标公式。【变式6-1】在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A0,3；；；；；；．(1)点到原点的距离是________．(2)将点向轴的负方向平移个单位，它与点________重合．(3)连接，则直线与坐标轴是什么关系？(4)点分别到、轴的距离是多少？【变式6-2】如图，平面直角坐标系中，点，，．(1)点C到y轴的距离为______；(2)求的面积；(3)若点P的坐标为，①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示）②当时，求点P的坐标．题型7建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标【例13】如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是___________，图书馆的位置是___________；(2)已知教学楼的位置是，若1个单位长度代表30m，则宿舍楼到教学楼的实际距离是___________．【例14】如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题：(1)请在示意图中建立平面直角坐标系；(2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．【技巧归纳】选原点及坐标轴方向，使多数点落在整数坐标或对称轴上。如正方形以中心为原点，矩形一角为原点。根据图形尺寸和位置确定各点坐标。注意单位一致，简化计算。优先选择对称轴或特殊点作为原点。【变式7-1】如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________；(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；(4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m．【变式7-2】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度．(1)请以广场为原点，以正东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系；(2)在（1）的前提下，①写出博物馆的坐标；②若公园的坐标为，请在图中标出公园的位置．(3)若超市与图书馆所在的直线为，大剧院到直线的距离是多少个单位长度？题型8与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题【例15】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．(1)点的“长距”为______；(2)若点是“完美点”，求a的值；(3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”．【例16】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，．(1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________．(2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．【技巧归纳】先理解新定义（如“雅各比坐标”），将其转化为常规坐标或距离条件。根据定义建立方程或不等式，利用象限、距离、对称性等性质求解。常与参数范围结合，注意分类讨论。可画示意图辅助理解新规则。【变式8-1】在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即，(1)已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；(2)已知点的“a级关联点”为，求的值；(3)已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标．【变式8-2】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”．(1)点的“劣距”为________，这个距离是点A到________（填x或y）轴的距离；(2)若点是“等距点”，求a的值；(3)若点的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，判断点D是否为“等距点”，并说明理由．一、单选题1．2026年湖北省油菜花节在荆门市沙洋县曾集镇张池村开幕．八方游客踏春而至、赴约而来，共赏荆楚大地金色画卷，同享乡村振兴丰收硕果．以下能够准确表示沙洋县地理位置的是（

）A．在湖北省 B．在荆门市南方C．离荆门市区55千米 D．东经北纬2．在平面直角坐标系中，已知点，则点M在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图，象棋盘上，若“将”位于点1,−1，“象”位于点．则“炮”位于点（

）A． B．−1,2 C． D．4．下列说法不正确的是（）A．点(1,2)在第一象限 B．点到y轴的距离为3C．已知点，点，则轴 D．若，则点一定在x轴上5．如图，已知平面直角坐标系中，点A的坐标为3,0，点B的坐标为．若的面积为6，则下列说法一定正确的是（

）A．，n为任意实数 B．，n为任意实数C．m为任意实数， D．m为任意实数，二、填空题6．点到轴的距离是_____．7．如果点在y轴上，那么m=_______；点P的坐标为___________．8．以水平数轴的原点O为圆心过的正半轴上的每一刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转30°，60°，90°，⋯，得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系．若点A，B的坐标分别表示为，，则点C的坐标表示为________．9．已知第四象限的点到轴的距离是到y轴距离的3倍，则a的值是______．10．平面直角坐标系中，A点坐标，若线段AB∥x轴，且，则点B坐标为____．11．如图，平面直角坐标系中，，，点C为AB上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿OC翻折，点A的对应点为点A′，当为直角三角形时，点A′的坐标为________．三、解答题12．已知平面直角坐标系第一象限内有一点，根据下列条件分别求出相应的点M的坐标．(1)点M到轴的距离为3；(2)点N的坐标为，且直线轴．13．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系：(1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南20°方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置；(2)火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置．14．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是0,1，食堂的位置是．(1)根据所给条件先建立适当的平面直角坐标系，再用坐标表示宿舍楼、图书馆、实验室、大门的位置；(2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是