专题21 一次函数与特殊四边形的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（解析版）

1/10专题21一次函数与特殊四边形的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、一次函数与平行四边形的综合类型二、一次函数与矩形的综合类型三、一次函数与菱形的综合类型四、一次函数与正方形的综合压轴专练类型一、一次函数与平行四边形的综合方法总结1.设点坐标：设平行四边形顶点坐标为含参数形式，利用对边平行且相等（斜率相等、距离相等）列方程。2.中点公式：利用对角线互相平分的性质，建立关于顶点坐标的方程组求解。解题技巧1.分类讨论：根据顶点顺序（如ABCD）确定对边关系，分情况讨论。2.参数法：设动点坐标为x或t，用函数表达式表示，代入几何条件求解。例1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，对角线，相交于点D，点A的坐标为，点C的坐标为．(1)点B，点D的坐标分别为______，______；(2)求平行四边形的周长．(3)若平面内有一点，求经过点P且平分平行四边形的面积的直线解析式．【答案】(1)点B，点D的坐标分别为；(2)(3)【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，是解题的关键：（1）根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式，进行求解即可；（2）勾股定理求出的长，再根据周长公式进行计算即可；（3）根据平分平行四边形的面积的直线必过平行四边形的中心，即点，利用待定系数法求出函数解析式即可．【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点D，点A的坐标为，点C的坐标为，∴为的中点，轴，∴，即：；；（2）∵，，，∴，．在中，，．∴的周长．（3）由题意，平分平行四边形的面积的直线必过平行四边形的中心，即点，设直线解析式为．将点，代入得，解得，∴函数解析式为．【变式1-1】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是．(1)请求出点B的坐标；(2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；(3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？【答案】(1)(2)或或或或；(3)12秒【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再结合C点的坐标即可求出点B的坐标；（2）设，分，，这三种情况求出点D的坐标；（3）先求出平行四边形对角线交点的坐标，设平移后解析式为，再把交点坐标代入求解即可．【详解】（1）解：点坐标是，，，

四边形是平行四边形，

，，

点坐标是，

；（2）解：点是直线上一个动点，

设，

①当时，三角形是等腰三角形，

或，

或，

②当时，三角形是等腰三角形，

则点在的垂直平分线上，

，

③时，，或，或，综上所述，点D的坐标为或或或或；（3）解：∵，，∴平行四边形对角线交点的坐标为，即，∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点，设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为，将代入得：，解得．答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分．【变式1-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．(1)点B的坐标为，点C的坐标为；(2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标；(3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，平行四边形的性质，求一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特征等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．（1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求出点的坐标；（2）利用待定系数法求出直线的解析式，然后通过解析式求交点坐标即可；（3）分两种情况进行讨论，通过关于坐标轴对称的点的坐标特征列出方程，然后进行求解即可．【详解】（1）解：根据题意，轴，，点A的坐标为，∴点B的坐标为；∵四边形为平行四边形，∴，轴，∵点D的坐标为，∴点C的坐标为，故答案为：，；（2）解：设直线的函数解析式为．把代入，得解得，∴直线的函数解析式为.在中，当时，，∴点G的坐标为；（3）解：设，且，若点P关于x轴的对称点在直线上，则，解得，此时；若点P关于y轴的对称点在直线上，则，解得，此时．综上所述，点P的坐标为或．类型二、一次函数与矩形的综合方法总结1.坐标表示：设矩形顶点坐标，利用对边平行且相等、邻边垂直（斜率积为-1）建立方程。2.中点与距离：对角线互相平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。解题技巧1.设参数简化：设矩形顶点为(x,y)或含参数表达式，根据矩形条件列式。2.分类讨论：根据矩形顶点顺序或位置（如边与坐标轴平行）分情况讨论。例2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的一边在轴上，点坐标为，其中，边，且满足，将矩形折叠，使落在边（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或边（含端点）交于点．(1)求矩形的边_____、_____．(2)如图1，当点与点重合时，连接，若是等腰三角形，求的值．(3)若点、在函数的图象上，请你在图2中画图分析，是否存在面积最大值？若存在，说明理由，并求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)10，8(2)或4或6(3)存在面积最大值，理由见解析，此时点的坐标为或【分析】（1）先根据可得，再代入可得，则，由此即可得；（2）先求出，，，再分三种情况：①，②和③，分别建立方程，解方程即可得；（3）先利用一次函数的性质求出，，再分三种情况：①当点落在点上时，②当点落在边（不含端点）上时，③当点落在点上时，结合图形，求出的面积取值范围，由此即可得．【详解】（1）解：由题意得：，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：10，8．（2）解：∵在矩形中，，∴，，∵点坐标为，且，∴，∴，由折叠的性质得：，∴，∴，①当时，是等腰三角形，则，即，解得或（不符合题意，舍去）；②当时，是等腰三角形，则，即，解得；③当时，是等腰三角形，则，解得；综上，的值为或4或6．（3）解：存在面积最大值，理由如下：∵点坐标为，且，∴，∵在矩形中，，∴，，∴，∴，将点代入函数得：，解得，∴，，①如图，当点落在点上时，则点只能在边的中点上，此时的面积为，此时点的坐标为；②如图，当点落在边（不含端点）上时，由三个图可知，此时，当且仅当点与点重合时，等号成立，由（2）可知，当点与点重合时，，∴此时，∴此时点的坐标为；③如图，当点落在点上时，由轴对称的性质可知，，∵，∴此时点只能在边（不含端点）上，∴此时；综上，，当点的坐标为或时，等号成立，即存在面积最大值，此时点的坐标为或．【变式2-1】（25-26九年级上·北京昌平·月考）在平面直角坐标系中，组成矩形，直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)直线交矩形于不同的两点，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)且或【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据直线与直线交于点，得到，分别求出直线经过两点时的值，即可得出结果．【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入，得，∴直线的解析式为；（2）由（1）知：直线的解析式为；∵直线与直线交于点，∴，当直线经过点时，则，解得，∴当且时，直线交矩形于不同的两点；当直线经过点时，则，解得，∴当时，直线交矩形于不同的两点；综上：且或．【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E．(1)求点B和点E的坐标；(2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点，①连接，若请求出点P的坐标；②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)①；②．【分析】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．（1）根据矩形的性质可得从而得到的坐标，再由角平分线和平行线的性质可以证出，进而得到点的坐标；（2）①利用割补法将的面积表示出来，再转化为坐标之间的关系求解即可；②要使四边形是矩形，则为直角三角形，，设出点的坐标，利用两点距离公式和勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，，，，，，，，∴，∵为的平分线，，，，∵为中点，，∴，由勾股定理可得，，∴．（2）解：①∵四边形为矩形，点为的中点，，，延长，交轴于点，如图：设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，当时，，，∴，，，，，把代入得：，；②存在，如图：∵点是射线上的动点，∴设，∵，，，，要使四边形是矩形，则为直角三角形，，，即，解得：，．类型三、一次函数与菱形的综合方法总结1.坐标表示：设菱形顶点坐标，利用四边相等、对角线垂直平分（斜率积为-1且中点重合）建立方程。2.对称性：菱形对角线所在直线为函数图象，利用对称点坐标关系求解。解题技巧1.设对角线方程：若对角线在直线上，设其方程，用顶点在直线上且到中心等距列式。2.参数法：设菱形边长为参数，用勾股定理和垂直条件求顶点坐标。例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D．(1)求直线的函数表达式；(2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S．①如图2，当点在y轴上时，求S的值；②当时，请直接写出t的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）连接交轴于点，根据菱形的性质求出，再由待定系数法求解函数解析式；（2）①先证明为等边三角形，则，那么，，则，故，过点作于点，可得，故，证明四边形为平行四边形，则；②当重叠部分为五边形时，过点作于点，表示出，，则，证明为等边三角形，则，故，则，然后表示，则，过点作于点，同理可得，，然后计算，而，最后由建立方程求解；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意．【详解】（1）解：连接交轴于点，∵四边形是菱形，∴，，∵∴，∴，∴，∴，设直线，∴，∴，∴直线；（2）解：①在图1中，∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵四边形是菱形，且平移后的为菱形∴,，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，过点作于点∴，∴，∴，∵菱形中，，∴四边形为平行四边形，∴；②当重叠部分为五边形时，如图：过点作于点由①可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴∴∴，∵在中，，∴，∴，过点作于点，同理可得：，，∴，∵，∴，解得；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意，综上：当时，．【变式3-1】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点和点，点和点分别在线段和轴正半轴上，点在第一象限内，且四边形是菱形．

(1)求的值和点坐标；(2)设直线与菱形的边交于点．①当是的中点时，判断的形状，并说明理由；②如果四边形是直角梯形，求菱形的边长．【答案】(1)(2)①等腰三角形，见解析；②【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质；（1）将代入计算得出，令，得出B点坐标即可；（2）①根据题意再结合菱形的性质证出，得到，求出即可得出结论；②根据直角梯形的性质求出，设，则，结合勾股定理计算即可．【详解】（1）解：将代入得：，解得：，令，，∴；（2）解：

四边形为菱形是的中点，∴，∵在和中，∵∴为等腰三角形

四边形是直角梯形只能设，则解得：，．【变式3-2】（24-25九年级上·四川成都·月考）已知菱形的边长为，其顶点都在坐标轴上，且点坐标为．(1)求点的坐标及菱形的面积；(2)点是菱形边上一动点，沿运动（到达点时停止）①如图1，当点关于轴对称的点恰好落在直线上时，求点的坐标．②探究：如图2，当运动到，边时，作关于直线的对称图形为，是否存在这样的点，使点正好在直线上？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，菱形的面积为；(2)①点坐标为或；②满足条件的点坐标为或．【分析】（1）根据菱形的性质可得，，，，由，可得，再根据勾股定理求出，可求出点的坐标，得到，，最后根据菱形的面积公式求出其面积即可；（2）①有两种情形：求出图中点坐标，根据对称性可得点坐标，当点与重合时，也满足条件；②分两种情形：当平分时，当时，分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，菱形的边长为，，，，，，，在中，，，，，，；（2）解：①如图2中，菱形的顶点都在坐标轴上，点关于轴对称的点也在直线，由题意知，，，设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，直线的解析式为，联立得：，解得：，，当点坐标为时，点关于轴对称的点恰好落在直线上，当点与重合时，点关于轴对称的点恰好落在直线上，此时，综上所述，满足条件的点坐标为或；②如图3中，当平分时，满足条件，由题意知，，，，，，，，，，当时，在直线上，此时直线的解析式为，直线的解析式为，由，解得：，，综上所述，满足条件的点坐标为或．类型四、一次函数与正方形的综合方法总结1.坐标表示：设正方形顶点坐标，利用四边相等、邻边垂直（斜率积为-1）及对角线垂直相等建立方程。2.中点与距离：对角线互相垂直平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。解题技巧1.设旋转角：若边不与轴平行，可设一边所在直线斜率为\(k\)，利用垂直求另一边斜率。2.分类讨论：根据正方形顶点顺序或位置分情况求解。例4．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为．(1)求正方形的面积；(2)直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查的是一次函数的图象和性质、正方形的性质、平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，求得点和点的坐标是解题的关键．（1）将代入，可求得，从而可求得，于是可求得正方形的面积；（2）由正方形的边长为可求得点的坐标为，从而可求得直线的解析式，可求得点坐标，从而可求得被分割的两部分的面积，即可得出答案．【详解】（1）解：∵顶点的坐标为，轴，∴点横坐标为，∵顶点在直线上，∴当时，，即，∴，∴正方形的面积为．（2）解：∵，，∴，设直线解析式为，∴，解得：，∴直线解析式为，当时，，即，∴，，∴，，∴．故答案为：．【变式4-1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为．

(1)求直线的函数解析式；(2)当时，正方形的面积为_______；(3)求与之间的函数关系式；【答案】(1)；(2)16(3)【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质．（1）利用待定系数法求解即可；（2）求得正方形的边长，即可求得正方形的面积；（3）分当和时，两种情况讨论，用分别表示出的长，利用正方形的周长公式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴点，设直线的函数解析式为，∴，解得，∴直线的函数解析式为；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴正方形的面积为，故答案为：16；（3）解：当时，如图，

∵，∴，∴正方形的周长为；当时，如图，

∵，∴，∴，∴正方形的面积为；综上，．【变式4-2】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限，的顶点，．(1)如图1，求点B，C的坐标；(2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为，，，．设，正方形与重合部分的面积为S．①如图2，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示S；②若平移后重合部分的面积为，则t的值是．（请直接写出结果即可）．【答案】(1)，(2)①；②或6【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答；（2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解；②分当和时两种情况讨论，分别求解即可．【详解】（1）解：由，得，∵四边形是正方形，∴，∴，．（2）解：①∵，，，∴，，由平移知，四边形是正方形，得，，∴四边形是矩形，∴，，，∴，∴，，∵，∴，∴，当时，．②当时，依题意，得，解得或（舍去）；当时，点与点N重合，此时，∴，∴，依题意，得，解得或（舍去），综上，t的值是或6．故答案为：或6．一、单选题1．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（

）A．10 B． C．5 D．【答案】A【分析】先从函数图象获取直线平移距离与平行四边形顶点的关系，得出的长度；当直线经过点D时，设直线交于点E，交x轴于点N，交y轴于点M，作于点F，再利用直线的性质，结合此时截得的线段长度，利用勾股定理求出平行四边形的高，最后根据平行四边形面积公式计算面积．【详解】解：由图象可知，直线经过点A时移动的距离为3，经过点D时移动的距离为7，经过点B时移动的距离为8，∴，如图，当直线经过点D时，设直线交于点E，交x轴于点N，交y轴于点M，作于点F，则此时直线的表达式为，令，则；令，则，∴，，即，∵，∴，又∵轴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，由图2可知，∴，∴．2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴，轴，长方形的边上有一动点P，沿匀速运动一周，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和h与点P走过的路程s之间的函数图象如图2所示，已知点A的横坐标为1，则线段所在直线的函数表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了矩形的性质、一次函数的应用，熟练掌握知识点并采用数形结合的思想是解题的关键．由矩形的性质并结合图象可得点，点G为点P走到D点对应的位置，由此即可得出，再利用待定系数法求出所在直线的函数表达式即可．【详解】解：∵四边形为长方形，∴由题意得，点，点G为点P走到D点对应的位置，∴，∴∴，设线段所在直线的函数表达式为，∴，解得，∴线段所在直线的函数表达式为，故选：B．二、填空题3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，直线与轴、轴分别交于点、．将菱形沿轴向右平移个单位，当点落在上时，则________．【答案】3【分析】本题考查菱形的性质，一次函数的性质．根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点A的坐标，再根据直线解析式求出点A移到上时x的值，从而求出m．【详解】解：∵菱形的顶点，点，∴点的坐标为，当时，，解得，∴菱形沿轴向右平移个单位时，点落在上，∴的值为3．故答案为：34．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______．【答案】【分析】本题考查一次函数解析式的求解、全等三角形的判定与性质以及坐标平移的应用，先利用点的坐标求出直线的解析式，再通过全等三角形确定点的坐标，最后根据平移后点在直线上建立方程求解．【详解】解：∵点在直线上，∴，解得，∴直线的解析式为；如图，过点作轴于点，过点作于点，则，．∵四边形是正方形，∴，，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，则，同理，证明，∴，，∴，∴点的坐标为.将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为，∵该点在直线上，∴，解得；故答案为：．三、解答题5．（19-20八年级下·重庆璧山·期中）如图1，已知平行四边形，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是平行四边形边上的一个动点．(1)求直线的解析式．(2)若点为上一点，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标．【答案】(1)(2)点的坐标为或或或【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式．（2）分两种情形①当点在边上时，②当点在边上时，假设点坐标，在每种情况中再分情况讨论，分别求出点关于轴和轴的对称点，代入直线解析式列出方程即可解决问题．【详解】（1）解：设直线的解析式为，将点的坐标为，点的坐标为代入上式，即，解得：，∴直线的解析式为．（2）①当点在边上时，∵，，∴直线的解析式为，设，且，∴点关于轴的对称点为，∵在直线上，∴，解得，此时．∵点关于轴的对称点为，且在直线上时，∴，解得，此时；②当点在边上时，设，且，∵关于轴的对称点为，且在直线上，∴，解得，此时，∵点关于轴的对称点为，且在直线上，∴，解得，此时，综上所述，点的坐标为或或或．6．（山东省烟台市经开区2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷（五四学制））如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为．(1)当直线l经过原点O时，求它的表达式；(2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；(3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)说明见解析(3)存在；或【分析】（1）将原点坐标代入解析式可k的值，即可求解；（2）由题意可得点，当时，，则可得不论k为何值，直线l总经过点C；（3）由的面积等于矩形的面积的一半，即，即可求解．【详解】（1）解：∵直线l经过原点，∴把点代入，得：，解得，∴一次函数的解析式为：；（2）由题意可知，点C的坐标为，当时，，∴不论k为何值，直线l总经过点C；（3）存在，理由：设点，由点A、B、C、D的坐标知，，，，∵的面积等于矩形的面积的一半，即，即，则，则点或．7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，．(1)如图①，点为边上的一点，连接，当时，求的长度；(2)如图②，动点在轴右侧，且在直线上，点在线段上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或．【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，一次函数与几何图形综合，等腰三角形的性质，数形结合是解题的关键；（1）设,则，根据勾股定理建立方程并解方程即可求解；（2）设点．分类讨论：①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，证明，得出此时点；②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点同理，可证，得出的长，即可得出点P的坐标.【详解】（1）解：∵在矩形中，．∴，设,则，在中，，即，解得，∴；（2）解：存在，理由如下：

设点．①当点在下方时，过点作，交轴于点，交于点，如图：是等腰直角三角形，，，，，，，，，解得，∴点．②当点在的上方时，过点作，交轴于点，交的延长线于点，如图：同理，可证，，，解得，，点；综上分析可知：点P的坐标为或．8．（25-26八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，且．

(1)求直线的函数解析式；(2)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；(3)在正方形的边上有一点，若，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)存在，点坐标为(3)点坐标为或【分析】（1）首先确定点，点坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）设，当时，过点作于点，过点作于点，，，，，结合全等三角形的性质和建立方程即可求解；（3）分点在上、点在上、点在上和点在上四种情况，分别讨论，即可获得答案．【详解】（1）解：∵，，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∵点在轴正半轴上，且，即∴，设直线的函数解析式为，将点，代入，可得，解得，∴直线的函数解析式为；（2）解：设，如图，当时，此时，过点作于点，过点作于点，则，，，，，∴，∴，又∵，即∴，∴，，∵，∴，解得，∴，∴；（3）解：当点在上时，如图，设，则，，∵，，若，则有，解得，即；当点在上时，如图，设，则，，∴，，若，则有，解得，不合题意，舍去；当点在上时，如下图，设，则，，∴，，若，则有，解得，即；当点在上时，如下图，此时，而，故不符合题意，舍去．综上所述，点坐标为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、正方形的性质、坐标与图形、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数综合应用等知识，综合性强，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键．9．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．(1)①求的值；②判断的形状，并说明理由；(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)①；②等边三角形，理由见解析(2)(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）①求出与y轴的交点即可求出b的值；②由轴对称的性质求出点D的坐标，由勾股定理求出，的长即可判断的形状；（2）设点关于直线的对称点为，求出点的坐标，连接，则与直线的交点为点，则当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，与联立求出点P的坐标，进而可求出点F的坐标；（3）分3种情况求解即可．【详解】（1）解：①令，则，，直线经过点，；②是等边三角形，理由如下：令，则，解得，，点关于轴的对称点是点，，，，，，是等边三角形；（2）解：，直线，令，则，，设点关于直线的对称点为，，，，，，连接，则与直线的交点为点，，的周长，当、、三点共线时，的周长最小，设直线的解析式为，，解得，，联立方程组，解得，，轴，，，四边形是正方形，；（3）解：在轴上存在一点，使得是等腰三角形，理由如下：设，，，，当时，，解得或，或；当时，，解得，；当时，，解得或舍，；综上所述：点坐标为或或或．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，正方形的性质，轴对称的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．10．（25-26九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，对于直线和直线，在上取一点A，在上取一点B，若，以，为邻边作菱形，则菱形为【，】的m相关菱形，称为【，】的m相关菱角，的对边称为【，】的m相关菱边．特别地，当时，直线，即直线，代表x轴．例如：如图，，，，则菱形为的5相关菱形，为的5相关菱角，的对边为的5相关菱边．(1)若菱形是的2相关菱形，则的2相关菱角的度数是______；(2)若菱形是【0，】的4相关菱形，当点在【0，】的4相关菱边上时，求的值；(3)当【，】的m相关菱边与【，】（其中）的m相关菱边都经过点时，直接写出m的取值范围．【答案】(1)45或135(2)的值为(3)m的取值范围为【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了正比例函数与菱形的性质，勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．（1）根据题意得出两条直线为，，则或；（2）先得出点是菱形的一个顶点，根据题意画出图形，即可求解；（3）根据新定义，设，勾股定理求得，进而分为边求得m的值，即可求解．【详解】（1）解：菱形是的2相关菱形，如图1，∴两条直线为，，或，故答案为：45或135；（2）解：到原点距离为，∵菱形是【0，】的4相关菱形，∴点是菱形的一个顶点，如图2，点在直线上，即，解得：；如图3，点E的坐标，则点在直线上，即，解得：，的值为；（3）解：设【，】的m相关菱形为，【，】（其中）的m相关菱形为，则，，均过，，连接，如图：要使，同时存在，则和之间的距离，∵直线恒过点O，直线QR恒过点M，∴直线与直线之间的距离，∴当时，一定存在与，使得直线过点M．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次