专题02 二次根式的运算的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

专题02二次根式的运算的六类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、已知最简二次根式求参数类型二、已知同类二次根式求参数类型三、二次根式的混合运算类型四、二次根式中的分母有理化类型五、二次根式运算中的新定义型问题类型六、二次根式运算中的规律探究问题压轴专练类型一、已知最简二次根式求参数方法总结1.定义对照：紧扣“最简二次根式”的两个核心条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。2.建立方程：根据“同类二次根式”或“给定的最简形式”等条件，列出关于参数的方程（组）求解。解题技巧1.化简要先行：先将所给的二次根式化为最简形式，再与条件进行比对。2.双验防增根：求出参数值后，必须回代验证原根式是否为最简二次根式，并检查是否满足题目其他条件（如被开方数非负）。例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是（写出一种情况即可）．【变式1-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：．【变式1-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：．【变式1-3】（24-25八年级下·陕西安康·期中）若（为大于1的整数）是最简二次根式，则的值可以是．类型二、已知同类二次根式求参数方法总结1.化简为首：将给出的二次根式分别化为最简二次根式。2.定义列式：根据“同类二次根式”定义——被开方数相同，令化简后的被开方数相等，建立关于参数的方程。解题技巧1.忽略系数：只关注最简根式下的被开方数是否相同，根号外的系数无需相等。2.验根留值：解出参数后必须代回原式，验证化简后确为同类二次根式，并确保原根式有意义（被开方数≥0）。例2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）若与最简二次根式可以合并，则a的值是．【变式2-1】（25-26八年级上·湖南永州·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值为．【变式2-2（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为．【变式2-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则．类型三、二次根式的混合运算方法总结1.顺序清晰：遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的基本运算顺序。2.统一形态：先将各项化为最简二次根式，并将除法转化为乘法（乘以倒数）处理。解题技巧1.活用运算律：灵活运用乘法分配律、结合律等简化计算过程。2.有理化先行：遇分母含根式时，优先分母有理化，常能大幅简化后续运算。例3．（25-26八年级上·广东深圳·月考）计算：(1)；(2)．【变式3-1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）计算：(1)(2)(3)【变式3-2】（25-26八年级上·广东深圳·周测）计算：(1)；(2)．(3)；(4)．【变式3-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．类型四、二次根式中的分母有理化方法总结1.单根式分母：分子分母同乘分母中的根式，利用(a)(a)=a消去分母根号。2.和差根式分母：分子分母同乘分母的共轭根式（如a+b的共轭是a-b），利用平方差公式化简。解题技巧1.观察结构：先准确识别分母属于“单根式”还是“和/差含根式”类型，选择对应方法。2.预判化简：有理化前，先约分分子分母的公因数，可减少计算量。例4．（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，．(1)化简：__________．(2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________．(3)利用分母有理化计算：．【变式4-1】（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：；；；．(1)观察以上规律，请写出第5个等式：________．(2)利用上面的规律，计算．(3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程【变式4-2】（25-26八年级上·湖南邵阳·月考）观察下列各式的计算过程，寻找规律：；；利用发现的规律解决下列问题：(1)化简式子：______；(2)直接写出式子的值：______；(3)计算：（为正整数）．【变式4-3】（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：，，，【问题探究】（1）根据以上信息，化简：______________________________．【应用结论】（2）利用以上规律，计算：【拓展应用】（3）如果有理数a，b满足，试求：的值．类型五、二次根式运算中的新定义型问题方法总结1.读懂“新定义”：仔细阅读并理解题目中定义的新运算规则或新概念的形式与含义。2.模仿套用：严格按照新定义的运算步骤或判定条件，将给定的二次根式代入进行运算或推理。解题技巧1.实例验证：用简单的数值或根式先按新规则操作一遍，确保理解无误。2.化归思想：将新定义运算后的表达式，通过常规的二次根式运算（化简、有理化等）进行化简求值。例5．（2025八年级上·全国·专题练习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如．(1)求的值．(2)求的值．【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”．(1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值．(2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值．【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）已知a、b互为倒数，请根据倒数的定义完成下列各题：(1)如果，则；如果，则；(2)①如果，求b的值；②若，求m与n的关系．【变式5-3】（24-25八年级下·福建福州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)请直接写出的对偶式_____；(2)已知，，求的值；类型六、二次根式运算中的规律探究问题方法总结1.由特到一般：从给定的前几项具体运算结果入手，观察数字、运算符号及根式的变化模式。2.归纳表达式：将观察到的规律（如序号、分子分母特征等）用含n的代数式（通项公式或运算规律）表示出来。解题技巧1.对比找不变：对比相邻项的结果，寻找哪些部分恒定、哪些部分按等差/等比等规律变化。2.验证保可靠：将归纳出的规律代入后续1-2项进行验证，确保归纳正确后再用于解题。例6．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【观察思考】第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……【规律发现】（1）①直接写出第4个等式：；②如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律：．【规律证明】（2）证明②中的运算规律．【规律应用】（3）根据上述规律，化简：．【变式6-1】（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式，其中反映了某种规律：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：．(2)请你用含n（n为正整数，且）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．【变式6-2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．第1个等式；第2个等式；第3个等式；第4个等式；第5个等式_________（根据规律填空）(2)观察、归纳、得出猜想．第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律．若（a，b均为正整数），则的值为_________．【变式6-3】（2025八年级上·重庆·专题练习）在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，特例；特例；(1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）；(2)求证：（，且n为整数）；(3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____．一、单选题1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（）A．4 B．5 C．10 D．202．（25-26九年级上·山西长治·月考）下列计算正确的是（）A． B．C． D．3．（25-26八年级上·广东佛山·月考）若最简二次根式与可以合并，则的值是（）A． B． C． D．4．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（

）A． B． C． D．5．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）2025年“数字中国”建设峰会讨论了多种数据加密方式，若以下运算为数据加密方式：，那么的值为（

）A．1 B．4 C．－2 D．9二、填空题6．（25-26八年级上·上海·期末）计算：．7．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为．8．（25-26八年级上·全国·期末）若，，则代数式的值为．9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一种新运算：对于任意正有理数，都有．例如：，则．10．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）观察下列各式：①；②；③；……请你将发现的规律用含自然数n（）的等式表示出来．三、解答题11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算(1)；(2)12．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）计算：(1)(2)(3)13．（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算或化简：(1)(2)(3)(4)．14．（24-25八年级下·安徽铜陵·期中）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：具体运算，发现规律：特例1：，特例2：，特例3：，(1)观察、归纳，得出猜想：如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______．(2)证明你的猜想；(3)应用运算规律：①化简：______．②若（均为正整数），则的值为______．15．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．第①个等式：；第②个等式：；第③个等式：；第④个等式：：(1)计算：_____；_____；(2)若，则正整数_____；【规律应用】(3)根据上述等式规律，化简：．16．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答下列问题．(1)在中，已知，求的面积；(2)计算（1）中的边上的高．(3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积.综合训练一、选择题1.使得式子x4-x有意义的xA.x≥4 B.x>4 C.x≤4 D.x<42.设a>0,b>0,则下列运算错误的是()A.ab=a·b B.a+b=a+b C3.在二次根式:2xy,8,A.4 B.3 C.2 D.04.被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式,下列各数27,118A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则化简(a-b)2-(b-a-A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-26.下列判断正确的是()A.32<3<2 B.2<C.1<5−3<2 D.4<37.化简4x2-4x+1-(A.2 B.-4x+4 C.-2 D.4x-48.化简37甲:37+2乙:37+2=对于他们的解法,正确的判断是()A.甲、乙的解法都正确 B.甲的解法正确,乙的解法不正确C.甲、乙的解法都不正确 D.甲的解法不正确,乙的解法正确二、填空题9.式子x,m2+10.观察并分析下列数据,寻找规律:0,2,2,6,22,10,23,…则第10个数据应是11.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B,点A表示-2,设点B所表示的数为m,则(m-1)(m-3)的值是.

12.规定:a※b=ab-b2,则2※(2-1)的值是.

三、解答题13.化简(各式中字母均为正数):(1)a4+a2b14.计算:(1)(13)2+0.32−19; (2)(6−(3)(323-412+327)÷22; (4)(3+2-1)(15.当a=2+6,b=2-6时,求代数式a-b16.已知实数a,b,c满足(a-8)2+b-5+|c-32|=(1)求a,b,c的值;(2)试问以a,b,c为边长能否构成三角形?若能构成求出三角形周长;若不能构成三角形,请说明理由.17.小明在学习中遇到这样一道题:“已知实数x满足|5019-x|+x-5020=x,求x-50192的值”,他想了想说这道题一定出错了,这种题等号右边一定是0才能用其非负性构造方程求出x的值,这里等号右边不是0,无法求出x的值,更无法求出综合训练一、选择题1.D2.B3.C4.B5.A由数轴可知-3<a<-2,0<b<1,∴a-b<0,∴原式=b-a-b+a+2=2.6.A7.A由题意,得2x-3≥0,则2x-1>0.从而原式=|2x-1|-(2x-3)=2x-1-2x+3=2.8.A二、填空题9.m2+