专题21 一次函数与特殊四边形的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册（原卷版）

1/10专题21一次函数与特殊四边形的四类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、一次函数与平行四边形的综合类型二、一次函数与矩形的综合类型三、一次函数与菱形的综合类型四、一次函数与正方形的综合压轴专练类型一、一次函数与平行四边形的综合方法总结1.设点坐标：设平行四边形顶点坐标为含参数形式，利用对边平行且相等（斜率相等、距离相等）列方程。2.中点公式：利用对角线互相平分的性质，建立关于顶点坐标的方程组求解。解题技巧1.分类讨论：根据顶点顺序（如ABCD）确定对边关系，分情况讨论。2.参数法：设动点坐标为x或t，用函数表达式表示，代入几何条件求解。例1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，对角线，相交于点D，点A的坐标为，点C的坐标为．(1)点B，点D的坐标分别为______，______；(2)求平行四边形的周长．(3)若平面内有一点，求经过点P且平分平行四边形的面积的直线解析式．【变式1-1】（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是．(1)请求出点B的坐标；(2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标；(3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？【变式1-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．(1)点B的坐标为，点C的坐标为；(2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标；(3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标．类型二、一次函数与矩形的综合方法总结1.坐标表示：设矩形顶点坐标，利用对边平行且相等、邻边垂直（斜率积为-1）建立方程。2.中点与距离：对角线互相平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。解题技巧1.设参数简化：设矩形顶点为(x,y)或含参数表达式，根据矩形条件列式。2.分类讨论：根据矩形顶点顺序或位置（如边与坐标轴平行）分情况讨论。例2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的一边在轴上，点坐标为，其中，边，且满足，将矩形折叠，使落在边（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或边（含端点）交于点．(1)求矩形的边_____、_____．(2)如图1，当点与点重合时，连接，若是等腰三角形，求的值．(3)若点、在函数的图象上，请你在图2中画图分析，是否存在面积最大值？若存在，说明理由，并求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．【变式2-1】（25-26九年级上·北京昌平·月考）在平面直角坐标系中，组成矩形，直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)直线交矩形于不同的两点，直接写出的取值范围．【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且．点D为的中点，连接为的平分线，交于点E．(1)求点B和点E的坐标；(2)点P为射线上一动点，点Q为平面内任意一点，①连接，若请求出点P的坐标；②是否存在P，Q两点，使得四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、一次函数与菱形的综合方法总结1.坐标表示：设菱形顶点坐标，利用四边相等、对角线垂直平分（斜率积为-1且中点重合）建立方程。2.对称性：菱形对角线所在直线为函数图象，利用对称点坐标关系求解。解题技巧1.设对角线方程：若对角线在直线上，设其方程，用顶点在直线上且到中心等距列式。2.参数法：设菱形边长为参数，用勾股定理和垂直条件求顶点坐标。例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D．(1)求直线的函数表达式；(2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S．①如图2，当点在y轴上时，求S的值；②当时，请直接写出t的值．【变式3-1】（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点和点，点和点分别在线段和轴正半轴上，点在第一象限内，且四边形是菱形．

(1)求的值和点坐标；(2)设直线与菱形的边交于点．①当是的中点时，判断的形状，并说明理由；②如果四边形是直角梯形，求菱形的边长．【变式3-2】（24-25九年级上·四川成都·月考）已知菱形的边长为，其顶点都在坐标轴上，且点坐标为．(1)求点的坐标及菱形的面积；(2)点是菱形边上一动点，沿运动（到达点时停止）①如图1，当点关于轴对称的点恰好落在直线上时，求点的坐标．②探究：如图2，当运动到，边时，作关于直线的对称图形为，是否存在这样的点，使点正好在直线上？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．类型四、一次函数与正方形的综合方法总结1.坐标表示：设正方形顶点坐标，利用四边相等、邻边垂直（斜率积为-1）及对角线垂直相等建立方程。2.中点与距离：对角线互相垂直平分且相等，用中点公式和距离公式列方程组求解。解题技巧1.设旋转角：若边不与轴平行，可设一边所在直线斜率为\(k\)，利用垂直求另一边斜率。2.分类讨论：根据正方形顶点顺序或位置分情况求解。例4．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为．(1)求正方形的面积；(2)直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________．【变式4-1】（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为．

(1)求直线的函数解析式；(2)当时，正方形的面积为_______；(3)求与之间的函数关系式；【变式4-2】（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限，的顶点，．(1)如图1，求点B，C的坐标；(2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为，，，．设，正方形与重合部分的面积为S．①如图2，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示S；②若平移后重合部分的面积为，则t的值是．（请直接写出结果即可）．一、单选题1．（2026九年级下·广东深圳·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（

）A．10 B． C．5 D．2．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴，轴，长方形的边上有一动点P，沿匀速运动一周，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和h与点P走过的路程s之间的函数图象如图2所示，已知点A的横坐标为1，则线段所在直线的函数表达式为（

）A． B． C． D．二、填空题3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，直线与轴、轴分别交于点、．将菱形沿轴向右平移个单位，当点落在上时，则________．4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______．三、解答题5．（19-20八年级下·重庆璧山·期中）如图1，已知平行四边形，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是平行四边形边上的一个动点．(1)求直线的解析式．(2)若点为上一点，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标．6．（山东省烟台市经开区2024—2025学年上学期七年级期末数学试卷（五四学制））如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B，D的坐标分别为，，，直线l的表达式为．(1)当直线l经过原点O时，求它的表达式；(2)通过计算说明：不论k为何值，直线l总经过点C；(3)在（1）的条件下，直线l上是否存在点M使的面积等于矩形的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，点分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，．(1)如图①，点为边上的一点，连接，当时，求的长度；(2)如图②，动点在轴右侧，且在直线上，点在线段上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．（25-26八年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，，，为线段上一点，且．

(1)求直线的函数解析式；(2)作点关于轴的对称点，点为直线上一动点，在射线上是否存在点，使以为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；(3)在正方形的边上有一点，若，请直接写出点的坐标．9．（25-26八年级上·四川达州·期末）已知如图，直线与两坐标轴分别交于点、，点关于轴的对称点是点，直线经过点，且与轴相交于点，点是直线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，再以为边向右边作正方形．(1)①求的值；②判断的形状，并说明理由；(2)连接、，当的周长最短时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．10．（25-26九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，对于直线和直线，在上取一点A，在上取一点B，若，以，为邻边作菱形，则菱形为【，】的m相关菱形，称为【，】的m相关菱角，的对边称为【，】的m相关菱边．特别地，当时，直线，即直线，代表x轴．例如：如图，，，，则菱形为的5相关菱形，为的5相关菱角，的对边为的5相关菱边．(1)若菱形是的2相关菱形，则的2相关菱角的度数是______；(2)若菱形是【0，】的4相关菱形，当点在【0，】的4相关菱边上时，求的值；(3)当【，】的m相关菱边与【，】（其中）的m相关菱边都经过点时，直接写出m的取值范围．综合训练一、选择题1.下列各图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是()2.下列函数:①y=x6;②y=-4x;③y=3-12x;④y=3x2-2;⑤y=x2-(x-3)(x+2);⑥y=6x.A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时(最低工资)的收入是()A.3100元 B.3000元C.2900元 D.2800元4.下列关于一次函数y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是()A.该函数图象经过第二、第一、第四象限 B.y随x的增大而减小C.该函数图象与y轴交于点(0,b) D.当x>-bk时,y>5.一次函数y=kx+b(k≠0,b为常数)的部分对应值如下表:x…012…y…12a2a+3…则该一次函数的解析式为()A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=3x+1 D.y=4x+16.如图,已知点A的坐标为(2,2),点B的坐标为(0,-1),点C在直线y=-x上运动,当CA+CB最小时,点C的坐标为()A.25,-25 BC.-25,25 7.已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于B,C两点,则△ABC的面积等于(A.2 B.3 C.4 D.68.已知小强家、体育场、文具店在同一直线上,右面的图象反映的过程是:小强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示小强离家的距离,则下列结论不正确的是()A.小强从家到体育场用了15min B.体育场离文具店1.5kmC.小强在文具店停留了20min D.小强从文具店回家用了35min二、填空题9.已知一次函数的图象过点(3,5)与(-4,-9),则该函数的图象与y轴交点的坐标为.

10.设正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=.

11.请写出符合以下两个条件的一个函数解析式.

①过点(-2,1),②在第二象限内,y随x的增大而增大.12.已知直线l1,l2的解析式分别为y1=ax+b,y2=mx+n(0<m<a),根据图中的图象填空:(1)方程组y=ax+(2)当-1≤x≤2时,y2的范围是;

(3)当-3≤y1≤3时,自变量x的取值范围是.

三、解答题13.我们知道,海拔高度每上升1km,温度下降约6℃.某时刻,益阳地面温度为20℃,设高出地面xkm处的温度为y℃.(1)写出y与x之间的函数解析式.(2)已知益阳碧云峰高出地面约500m,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度?(3)此刻,有一架飞机飞过益阳上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度约为多少千米?14.已知一次函数y=kx-4,当x=2时,y=-3.(1)求一次函数的解析式;(2)将该函数的图象向上平移6个单位长度,求平移后的图象与x轴交点的坐标.15.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发x(单位:h)时,汽车与甲地的距离为y(单位:km),y与x的函数关系如图.根据图象信息,解答下列问题:(1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说明理由.(2)求返程中y与x之间的函数解析式.(3)求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离.16.如图,过点A(2,0)的两条直线l1,l2分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=13.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为4,求直线l2的解析式.17.某镇组织20辆汽车装运完A,B,C三种脐橙共100吨到外地销售.按计划,20辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表提供的信息,解答以下问题.脐橙品种ABC每辆汽车运载量/吨654每吨脐橙获利/百元121610(1)设装运A种脐橙的车为x辆,装运B种脐橙的车为y辆,求y与x之间的函数解析式.(2)如果装运每种脐橙的车都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案.(3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.综合训练一、选择题1.A确定函数的标准为“如果给出了一个x值,相应地就确定了一个y值”,选项B,C,D的图形中,对于x的一个值,y都有多个值与之对应,不符合函数的定义.2.C3.B4.D5.C根据题意得b=1,k+b=2a,6.A连接AB交直线y=-x于点C,此时CA+CB最小.设点A,B所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0).将A(2,2),B(0,-1)代入y=kx+b,得2k+∴点A,B所在直线的解析式为y=32x-1联立两直线解析式,得y=-∴当CA+CB最小时,点C的坐标为257.C8.B解析对于A,小强从家到体育场用了15min,故A选项正确;对于B,体育场离文具店2.5-1.5=1(km),故B选项错误;对于C,小强在文具店停留了65-45=20(min),故C选项正确;对于D,小强从文具店回家用了100-65=35(min),故D选项正确.故选B.二、填空题9.(0,-1)10.-211.答案不唯一,如y=x+312.(1)x=2,y=3(2)0≤y2≤3(3)0三、解答题13.解(1)y=20-6x(x>0).(2)500m=0.5km,y=20-6×0.5=17(℃).故这时山顶的温度大约为17℃.(3)-34=20-6x,x=9.故飞机离地面高度约为9km.14.解(1)将x=2,y=-3代入y=kx-4,得-3=2k-4,解得k=12.故一次函数的解析式为y=12x-(2)将y=12x-4的图象向上平移6个单位长度得y=12x+2,当y=0时,x=-4,故平移后的图象与x轴交点的坐标为(-15.解(1)不同.理由如下:因为往、返距离相等,去