湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（解析版）

湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DACBAACCBDACD题号11答案BCD1．D【分析】求出集合后结合交集的定义可求.【详解】，故，故选：D.2．A【详解】复数的实部为，虚部为，根据纯虚数的条件，令实部为0，可得，解得；将代入，得，满足条件，因此实数.3．C【详解】根据二项式定理，展开式中的通项公式为：，要求展开式中的常数项，则的指数为0，即，解得，代入通项公式的系数部分，求得常数项：，C正确.4．B【分析】根据向量基本定理可得，再由基本不等式“1”的妙用求最小值即可．【详解】三点共线，且M是线段上的一个动点，满足，，则，当且仅当时取等，故的最小值为．5．A【详解】由题意得的通项公式为，令，可得，即其常数项为.6．A【分析】将代入经验回归方程计算即可得.【详解】，，则，解得.7．C【分析】先利用离散型随机变量所有概率和为1求出，再结合期望公式求出，最后代入方差公式计算结果.【详解】由题意可得，解得，又，所以，即，即，得，所以.8．C【分析】对原式两边取以为底的对数，得到的对数表达式，再通过对数的运算性质（乘积的对数等于对数的和、对数的幂运算）对表达式进行变形，逐项验证即可.【详解】已知，两边取以为底的对数，可得：，，，则，因此.选项A，，，，乘积为：，A错误.选项B，左边，右边，，B错误.选项C，由(1)(2)(3)得：，，，因此：，C正确.选项D，，D错误.9．BD【分析】由条件求得等差数列公差，写出其通项公式，求和公式，结合等比数列定义逐项判断即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，且，所以，解得：，则，显然数列是递增数列，故A错误，B正确；因，故C错误；令，，所以数列是公比为的等比数列，故D正确.10．ACD【分析】利用二项分布的定义判断A；求出概率判断B；求出期望和方差判断C，D即可.【详解】对于A，每次取到白球的概率为，则，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，的可能取值为，，则，又，则，C正确；对于D，，而，则，D正确.11．BCD【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得.【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况：第一次选数时，从1到10中选到9，概率为，第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为，所以，选项A错误；对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为；发生后，下一次从1到8中选到8，概率为，发生后，下一次从1到9中选到8，概率为，这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确；对于C，根据条件概率公式，，若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率为，即，若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8，即，所以，选项C正确；对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数，则，当时，有，，，结合知，，所以最大数选取是任意的，始终有，对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数，选中的概率，则有，可得，选项D正确.故选：BCD12．-28【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28故答案为：-2813．/【分析】先假设出大果真实比例，根据题目条件列出方程式，解出方程即可.【详解】设大果的真实比例为，则小果的真实比例为，根据题意得，解得.14．【分析】设，，利用得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方程，进而得，根据题意，构建的齐次式，解不等式即得结果.【详解】设，，则由，可得，所以①．又因为点，都在椭圆上，满足椭圆方程，所以②，由方程组①②可得，化简得，解得，因为，所以，即，解得．所以该椭圆的离心率的取值范围是．15．(1)(2)【分析】（1）由，可得，从而可得数列是等比数列，再求通项公式即可；（2）由（1）可得，从而得，从而利用错位相减求解即可.【详解】（1）因为①，当时，则有，当时，则有②，由①②，得，所以，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比，所以；（2）由（1）可得，所以，所以，所以，所以，两式相减，得，所以.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直得到线线垂直.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的正弦值.【详解】（1）因为底面，底面，所以.又底面为矩形，所以，又平面，且，所以平面.又平面，所以.（2）以为原点，建立如下图空间直角坐标系.由题意：，，，.所以，.设平面的法向量为，则，可取.取平面的法向量.设二面角为，则，所以.17．(1)(2)4250元(3)，正相关【分析】（1）先计算，进而计算，即可求解；（2）根据（1）当时，计算即可求解；（3）根据相关系数的公式计算即可.【详解】（1）由题意得：，，计算，，故，所以回归方程为；（2）当时，（百元），所以预测该日的销售额为元；（3）由题意得：，，表明销售额与平均气温高度正相关.18．(1)有把握(2)（i）；（ii）14人【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论；（2）（i）设“员工第轮获得优秀”，“员工经过培训能应用Sora”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论；（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数，则，由条件列不等式可求结论.【详解】（1）零假设：Sora的应用与视频从业人员的减少无关，，根据小概率值的独立性检验，可以推断出不成立，所以有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关；（2）（i）设“员工第轮获得优秀”，“员工经过培训能应用Sora”，则，所以，所以员工经过培训能应用Sora的概率为；（ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数，则，因此，调整后视频部的期望年利润为：（万元），令，解得，又，所以，因此视频部最多可以调14人到其他部门．19．(1)(2)由题，，设，设，则在R上单调递增，注意到，则当在上单调递增，在上单调递减，则，设函数上任意两点为，则函数上任意两点斜率的表达式为，由拉格朗日中值定理，在区间上存在实数，使，即，因，则，即函数上任意两点连线的斜率不小于；(3)，由题即相当于证明，，存在，使，即，即命题等价于证明对任意，，下面证明：，先证：，不等式两边同时除以a，所证不等式变为，令，则所证不等式可化为，构造函数，则，则在上递减，则，则；再证：，因，则所证不等式可化为，即，令，则所证不等式可化为，构造函数，则，则在上递增，则，则，又由基本不等式可得，则，又注意到，则，即对任意，，则命题得证.【分析】（1）由题可得，解相应方程可得答案；（2）利用导数知识多次求导可得，然后结合拉格朗日中值定理可证明结论；（3）