2026年高等代数测试题及其答案

2026年高等代数测试题及其答案

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.设多项式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，已知$f(1)=0$，$f(-1)=0$，则$f(x)$可以分解为（）A.$(x-1)(x+1)(x+c)$B.$(x-1)(x+1)(x-c)$C.$(x-1)^2(x+1)$D.$(x+1)^2(x-1)$2.设向量组$\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(2,4,6)$，$\alpha_3=(3,6,9)$，则$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$的线性关系是（）A.线性相关B.线性无关C.无法确定D.以上都不对3.设$A$是$n$阶方阵，$|A|=0$，则$A$（）A.必有一个特征值为0B.必有两个特征值为0C.必有$n$个特征值为0D.没有特征值4.设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$，则其对应的矩阵是（）A.$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&2\\2&2&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2&2\\2&2&3\\2&3&3\end{pmatrix}$5.设$A$是$n$阶可逆矩阵，$B$是$n$阶矩阵，且$AB=0$，则（）A.$B=0$B.$|B|=0$C.$BA=0$D.$|A|=0$6.设向量组$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,1,0)$，$\alpha_3=(0,0,1)$，$\beta=(1,1,1)$，则$\beta$在$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$下的坐标是（）A.$(1,1,1)$B.$(0,0,0)$C.$(1,0,0)$D.$(0,1,0)$7.设$A$是$n$阶矩阵，$A^T$是$A$的转置矩阵，$|A|=-1$，则$|A^T|$等于（）A.-1B.0C.1D.无法确定8.设线性方程组$Ax=b$有解，则其解的情况是（）A.有唯一解B.有无穷多解C.可能无解D.一定有解9.设$A$是$n$阶方阵，$A^2=A$，则$A$的特征值只能是（）A.0B.1C.0或1D.无法确定10.设$f(x)$是数域$P$上的多项式，$g(x)$是$f(x)$的一个因式，则$f(x)$与$g(x)$的最大公因式是（）A.$g(x)$B.$f(x)$C.$f(x)g(x)$D.无法确定二、填空题（总共10题，每题2分）1.设多项式$f(x)=x^4+3x^3-2x^2+5x-1$，则$f(x)$的常数项是______。2.设向量组$\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(2,4,6)$，$\alpha_3=(3,6,9)$，则$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$的秩是______。3.设$A$是$3$阶方阵，$|A|=2$，则$|2A|$等于______。4.设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$，则其秩是______。5.设$A$是$n$阶可逆矩阵，$B$是$n$阶矩阵，且$AB=0$，则$r(B)$______$n$。6.设向量组$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,1,0)$，$\alpha_3=(0,0,1)$，$\beta=(1,1,1)$，则$\beta$在$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$下的坐标是______。7.设$A$是$n$阶矩阵，$A^T$是$A$的转置矩阵，$|A|=-1$，则$|A^T|$等于______。8.设线性方程组$Ax=b$有解，则其解的情况是______。9.设$A$是$n$阶方阵，$A^2=A$，则$A$的特征值只能是______。10.设$f(x)$是数域$P$上的多项式，$g(x)$是$f(x)$的一个因式，则$f(x)$与$g(x)$的最大公因式是______。三、判断题（总共10题，每题2分）1.若两个多项式的次数相同，则它们相等。（）2.若向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。（）3.若矩阵$A$可逆，则$A$的行列式不为零。（）4.若二次型的矩阵是正定矩阵，则该二次型是正定二次型。（）5.若线性方程组有解，则其解一定是唯一的。（）6.若矩阵$A$与矩阵$B$等价，则$A$与$B$的秩相等。（）7.若多项式$f(x)$在数域$P$上可约，则$f(x)$在数域$P$上一定有根。（）8.若向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。（）9.若矩阵$A$的特征值都是正数，则$A$是正定矩阵。（）10.若$f(x)$与$g(x)$互素，则$f(x)$与$g(x)$没有公共根。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.求多项式$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$的有理根。2.设向量组$\alpha_1=(1,2,3)$，$\alpha_2=(2,4,6)$，$\alpha_3=(3,6,9)$，$\alpha_4=(1,1,1)$，判断该向量组的线性相关性。3.求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}$的秩。4.求二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3$的标准形。五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论多项式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$有重根的条件。2.讨论向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$线性相关与线性无关的判定方法。3.讨论矩阵$A$可逆的判定方法。4.讨论二次型正定的判定方法。答案：一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B6.A7.A8.D9.C10.A二、填空题1.-12.13.164.35.≤6.(1,1,1)7.-18.有解9.0或110.g(x)三、判断题1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.利用有理根定理，可能的有理根为±1，±2。经检验，f(1)=0，所以1是f(x)的一个有理根，然后利用多项式除法可得f(x)=(x-1)(x^2-2x+2)，所以f(x)的有理根为1。2.设$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0$，即$\begin{cases}k_1+2k_2+3k_3+k_4=0\\2k_1+4k_2+6k_3+k_4=0\\3k_1+6k_2+9k_3+k_4=0\end{cases}$，系数矩阵的秩为2，小于向量组的个数4，所以该向量组线性相关。3.对矩阵A进行初等行变换，可得$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，所以矩阵A的秩为1。4.利用配方法可得$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+2x_3^2$，所以其标准形为$y_1^2+y_2^