三角函数的图像与性质总结-三角函数图像变换规律诱导公式-三角函数图像平移规律

数学必修4——三角函数的图像与性质

一.教学内容：

三角函数的图像与性质

一.教学目标：

了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦

函数和函数y=Asin（o）x+（p）的简图，理解A、0）、中的物理意义。

三.知识要点：

1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2.三角函数的单调区间:

>=$1nx的递增区间是L22.

K7T+丁,2A/r+f

递减区间是

y=C3x的递增区间是"兀2上用伐

递减区间是以兀女k♦/"号二）

14r7T--,七"+?]“c

尸的递增区间是I22八八一

>=⑼+式其中/>0,8、01

7■至f--

最大值是H+S,最小值是周期是.0,频率是'.互，相位是

久

皈+/,初相是磔；其图象的对称轴是直线2,凡是该图象与直线

P=3的交点都是该图象的对称中心。

4.由y=sinx的图象变换出y=sin（（ox+8）的图象一般有两个途径，只有区别开这两

个途径，才能灵活地进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种

变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是

“角变化”多少.

途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）

先将y=sinx的图象向左（8>0）或向右（3vo=平移|@|个单位，再将图象上各

点的横坐标变为原来的*倍（s>0）,便得到y=sin（cox+S）的图象。

途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换.

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的G倍（3>0）,再沿x轴向左（°>0）

或向右（9VO,平移个单位，便得到y=sin（（ox+0）的图象。

5.对称轴与对称中心：

的对称轴为，对称中心为;

的对称轴为，对称心为；

对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。

6.五点法作y=Asin(o)x+)的简图：

五点法是设X=sx+,由X取0、、兀、、27r来求相应的x值及对应的y值，再描点作

图。

【典型例题】

例1.把函数y=cos(x-)的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是

()

A.B.C.D.

解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。

向左平移个单位后的解析式为尸cos(x++)

贝cos(-x++)=cos(x++),

cosxcos(+)+sinxsin(+)=cosxcos(+)-sinxsin(+)

sinxsin(+)=0>xER.

+=k7t./.=k7t—>0

k>,/.k=2»/.=

答案：B

例2.试述如何由y=sin(2x+)的图象得到y=sinx的图象。

解：y=sin(2x+)

另法答案：

(1)先将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，得丫=$皿2*的图象；

(2)再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得丫二$而乂的图

象；

(3)再将y二sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到丫=金钺

的图象。

例3.求函数y=sin4x+2sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0,兀］

上的单调递增区间。

解：y=sin4x+2sinxcosx—cos4x

=(sin2x+cos2x)(sin2x—cos2x)+sin2x

=sin2x—cos2x

=2sin(2x—).

故该函数的最小正周期是兀；最小值是一2；单调递增区间是［0,］,［,兀］

点评：把三角函数式化简为y=Asin(cox+)+k(«>0)是解决周期、最值、单调区间问

题的常用方法。

例4.已知电流I与时间t的关系式为。

(1)下图是(s>0,)

在一个周期内的图象，根据图中数据求

的解析式；

(2)如果I在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么co的最小正

整数值是多少？

解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能

力。

(1)由图可知A=300

设tl=—,t2=

则周期T=2(t2-tl)=2(+)=

/.co==150rt

将点代入

・@=

故所求的解析式为

(2)依题意.周期TW,即&((n>0)

.*.CO>300TI>942,又s£N*

故最小正整数co=943.

点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言.其中，读图、识图、用图是

形数结合的有效途径。

【模拟试题】

1.在(0,2K)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是()

A.(,)U(7i,)B.(,兀)

C.(,)D.(,JT)U(,)

2.如果函数f(x)=sin(亦+。)(0＜。＜2兀=的最小正周期是T,且当x=2时取得最大

值,那么()

A.T=2,O=B.T=1,0=aC.T=2,0=nD,T=1,0=

3.设函数f(x)=A+Bsinx,若BVO时，f(x)的最大隹是，最小值是一，则A=,

B=o

4.已知函数y=tan(2x4-)的图象过点(,0),则可以是()

A.—B.C.—D.

5.函数y=sin(-2x)+sin2x的最小正周期是()

A.2兀B.TCC.D.4兀

6.若f(x)sinx是周期为71的奇函数，则f(x)可以是()

A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x

7.函数y=2sin(-2x)(xG[()♦n])为增函数的区间是()

A.[0,]B.[,]

C.[,]D.[,兀]

8.把y二sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象：再把所得图象上的所

有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数的图象。

9.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是.

lO.f(x)=2cos2x+sin2x+a(a为实常数)在区间［0，］上的最小值为-4,那么a的值

等于()

A.4B.-6C.—4D.—3

【试题答案】

1.答案：C

2.解析：T==2,又当x=2时，sin(TC-2+0)=sin(2兀+0)=sin0,要使上式取得最大道,

可取9=。

答案：A

3.解析：根据题意，由可得结论

答案：一1

4.解析：将(，0)代入原函数可得，tan(+)=0,再将A、B、C、D代入检验即可。

答案：A

5.解析：y=cos2x—sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin(+2x)，T=n.

答案：B

6.答案：B

7.解析:对于y=2sin(—2x)=-2sin(2x—),其增区间可由y=2sin(2x—)的减区间

得至lj,即2k?r+<2x—<2k;c-i-,k£Z。

.\k7c+<x<k7r+,k£Z.令k=0,故选C.

答案：C

8.解析：向彳平移个单位，即以x+代x,得到函数产sin(x+),再把所得图象上所有

点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x,得到函数：y=sin(x+)。

答案：y=sin(x+)y=sin(x+)

9.解析：由cosx—sinx>0cosx>sinx.由图象观察，知2k?t-Vx〈2k7r+(k£Z)

答案：2k兀一VxV2k?t+(kGZ)

10.解析：f(x)=1+cos2x+sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.

Vxe[0,],，2x+£[,].

/.f（x）的最小值为2x（-）+a+l=-4

a=­4.

篇二：三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

三角函数的图像和性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数产sinx,x€[0,2句的图象中,五个关键点是：（0,0）（余弦函数y=cosxx?[0,2?]

的图像中，五个关键点是：（81）（2

?3?

,1)(?,0)(,1)(2?,0)22

?3?,0)(?,1)(,0)(2?,1)22

1

例件下列函数的简图

(l)y=|sinx|,x£[0,2兀],(2)y=cosx,xG[0,2JC]

例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合:

(l)sinx?

ll(2)cosx?22

3、周期函数定义：对于函数y?f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的

每一个值时，都有：f(x?T)?f(x),那么函数y?f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函

数的周期。

注意：周期T往往是多值的(如y?sinx2?,4??2?,4?,?都是周期)周期T中最小的正数

叫做y?f(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)y?sinx,y?cosx的最小正周期为

2?(一般称为周期)正弦函数、余弦函数：T?2??o正切函数：??

例求下列三角函数的周期：

1?y=sin(x+x??)2?y=cos2x3?y=3sin(+)4?y=tan3x253

例求下列函数的定义域和值域：

(1)y?2?sinx(2

>/-3sinv

)y?

例5求函数y?sin(2x?(3)y?lgcosx?

3)的单调区间

2

例??23?17?)、sin(-)；(2)cos(-)>cos(-).181054

???3??23?23?解：(2)cos(-)=cos=cos101825255

??17?17??且函数y=sinx,x£[―,—)=cos=cos22444

???3?Asin(-)<sin(-)V0<<<7t101854

??R|Jsin(—)—sin(—)>0且函数y=cosx,xF[(),z]是减函数1810

3??cos<cos54

3??即cos—cos<054

23?17?cos(—)—cos(—)<054(l)sin(—

4、函数y??sin??x??????0,??0?的图像：

(1)函数y??sin??x??????O,??O?的有关概念:

①振幅：？；②周期：？？

(2)振幅变换

①尸Asinx,x?R(A>0且A?l)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)

或缩短(O<A<1)到原来的A2??；③频率：f?l?；④相位：？x??；⑤初相：？.??2?

②它的值域［A,A］最大值是A,最小值是A

③若AvO可先作尸Asinx的图象，再以xA(3)周期变换

①函数y=sincox,x?R(a)>0且co?1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短

®>1)或伸长(0<3<1)到原来的1

?倍(纵坐标不变)

②若3<0o)(4)相位变换

一般地，函数y=sin(x+?),x£R(其中?#))的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左

(当?>0时)或向右(当?〈0时=平行移动I?用平移法注意讲清方向：“加左卬减右”)

3

y=sin(x+?)与y=sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称

为相位变5、小结平移法过程(步骤)

6、函数y

y

??sin??x?????,当x?xl时，取得最小值为ymin；当x?x2时，取得最大值为ymax,

则??

1l??ymax?ymin?,???ymax?ymin?,?x2?xl?xl?x2?.222

图e?例如图e,是f(x)=Asin(CDX+Q),A>0,I(pIV的一段图象，2

则f(x

例如图b是函数y=Asin®x+(p)+2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()

4?

3

4?=1,T=3

2?=I,T=3

4?=1,T=3

=3,T=?63?,(p=-43?,(p=-4?,(p=-6,(p=—

例画出函数y=3sin(2x+?),x£R3

4

解：(五点法)由T=

例求函数y?tan?3x?解:由3x?

2?

,得T=7T列表：??

??

?3?

?

3

?k??

9

2

得x?

k?5?

,?

318

k?5????,k?z??所求定义域为?x|x?R,且x?

318??

值域为R,周期T?

9

3

在区间？

9•VIX9・9•1IV<•95•9•^

?,???k?z?318318??

例已知函数y=sin2x+cos2x(l)⑵⑶(4)说明图象是由y=sinx解:

y=sin2x+3cos2x2=2sin(2x4■⑴歹j表i

9

■■

■

S

■

•■

22

f•2tMl*♦-I-3

)23

(2)T?

2?

二兀2???

由+2k7rW2x+W+2k7r,知函数的单调增区间为

2325?[7r+k7r,+k7r],kG1212??3

由+2k7rW2x+^7t+2km知函数的单调减区间为232

5

??+k兀,兀+1＜兀],k€1212

?k??(3)由2x+=+k7i得x=+n12232

?k.•・函数图象的对称轴方程为x=+n,(kEZ122

??(4)把函数y"sinx的图象上所有点向左平移个单位，得到函数y2=sin(x+)的图象；33

1?再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y3=sin(2x+)的图

象；23

?再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y4=2sin(2x+)为图

象；3

?最后把y4图象上所有点向下平移2个单位，得到函数y=2sin(2x+)23

三角函数是以角度为自变量，角度对应任意向终边与单位圆交点坐标或其比

值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工

程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、

余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等。三角函数一般用于计算三角形中未知

长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

/0

SIHJ=-cosA--

c

a,b

tan.4=-cotA=—

ba

,c

secA=-escA=-

b

sin2A+cos:A=1

sinA

tanA=-------

cosJ

方法/步骤

两角和公式

sin(A*B)=sinAcosB*cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)={tanA*tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(C0tB-C0tA)

tan2A=2tanA/(ManJA)

Sin2A-2SinA.C(M

Cos2A=CosA2A-Sin2A

-2CosaA—1

■1—2sinA2A

倍角公式

tan2A=2tanA/(ltan2A)

Sin2A=2SinA-CosA

Cos2A=CosA2A-Sin2A

=2Cos2A—1

=1-25inA2A

sin3A■3sinA*4(sinA北

cos3A-4CCOSA)1-kosA

tonBa-tan□•ton(n/3*a)*ton(n/3-o)

3.三倍角公式

sin3A=3sinA-4(sinA)3;

cos3A=4(cosA)3-3cosA

tan3a=tana•tan(n/3*a)*tan(n/3-a)

sin(A/2)-V((1-covA)/2}

coMA/2)-V{(1*cosA)/2}

tan(A/2)-V{(1--co$A)/(1*co$A))

cot(A/2)=V((1*cosA)/(1-cosA))?

tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1*cosA)

4.半角公式

sin(A/2)=V{(1-cosA)/2)

cos(A/2)=V{(1+cosA)/2}

tan(A/2)=V{(1-co$A)/(1+cosA))

cot(A/2)=V{(1+cosA)/(1-cosA))?

tan(A/2)=(1—co$A)/sinA=sinA/(1+cosA)

sin(a)*sin(b)=2sin((a♦b)/2)cos((a-b)/2]

sin(a)-sin(b)-2cos[(a*b)/2)sin[(a-b)/2]

co$(a)*cos(b)=2cos((a♦b)/2)cos((a-b)/2)

cos(a)<os(b)--2Sin((a♦b)/2)sin[(a-b)/2]

tanA♦tanB=sin(A*B)/co$Aco$B

5.和差化积

sin(a)+sin(b)=2sin[(a*b)/2Jcos[(a-b)/2]

sin(a)-sin(b)=2cos[(a+b)/2)$in((a-b)/2]

cos(a)+cos(b)=2<os[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

cos(a)-cos(b)=-2$in((a+b)/2)sin[(a-b)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

6.积化和差

sin(a)$in(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]

cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]

sin(a)cos(b)=1/2*(sin(a*b)*sin(a-b)]

cos(a)sin(b)=1/2*(sin(a+b)-sin(a-b)]

7.诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(n/2-a)=cos(a)

co$(n/2-a)=$in(a)

sin(n/2+a)=cos(a)

cos(n/2+a)="sin(a)

sin(n-a)=sin(a)

cos(n-a)=-cos(a)

sin(n+a)=-sin(a)

cos(n*a)=-cos(a)

t