2019年高考数学函数专题精讲

2019年高考数学函数专题精讲函数作为高中数学的核心内容，贯穿于整个数学学习的始终，也是历年高考考查的重点与难点。2019年的高考数学试卷，无论是全国卷还是各省市自主命题卷，都对函数知识进行了全面且深入的考查。本专题将立足2019年高考的考查特点，从函数的基本概念、性质、常见题型及解题策略等方面进行系统梳理与深度剖析，旨在帮助同学们构建清晰的知识网络，掌握实用的解题技巧，从容应对高考函数问题。一、函数的基本概念与性质：奠定基石，正本清源函数的基本概念和性质是理解和解决一切函数问题的前提。2019年高考对这部分内容的考查既注重基础，也不乏灵活的变式。1.1函数的定义与三要素函数的定义核心在于“两个非空数集间的一种确定的对应关系”。理解此定义，需抓住定义域、值域和对应法则这三个要素，其中定义域是灵魂，对应法则是核心。*定义域的求解：务必遵循“定义域优先”原则。常见类型包括：分式分母不为零；偶次根式被开方数非负；对数式真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零；以及实际问题中的自变量取值范围。求解时需综合考虑，准确列出不等式（组）并求解。*值域的求解：方法多样，需根据函数解析式的特点灵活选择。常用方法有：观察法、配方法（二次函数或可化为二次型的函数）、换元法（代数换元、三角换元）、判别式法（分式二次型函数）、反函数法（反函数的定义域即原函数的值域）、单调性法、导数法等。*解析式的求解：常见方法有待定系数法（已知函数类型）、换元法、配凑法、消元法（方程组法）、赋值法等。1.2函数的基本性质函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性是高考考查的高频考点，深刻理解并灵活运用这些性质是解决复杂函数问题的关键。*单调性：函数在某个区间上的增减趋势。证明方法主要是定义法（取值、作差/作商、变形、定号、下结论）和导数法（若函数在区间可导，则导数大于零增，小于零减）。单调性常与最值、不等式、比较大小等问题结合。*奇偶性：函数图像关于原点（奇函数）或y轴（偶函数）对称的性质。判断时需先看定义域是否关于原点对称。奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。奇函数若在x=0处有定义，则f(0)=0。奇偶性可简化函数性质的研究，如求对称区间上的解析式、求值等。*周期性：函数值重复出现的性质，即存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)恒成立。常见的周期函数模型有三角函数（如正弦、余弦函数周期为2π/|ω|）。抽象函数的周期问题需通过给定的函数关系式进行推导。*对称性：除了奇偶性所体现的对称性外，函数还可能关于某条直线x=a或某个点(a,b)对称。若f(a+x)=f(a-x)，则函数图像关于直线x=a对称；若f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数图像关于点(a,b)对称。对称性与周期性常常相互关联，可综合考查。二、基本初等函数：掌握原型，举一反三基本初等函数是构成复杂函数的“积木”，对其图像和性质的熟练掌握是解决函数综合问题的基础。2019年高考对基本初等函数的考查既直接也渗透在综合题中。2.1一次函数与二次函数*一次函数：y=kx+b(k≠0)，图像是直线，单调性由k决定。*二次函数：y=ax²+bx+c(a≠0)，图像是抛物线。其顶点坐标、对称轴、开口方向、最值、零点分布等是考查重点。高考中常以二次函数为载体，考查含参问题、恒成立问题、最值问题，以及与方程、不等式的综合应用。需熟练掌握其三种表达形式：一般式、顶点式、零点式。2.2指数函数与对数函数*指数函数：y=a^x(a>0且a≠1)，图像恒过(0,1)点。当a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。*对数函数：y=log_ax(a>0且a≠1)，图像恒过(1,0)点。当a>1时单调递增，0<a<1时单调递减。对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。*运算性质：指数与对数的运算性质是解决相关问题的基础，需熟练掌握，避免混淆。如a^m*a^n=a^(m+n)，log_a(MN)=log_aM+log_aN等。换底公式log_ab=log_cb/log_ca在解题中应用广泛。2.3幂函数、分式函数、绝对值函数*幂函数：y=x^α(α为常数)，高考主要考查α=1,2,3,-1,1/2等几种常见类型的图像与性质。*分式函数：如y=(ax+b)/(cx+d)(c≠0)，可通过分离常数法转化为反比例函数的平移变换来研究其图像和性质。更复杂的分式函数可能需要结合导数研究。*绝对值函数：其图像通常具有“折点”，处理时常用分类讨论的思想去掉绝对值符号，或利用绝对值的几何意义求解。2.4三角函数三角函数是一类特殊的周期函数，在高考中占据重要地位。*正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx：掌握它们的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性及图像特征。*三角函数的图像变换：平移变换（左加右减，上加下减）、伸缩变换（周期变换、振幅变换）。*同角三角函数基本关系与诱导公式：是进行三角恒等变换的基础。*三角恒等变换：包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式（asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+φ)）等。这些公式是解决三角函数化简、求值、证明的关键。*三角函数模型的简单应用：能运用三角函数解决一些与周期性相关的实际问题。三、函数与导数的综合应用：深化理解，突破难点导数是研究函数单调性、极值、最值、零点等问题的强有力工具，函数与导数的综合题是高考数学的压轴题之一，具有难度大、综合性强的特点。2019年高考对导数的应用考查力度依然较大。3.1导数的几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率。高考常考切线方程的求解，以及已知切线方程求参数等问题。3.2利用导数研究函数的单调性求函数的单调区间是导数的基本应用。步骤一般为：求定义域、求导数、解导数大于零（增区间）或小于零（减区间）的不等式。注意导数等于零的点不一定是单调区间的分界点（需检验两侧导数符号是否改变）。含参函数的单调性讨论是难点，需对参数进行合理分类。3.3利用导数研究函数的极值与最值*极值：函数在某点的函数值比它附近点的函数值都大（极大值）或都小（极小值）。求解步骤：求导、求导函数的零点（可疑极值点）、判断零点两侧导数符号（左正右负为极大值，左负右正为极小值）。*最值：函数在闭区间上的最值，需比较区间端点的函数值和区间内所有极值的大小。在开区间上，若函数只有一个极值，则该极值即为最值。导数法是求函数最值的常用方法。3.4函数的零点问题（方程的根）函数f(x)的零点即方程f(x)=0的根。解决零点问题常用方法有：*函数图像法：画出函数图像，观察与x轴交点个数。*零点存在性定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内至少存在一个零点。*单调性法：结合函数单调性，判断零点个数。*构造函数法：将方程转化为两个函数图像交点问题，或构造新函数利用导数研究其性质。3.5不等式的证明与恒成立、存在性问题*不等式证明：可构造函数，将不等式问题转化为函数的最值问题（如证明f(x)≥g(x)，可构造h(x)=f(x)-g(x)，证明h(x)min≥0）。*恒成立与存在性问题：*恒成立：a≥f(x)恒成立⇨a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇨a≤f(x)min。*存在性：存在x使a≥f(x)⇨a≥f(x)min；存在x使a≤f(x)⇨a≤f(x)max。这类问题常涉及参数的取值范围，需结合导数分析函数的最值情况，并进行分类讨论。四、函数的图像与数形结合思想：直观感知，优化解题函数的图像是函数性质的直观体现，数形结合思想是解决函数问题的重要思想方法。*作图：掌握基本初等函数的图像，能根据函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、特殊点、渐近线等）画出函数的草图。*识图：能从给定的函数图像中获取信息，如定义域、值域、单调性、奇偶性、零点、极值点、特殊点的函数值等。*用图：利用函数图像解决方程解的个数、不等式的解集、参数的取值范围等问题，往往能起到化繁为简、化难为易的效果。例如，利用两个函数图像的交点个数判断方程解的个数。五、高考函数专题解题策略与技巧1.夯实基础，回归课本：函数的概念、性质、基本初等函数的图像与性质是所有函数问题的源头，务必扎实掌握。2.注重数学思想方法的应用：如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想在函数问题中无处不在，有意识地运用这些思想指导解题，能提高解题的主动性和有效性。3.强化审题能力：仔细阅读题目，准确理解题意，挖掘隐含条件，明确已知与未知，找到解题的突破口。4.规范解题步骤：特别是证明题和解答题，要步骤完整、逻辑清晰、表达准确。例如，用定义法证明单调性，用导数求极值最值，都有其规范的步骤。5.善用错题本，及时总结反思：对做错的题目要认真分析原因，是概念不清、方法不当还是计算失误，及时订正并总结归纳，避免再犯类似错误。6.适度练习，提升能力：通过一定量的练习熟悉各种题型，掌握解题技巧，但要避免题海战术，注重解题质量和效率，多做一题多解、一题多变的思考。总结与展望函数专题内容丰富，综合性强，是高考数学的重中之重。同学们在复习过程中，应首先构建清晰的知识网络，深刻理解函数的概念与性质，熟练掌握基本初等函数的图像与特征。在此基础上，要加强函数与导数工具的综合应用训练，注重数学思想方法的渗透与提炼。面