初中数学七年级上册第三章一元一次方程第2课时：方程的移项与合并同类项教案

初中数学七年级上册第三章一元一次方程第2课时：方程的移项与合并同类项教案

一、前端分析

  （一）课标与教材分析。本节课在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中隶属于“数与代数”领域，核心要求是“掌握等式的基本性质；能解一元一次方程”。本节课是学生系统学习解一元一次方程的关键起始课。在此之前，学生已学习了方程、一元一次方程的概念，以及等式的基本性质（性质1：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等；性质2：等式两边乘或除同一个不为零的数，结果仍相等），这为本节课探索方程的解法奠定了坚实的理论基础。教材通常遵循从简单到复杂的认知规律，本节课的核心任务在于引导学生将等式的基本性质这一理论工具，转化为解方程的具体操作程序——“移项”与“合并同类项”，从而架起从理论认知到实践操作的桥梁，并为后续学习解含括号、分母的一元一次方程以及二元一次方程组、一元一次不等式等知识奠定不可或缺的算法基础。因此，本节课在整个方程教学体系中具有承上启下的枢纽地位。

  （二）学情分析。教学对象是七年级上学期的学生。从认知基础看，他们已经具备了用字母表示数、整式的加减（合并同类项）、等式及其基本性质等知识储备。然而，从心理特征和认知难点分析：首先，学生的思维正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期，抽象逻辑思维能力尚在发展之中，对于将抽象的等式性质转化为具体的、有步骤的操作过程可能存在认知障碍。其次，“移项”作为一种程序性操作，学生容易机械记忆“移项要变号”的口诀，但对其背后的数学原理（即等式性质1）理解不深，导致在复杂情境中易出错。再者，“合并同类项”虽在整式加减中已学习，但在方程这一新的情境中应用，部分学生可能出现知识迁移困难，或混淆“解方程”与“整式化简”的目标。最后，学生初步接触方程解法，对于解方程的逻辑步骤（如何思考、如何书写）缺乏规范性认识，需要教师进行细致的示范和引导。

  （三）教学目标。

  1.知识与技能：

  （1）理解“移项”的概念，明确移项的依据是等式的基本性质1，掌握移项法则。

  （2）熟练掌握通过“移项”与“合并同类项”两个步骤来解形如a

x

+

b

=

c

x

+

d

ax+b=cx+d

ax+b=cx+d（其中a,b,c,d为常数，且a≠c）的一元一次方程。

  （3）能够用规范的数学语言和格式表达解方程的过程。

  2.过程与方法：

  （1）经历从具体实例中抽象概括移项法则的探索过程，体会从特殊到一般、化归（将未知转化为已知）的数学思想方法。

  （2）通过对比利用等式性质解方程和利用移项法则解方程，感受方法优化带来的简洁性，提升运算能力和程序化思考能力。

  3.情感、态度与价值观：

  （1）在探索移项法则和求解方程的过程中，获得成功的体验，增强学习数学的自信心。

  （2）体会数学解法的简洁美与逻辑美，培养严谨、规范、有条理的数学学习习惯和科学态度。

  （四）教学重点与难点。

  教学重点：移项法则的理解与掌握；利用移项与合并同类项解一元一次方程的方法和步骤。

  教学难点：理解移项法则的数学本质（即等式性质1的应用）；解方程过程中两种操作的灵活、准确运用及规范性书写。

  （五）教学准备。

  1.教师准备：多媒体课件（包含天平平衡的动态演示、例题、练习题）、实物天平或高质量的天平模拟动画、设计合理的课堂探究活动单。

  2.学生准备：复习等式的基本性质、合并同类项法则；预习教材相关内容。

二、教学策略设计

  针对教学重点与难点，本节课采用“情境—探究—建构—应用”的教学模式。

  1.情境导入策略：利用直观的天平平衡模型，创设认知冲突，将抽象的等式性质直观化，激发学生探究兴趣，为理解移项的本质铺平道路。

  2.探究建构策略：摒弃直接告知法则的做法，设计环环相扣的问题串，引导学生亲历“观察特例—尝试操作—比较分析—抽象概括”的完整探究过程，自主发现移项法则，实现知识的“再创造”，从而突破对移项本质理解的难点。

  3.变式精讲策略：在例题教学中，采用“一题多变”、“一题多解”的方式。先展示用等式性质逐步求解的“原始”方法，再引导学生优化出“移项”与“合并”的简洁方法，在对比中凸显新方法的优越性，同时强调步骤的规范性和书写的逻辑性。

  4.分层练习与反馈策略：练习设计遵循“巩固基础—变式深化—综合应用”的梯度，满足不同层次学生的学习需求。通过即时巡堂、板演展示、小组互评等方式，获取学情反馈，及时纠偏，确保算法掌握的准确性和熟练度。

  5.信息技术融合策略：有效运用动态几何软件或交互式课件，可视化呈现天平两端同时加、减物体导致平衡变化的过程，以及方程各项“移动”的动态效果，将抽象的数学思维过程具体化，辅助学生建立深刻的表象认识。

三、教学实施过程

  （一）创设情境，温故孕新（预计用时：8分钟）

  师：（多媒体展示一架平衡的天平，左盘放有2个相同质量的砝码和一个小物体，右盘放有5个相同质量的砝码。标出左盘：2x+20，右盘：50，其中x代表小物体质量）同学们，这是一个平衡的天平，它对应着一个我们已经会列的方程，是什么？

  生：2x+20=50。

  师：非常好。根据我们上节课学习的等式性质，如果我们想求出这个小物体x的质量，可以怎么做？（引导学生回忆）

  生1：两边同时减去20。等式变成2x+20-20=50-20，也就是2x=30。

  师：在天平上如何操作？

  生：从左、右两盘同时拿走20克的质量。（课件动态演示此过程，天平保持平衡）

  师：然后呢？

  生2：两边再同时除以2。等式变成2x÷2=30÷2，得到x=15。

  师：对应的天平操作是？

  生：将左右两盘剩下的质量都平均分成2份，各取一份，天平依然平衡。（课件演示）

  师：回顾这个过程，我们利用等式性质1（两边同减20）和性质2（两边同除以2），一步步将复杂的方程“2x+20=50”化归为最简单的方程“x=15”。请大家观察第一步变形前后的方程：变形前：2x+20=50；变形后：2x=50-20。你发现了什么有趣的“现象”吗？

  生3：左边的“+20”没有了，右边多了一个“-20”。

  师：观察得非常仔细！也就是说，等式左边的“+20”在变形后，似乎“跑”到了等式右边，并且符号由“+”变成了“-”。这仅仅是一种巧合，还是隐藏着某种规律呢？今天，我们就来深入探究解方程中的这种操作，它有一个专门的名字——“移项”。

  （设计意图：从直观的天平模型和已学的等式性质出发，既复习了旧知，又在新旧知识的连接点上设置悬念。通过引导学生观察变形前后方程形式的变化，自然引出“移项”的感性认识，激发其探究“为什么可以这样”的欲望，实现知识的自然导入。）

  （二）合作探究，建构新知（预计用时：18分钟）

  活动一：探究移项法则

  师：让我们用更多的例子来验证和探索这个规律。请同学们分组完成以下探究任务。

  探究问题串（投影展示）：

  1.解方程：5x-8=3x+2。要求：严格使用等式性质1和2，写出每一步。

  2.观察你的求解过程：

  (1)从第一步“5x-8-3x=3x+2-3x”（两边同减3x）到得到“2x-8=2”，等式左边的“-3x”是如何变化的？

  (2)从“2x-8=2”到“2x=2+8”（两边同加8），等式左边的“-8”又是如何变化的？

  3.尝试将上述方程“5x-8=3x+2”直接变形为“5x-3x=2+8”。比较这种变形与你用等式性质一步步推导的结果，你发现了什么？这种直接变形的方法依据是什么？

  4.你能用自己的语言概括这种将方程中某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边的操作的规则吗？

  学生分组讨论、演算，教师巡视指导，重点关注学生能否将具体操作与等式性质联系起来。

  约8分钟后，组织全班交流。

  组1代表汇报：我们解方程5x-8=3x+2。第一步，两边同时减去3x，得到5x-8-3x=3x+2-3x，合并同类项得2x-8=2。第二步，两边同时加上8，得到2x-8+8=2+8，合并得2x=10。第三步，两边同除以2，得x=5。我们发现，第一步两边同减3x，实际上是把右边的3x“去掉”了，但同时左边也多了一个“-3x”；第二步两边同加8，是把左边的-8“去掉”了，但同时右边多了一个“+8”。

  师：那么，如果我们想要更快捷地得到“2x=10”之前的形态，可以怎么做？

  组2代表：可以直接把方程-3x从右边移到左边，变成+3x吗？哦不对，我们看：从5x-8=3x+2直接变成5x-3x=2+8。这样左边是5x和-3x，右边是2和8。对比用等式性质做的，结果是一样的。这样做的依据…好像就是把右边的3x改变符号放到左边，把左边的-8改变符号放到右边。

  师：其他组有补充或更精确的概括吗？

  组3代表：我们认为，这种操作的本质还是等式性质1。把右边的3x移到左边变成-3x，相当于等式两边同时减去了3x；把左边的-8移到右边变成+8，相当于等式两边同时加上了8。只不过我们跳过了中间的步骤，直接写成了移项后的样子。

  师：非常精彩的发现！组3的同学点明了本质：移项不是凭空产生的魔法，它是等式性质1的一种简化应用形式。为了把含有未知数的项集中到一边，常数项集中到另一边，我们可以运用等式性质，将某项从一边“消除”，但为了保证等式成立，必须在另一边“加上”它的相反项。这个过程在书写上就表现为：把某项从等式一边移到另一边，并且要改变它的符号。这就是我们发现的“移项法则”。

  教师板书：

  移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。

  移项的依据：等式的基本性质1。

  移项的目的：通常是为了将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边，使方程更接近于a

x

=

b

ax=b

ax=b的形式。

  强调：“移项要变号”是操作口诀，但必须心中明确其原理是“等式两边同时加上或减去同一个数或式子”。

  活动二：辨析概念，规范步骤

  师：现在，请大家判断下列变形是否是移项？如果是，指出是如何移动的。

  (1)由x

+

5

=

7

x+5=7

x+5=7，得x

=

7

−

5

x=7-5

x=7−5。（是，+5改变符号为-5移到右边）

  (2)由3

x

=

2

x

+

5

3x=2x+5

3x=2x+5，得3

x

−

2

x

=

5

3x-2x=5

3x−2x=5。（是，2x改变符号为-2x移到左边）

  (3)由3

x

−

2

=

4

+

x

3x-2=4+x

3x−2=4+x，得3

x

+

x

=

4

+

2

3x+x=4+2

3x+x=4+2。（不是！左边的-2移到右边应变成+2，右边的x移到左边应变成-x。正确移项应为：3x-x=4+2）

  通过辨析第(3)题，强调移项必须“改变符号”，防止学生出现只移动不变号的常见错误。

  师：那么，解一个一元一次方程，现在我们有哪两大“法宝”？

  生：移项和合并同类项。

  师：对。通常，我们解这类方程的步骤可以概括为：移项→合并同类项→系数化为1。请注意，合并同类项既可以在移项后进行，也可以在移项前对同一边的项先行合并，这需要根据方程特点灵活选择。

  （设计意图：将探究的主动权交给学生。通过精心设计的问题串，引导学生在解具体方程的过程中观察、比较、思考，自主建构“移项”的概念和法则，并追溯其理论根源。辨析环节旨在强化对法则关键点（变号）的理解，避免机械记忆导致的错误。最后明确解方程的基本步骤，形成初步的程序性认知。）

  （三）典例精析，掌握技法（预计用时：15分钟）

  例1：解下列方程，并写出每一步的变形依据。

  (1)6

x

−

7

=

4

x

+

5

6x-7=4x+5

6x−7=4x+5

  (2)1

2

x

+

6

=

3

2

x

−

4

\frac{1}{2}x+6=\frac{3}{2}x-4

21​x+6=23​x−4

  师：我们先看第(1)题。请一位同学板演，要求写出详细步骤和依据。其他同学在练习本上完成。

  生板演：

  解：移项，得6

x

−

4

x

=

5

+

7

6x-4x=5+7

6x−4x=5+7。（依据：等式性质1）

  合并同类项，得2

x

=

12

2x=12

2x=12。（依据：逆用乘法分配律或合并同类项法则）

  系数化为1，得x

=

6

x=6

x=6。（依据：等式性质2）

  师：板演正确，格式规范。特别欣赏他写出了每一步的依据，这体现了数学的严谨。请大家注意，在书写“移项，得”时，通常把含有未知数的项移到左边，常数项移到右边。当然，从原理上讲，移到哪一边都是可以的，但为了统一和美观，我们约定俗成这样做。现在看第(2)题，这个方程含有分数系数，在移项和合并时需要注意什么？

  生：注意分数项的符号和运算。

  教师引导完成第(2)题：

  解：移项，得1

2

x

−

3

2

x

=

−

4

−

6

\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}x=-4-6

21​x−23​x=−4−6。

  合并同类项，得−

x

=

−

10

-x=-10

−x=−10。

  系数化为1，得x

=

10

x=10

x=10。

  师：合并同类项1

2

x

−

3

2

x

\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}x

21​x−23​x时，实际上是(

1

2

−

3

2

)

x

=

(

−

1

)

x

=

−

x

(\frac{1}{2}-\frac{3}{2})x=(-1)x=-x

(21​−23​)x=(−1)x=−x。系数化为1时，方程两边同除以-1，或理解为两边同乘-1。

  师：回顾两道例题的解题过程，谁能总结一下利用移项、合并同类项解方程的基本步骤和注意事项？

  生总结，教师完善：

  步骤：1.移项（将含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，注意移项要变号）；2.合并同类项（将方程化为a

x

=

b

ax=b

ax=b(a≠0)的形式）；3.系数化为1（方程两边同除以未知数的系数a）。

  注意事项：移项必变号；合并要准确；系数化为1时，注意除数不为零，以及符号处理。

  例2：解方程：3

x

+

5

=

20

−

2

x

3x+5=20-2x

3x+5=20−2x。

  师：这道题请大家独立完成，然后我们看看有没有不同的解法思路。

  学生练习后，展示两种可能思路：

  思路1（常规）：移项得3

x

+

2

x

=

20

−

5

3x+2x=20-5

3x+2x=20−5，合并得5

x

=

15

5x=15

5x=15，系数化1得x

=

3

x=3

x=3。

  思路2：先移常数项？移项得3

x

−

20

=

−

2

x

−

5

3x-20=-2x-5

3x−20=−2x−5？这样看起来更复杂了。或者先合并？但两边没有可直接合并的项。

  师：通过比较，哪种移项顺序更简单直接？

  生：把-2x移到左边变成+2x，把+5移到右边变成-5，这样合并起来最直接。

  师：对。移项时，我们的策略是“目标导向”：以形成“ax=b”为目标，通常选择使合并后系数尽可能简单（如为正数、整数）的移项方案。这需要在练习中积累经验。

  （设计意图：例1侧重于规范步骤和明确依据，尤其是书写格式的示范，这是培养学生严谨数学表达的关键。例2则引入简单变式，并鼓励一题多解（实则为不同移项顺序），在对比中引导学生优化解题策略，形成根据方程结构灵活选择解题起点的意识，提升思维灵活性。）

  （四）变式训练，巩固提升（预计用时：12分钟）

  练习设计分三个层次：

  层次A（基础巩固）：

  1.下列移项是否正确？若不正确，请改正。

  (1)由x

+

3

=

8

x+3=8

x+3=8，移项得x

=

8

+

3

x=8+3

x=8+3。

  (2)由5

x

=

3

x

−

6

5x=3x-6

5x=3x−6，移项得5

x

−

3

x

=

−

6

5x-3x=-6

5x−3x=−6。

  (3)由2

x

+

1

=

7

−

x

2x+1=7-x

2x+1=7−x，移项得2

x

−

x

=

7

−

1

2x-x=7-1

2x−x=7−1。

  2.解方程：

  (1)2

x

+

3

=

11

2x+3=11

2x+3=11(2)7

x

−

6

=

8

x

7x-6=8x

7x−6=8x(3)4

x

−

3

=

2

x

+

7

4x-3=2x+7

4x−3=2x+7(4)2

3

y

−

1

=

1

3

y

+

2

\frac{2}{3}y-1=\frac{1}{3}y+2

32​y−1=31​y+2

  层次B（灵活应用）：

  3.解方程：

  (1)8

y

−

3

=

5

y

+

3

8y-3=5y+3

8y−3=5y+3(2)0.5

x

−

0.7

=

1.3

x

+

0.3

0.5x-0.7=1.3x+0.3

0.5x−0.7=1.3x+0.3（提示：可先化为整数或直接计算）

  4.若代数式3

x

−

5

3x-5

3x−5的值与1

2

\frac{1}{2}

21​互为倒数，求x的值。（先列方程，再求解）

  层次C（思维拓展）：

  5.小明在解方程2

x

−

5

=

3

x

+

7

2x-5=3x+7

2x−5=3x+7时，误将“+7”看成了“-7”，解得x

=

−

12

x=-12

x=−12。请你帮他求出原方程正确的解。

  6.关于x的方程3

a

−

x

=

x

2

+

3

3a-x=\frac{x}{2}+3

3a−x=2x​+3的解是x

=

4

x=4

x=4，求代数式a

2

−

2

a

+

1

a^2-2a+1

a2−2a+1的值。

  学生独立完成，教师巡视，重点关注A组第1题的辨析情况，B组第4题列方程的能力，以及C组题目的思维过程。完成一定时间后，针对共性问题进行集中讲解，并请学生上台展示B、C层次题的解题过程，交流不同解法。

  （设计意图：分层练习旨在面向全体，兼顾差异。A层确保所有学生掌握移项法则和解方程的基本步骤；B层提升运算复杂度和问题转化能力（列方程）；C层则聚焦于逆向思维、方程解的概念等综合运用，为学有余力的学生提供挑战。通过即时反馈和讲评，巩固教学效果，查漏补缺。）

  （五）课堂小结，反思升华（预计用时：5分钟）

  师：本节课即将结束，请同学们围绕以下问题分享你的收获与体会：

  1.什么是移项？移项的依据是什么？移项时要注意什么？

  2.利用移项和合并同类项解一元一次方程的一般步骤是什么？

  3.在探究移项法则和解方程的过程中，主要运用了哪些数学思想方法？（引导说出：化归思想、从特殊到一般的思想）

  4.你还有哪些疑惑或觉得自己需要加强的地方？

  学生自由发言，教师梳理归纳，形成知识网络图（板书或投影）：

  解一元一次方程（基本类型）

  核心操作：移项（依据：等式性质1，要点：变号）+合并同类项

  一般步骤：移项→合并同类项（化为ax=b）→系数化为1（依据：等式性质2）

  思想方法：化归、程序化思想。

  （六）布置作业，延伸学习（预计用时：2分钟）

  必做题：教材对应章节练习题，完成一组基础解方程题目和一道简单应用题。

  选做题：1.查阅数学史，了解“移项”这一术语和方法的来源。2.尝试解方程：∣

2

x

−

1

∣

=

5

|2x-1|=5

∣2x−1∣=5（提示：联系绝对值的意义，化为两个一元一次方程）。为后续学习埋下伏笔。

  实践思考题：找一道可以用一元一次方程解决的生活中的实际问题（如购物折扣、行程问题等），列出方程并尝试求解，下节课分享。

  （设计意图：通过开放式的小结，引导学生从知识、技能、思想方法多个维度进行反思，促进知识的内化和结构化。分层作业设计既保障了基础知识的落实，又提供了拓展延伸的空间，满足不同学生的需求，并将数学与生活、数学史相联系，激发持续探究的兴趣。）

四、板书设计（预设）

  （左侧主板书区域）

  课题：解一元一次方程——移项与合并同类