广东广州市第十三中学2026届高三考前适应性训练数学试题

广东广州市第十三中学2026届高三考前适应性训练数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U=R，A=x|y=lg(x−2)A．−∞,2 B．−∞,2 C．2．若复数z满足z+i1−2i=5，则A．2 B．1 C．2 D．53．记等差数列an的前n项和为Sn，若S10=0，A．6 B．8 C．10 D．124．已知sinα+βsinα−βA．13 B．12 C．25．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（）A．a=0.05B．评分的众数估值为70C．评分的第25百分位数估值为67.5D．评分的平均数估值为766．某空间站由A，B，C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去A舱，则不同的安排方法的种数为（）A．35 B．36 C．42 D．507．设fx=log2x(0<x≤2)sinπx4(2<x<10)，若存在实数x1，xA．(0,12) B．(4,16) C．(9,21) D．(15,25)8．已知O为坐标原点，过抛物线y2=2pxp>0焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若AB=12，若△OAB面积为A．4 B．3 C．26 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．下列命题正确的是（）A．若样本数据x1,x2，…，B．若PA=0.6，P(B∣A)=0.5,P(B∣C．在一组样本数据x1,y1，x2,y2，⋅⋅⋅，xn,D．以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=lny，求得经验回归方程为z=4x+0.3，则c,k10．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的图象满足以下特征：图象经过点0,3，并且在y轴右侧的第一个零点为πA．φ=B．x=π18为函数C．将fx的图象向右平移πD．函数fx的单调递减区间为11．在边长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点M在棱AD上，动点A．存在MN，满足MN⊥B．存在MN，使MN与A1BC．点C到平面MNDD．四面体MND1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线y=3x在点0,1处的切线方程是13．若a=λ,4，b=3,5，且a与b的夹角为锐角，则14．已知点P､Q分别是椭圆x29+y25=1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，OA⊥OB，OA=OB=2，记∠BAP=θ．（1）当θ=15°时，求OP的长；（2）当△PAO面积最大时，求θ．16．如图(1)，梯形ABCD中，AB//CD，过A,B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别E，F.AB=AE=2，CD=5，已知DE=1，将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起，得空间几何体ADE−BCF，如图(2)．(1)若AF⊥BD，证明：DE⊥平面ABFE；(2)若DE//CF，CD=3，线段AB上存在一点P，满足CP与平面ACD所成角的正弦值为520，求17．设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0，已知a1=b（Ⅰ）求an和b（Ⅱ）设数列cn满足cn=18．已知函数fx（1）当a≤0时，讨论fx（2）当a=1时，证明：fx在区间3,4（3）若对于任意的x∈1,+∞，都有xlnx+x>kx−119．双曲线E:x2a2−（1）求双曲线E的标准方程；（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点T在直线l上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M．（i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围；（ii）设直线TP和直线TM分别与直线x=−1交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上．（附：双曲线x2a2−y

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】B,D10．【答案】A,C11．【答案】A,B,D12．【答案】x13．【答案】(−2014．【答案】7+15．【答案】（1）解：由题意，在△AOB中，∠AOB=90°，OA⊥OB，OA=OB=2，

∴△AOB为等腰直角三角形，

则∠BAO=45°

∴点O在以AB为直径的圆上，

取AB的中点C，连接CO，

∴∠APO=45°，∠ACO=90°，

在△APO中，∠PAO=60°，OA=2，

由正弦定理，得：

OPsin60°=OAsin45°（2）解：由题意和（1）知，∠BAP=θ，∠BAO=45°，

在△APO中，∠APO=45°，OA=2，

由余弦定理，得：

OA2=PA2+PO2−2PA⋅PO⋅cos∠APO，

则PA2+PO2−2PA⋅PO=4，

所以4=PA2+PO2−16．【答案】解：(1)由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AF⊥BE，由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，∴AF⊥平面BDE，又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，又AE⊥DE，AE∩AF=A，∴DE⊥平面ABFE；(2)在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，即AE⊥面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作DM//EF交CF于点M，连接CE，由题意得DM=2，CM=1，由勾股定理可得DC⊥CF，则∠CDM=π6，过E作EG⊥EF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以EA,则A(2,0AC=(−设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z)由n⋅AC=0n⋅AD=0设AP=m，则P(2,m，0)，(0≤m≤2)，得CP=(2,m−1,−设CP与平面ACD所成的角为θ，

sinθ=|cos<CP17．【答案】（I）解：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为由题意可得3q=3+2d3q2则an=3+3(n−1)=3n，即an的通项公式为an=3n，b（II）a=(=[n×3+=3n记Tn则3T②−①得，2T所以a=(2n−1)18．【答案】（1）解：函数fx=ax−lnx−2定义域为0，+∞，当a=0时，由f'x=a−1x=−1x<0则当a=0时，fx在0,+当a<0时，f'x<0，∴f∵a<0，ea−2<e又∵f1=a−2<0，∴fx又∵fx在0,+∞上单调递减，∴当a<0时，fx综上，当a≤0时，fx（2）证明：当a=1时，fx=x−lnx−2，当x∈3,4时，f'x=1−1∵f3=3−ln3−2=1−ln3<0，∴fx在区间3,4（3）解：∵xlnx+x>kx−1，且x∈1,+∞令gx=xlnx+xx−1，则由（2）知，fx=x−lnx−2在1,+∞设该零点为x0∈3,4故当x∈1,x0时，fx<0，即g当x∈x0,+∞时，fx>0，即∴g(x)∴k<g(x)故整数k的最大值为3．19．【答案】（1）解：在直线l方程中，令y=0，则x=−1，所以，直线l与x轴交于(−1,0)，

则a=1，

所以，双曲线的离心率为ca则c=5，

所以b则双曲线E的标准方程为x2（2）（i）解：经检验，当一条切线斜率不存在时，若T1,2，显然另一条切线方程斜率存在，

设切线方程为y−2=k联立双曲线方程，得k2则Δ=4k解得k=2，

因为双曲线渐近线方程为y=±2x，

所以，此时不符合题意，当T−1,0则两条切线斜率均存在，

设切线斜率为k，则切线方程为y=k(x−t)+(t+1)，与双曲线方程联立，得：k2令Δ1整理得：(kt−t−1)2−k2+4=0，

因为k≠±2，

上式整理，得：t2由题意，k有两个相异实根，

所以t2−1≠0，且整理得：4(t+1)(−3t+5)>0，

解得：−1<t<5综上所述，t的取值范围是−1,−1（ii）证明：设Mx1,直线MT方程和直线PT方程分别为x1x−y联立，得点Ty