三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法:

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定

积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分jf(x,y,z)dz,再做二重积分JJF(x,y)da，就是“投

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找。及在xoy面投影域D。多D

上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定

积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完

二■»

成“后二”这一步。jjj/(x,y,z)dv=JJfjf(x,yyz)dz]da

GD七

如果先做二重积分，/(x,y,z)db再做定积分1?⑶公，就是“截面

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定。位于平面z=q与z=q之间，

即zwHg],过z作平行于xoy面的平面截C,截面2。区域2的边

界曲面都是Z的函数。计算区域。[上的二重积分jJ/(x,y,zMcr,完成

D.

了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分jF(z)dz,完成“后

勺

一”这一步。JJj/(x,yfz)dv=|[Jj/(x,y,z\i(y]dz

当被积函数f(z)仅为z的函数(与X,y无关)，且2的面积Bz)

容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域C投影到xoy面，得投影区域D(平

面)

(1)D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算(当。的边界曲

面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）

（2）D是圆域（或其部分），且被积函数形如/（/+），2"（马时，

X

可选择柱面坐标系计算（当。为圆柱体或圆锥体时，常用

柱面坐标计算）

（3）。是球体或球顶锥体，且被积函数形如/（/+），2+z2）时，

可选择球面坐标系计算

以上是一般常见的三重积分的计算方法。对。向其它坐标

面投影或。不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结：

1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域。及被积函数f（x,y,z）

的情况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握：

截面法（先二后一）：2是。在z处的截面，其边界曲线方

程易写错，故较难一些。

特殊地，对。积分时，f（x,y,z）与x,y无关，可直接计算5生。因而

Q中只要zw[a*],且f（x,y,z）仅含z时，选取“截面法”更

佳。

2.对坐标系的选取，当。为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它

曲面所围成的形体：被积函数为仅含z或+/）时，可考虑

用柱面坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分/=其中。为平面工+y+z=l与三个坐标面

n

x=0,y=0,z=0围成的闭区域。

解1“投影法”1.画出C及在xoy面投影域D.2.“穿线”OKzKl-x-y

0<x<\

X型D

0<y<I-x

0<x<l

Q：0<y<\-x

0<z<\-x-y

3.计算

=JdvjI(1-x-y)21J[G-^)2y-(I-X)y2伙

oo220J

Ir、3/1323141i1

=-(Z11-x)dv=-[rx--.v+X---xJo=—

6f624°24

解2“截面法”1.画出Q02.zG[0,1]过点z作垂直于z轴的平面截。得O-

。是两直角边为x,y的直角三角形，x=l-z,)，=l-z

3.计算

I1I

I=jjjzdxdydz=J[jjzclxdy]dz=jz[Jjcbcdy]dz=jzSDdz

D.0

二!z(gxy)dz=!z；(l-z)(l-z)dz=^j(z-2z2+z3)dz=-^

补例2：计算川正+出人,其中。是—+），2=z2和围成的闭区域。

解1“投影法”

z=x2+2y2

1.画出C及在xoy面投影域D.由z=1消去z,

得X2+y2=\即D：x2+y2<1

2.“穿线”J/+y24z«l,

-1<X<1

X型D：

-V1-x2<y<V1-x2

-1<X<1

・•・。：4—Jl-X"wy<yl\—X2

yjx2+y2<z<1

3.计算_

__________1J1_XI___________1丫仁

^ylx2+y2dv=\dxJdyfy/x2+y2dz=\(lxJx2+y2(\-yjx2+y2)ciy=

QT-Vl-r

注：可用柱坐标计算。

解2“截面法”

1.画出C。2.ze[OA]过点z作垂直于z轴的平面截。得。;：

0WeW2产

0<r<z

0<z<1

3.计算

___________1__________1InZ1«7I

Jjjyjx2+y2dv=j[jjy]x2+y2dxdy\dz=j[|dO^r~dr\dz-J2加一/]；)dz=—可z'dz=生

aoD.ooo。33。6

补例3：化三重积分/=/(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中C：

n

z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域。

解：1.画出。及在xoy而卜的投影域D.

即D：x2+y2<1

2.“穿线”x2+2y2<z<2-x2

-l<x<i

X型D：

-\l\-x2<y<71-x2

-1<X<1

C：♦一A/1-x2<y<V1-x2

x2+2y2<z<2-x2

2

I2-x

3.计算/=UJf(x,V,z)dxdydz=jdr\dy|/(x,y,z)dz

注：当/(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。

补例4：计算川孙，其中。为z=6-——y2及Z=677"所围成的闭区域。

解1“投影法”

1.画出C及在xoy面投影域D,用柱坐标计算

6-r22/r26-r22«

3.计算jjjzclv=jjljzdz]rdrd0=Jd0^rdrjzdz=2/rJr[—z?]厂dr

Dr00r0

=乃Jr[(6-/*2)2-r~]dr=笈J(36r-13r2+r5)dr=—不。

oo3

解2“截面法”

1.画出C。如图:。由z=6"及z=r围成。

2.zG[0,61=[0,2]u[2,61。=。1+。2

外由z=r与厂2围成；ZE[0,2],D:：r<z

0<0<2TT

Q1：<0<r<z

0<z<2

。2由z=2与z=6围成；ze[2,6],D.：r<V6-z

0<3<27T

•0</*<76-z

2<z<6

3.计算jjjzdv=jJJztZv+JJjzJv=jz[JJM/d()]dz+jz[||rclrd0\dz

Q储n2o/2%

2626____26g?

2232

JzSDdzIJzSD//z=JZ[^,(Z)]<7ZIJzf/r(>/6_z)]Jz=/rjzdzI/r|(6zz)dz=不

0202023

注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。

补例5：计算JJJ（丁+y2）dv,其中。由不等式04aWy]x2+y2+z2<A,z〈。所

确定。

x=夕cos〃sin。

解：用球坐标计算。由4y=QsinOsin。得。的边界曲面的球坐标方程："VqV4