线性代数 课件全套 第1-5章 行列式-二次型

N阶行列式|二三阶行列式《线性代数》二阶行列式二三阶行列式三阶行列式高斯加减消元法：思考：

启发：

当时，方程组有唯一解：如何求解给定下列二元一次线性方程组②①①②分别得①②③二阶行列式二三阶行列式三阶行列式上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下二阶行列式记号：定义1对角线法则：

其中表示行列式的元素，表示元素的行标，表示元素的列标.例1表示第1行第2列元素表示第2行第1列元素“—”主对角线元素“---”副对角线元素二阶行列式二三阶行列式三阶行列式式③的分子分母可以用二阶行列式表示为方程解方程组的唯一解式③可表示为当时，“克拉姆法则”二阶行列式二三阶行列式三阶行列式例2解二元一次线性方程组解

故解为克拉姆法则二阶行列式二三阶行列式三阶行列式启发：

类似的方法求解三元一次线性方程组定义2引入三阶行列式

“—”三元素乘积取“+”号；

“---”三元素乘积取“—”号“对角线法则”解

二阶行列式二三阶行列式三阶行列式例3计算三阶行列式主对角线元素乘积副对角线元素乘积解

二阶行列式二三阶行列式三阶行列式例4解三元一次线性方程组故方程解为：克拉姆法则感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞N阶行列式|逆序数行列式《线性代数》逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式思考：

若给定的行列式是4阶或者更高阶，如何定义与计算行列式的值？

高中学过数的排列，由1,2,3三个数可以组成哪些排列？回顾：

123，132，213，231，312，321.标准排列：定义1按照由小到大的自然顺序排列。如：123一个排列中，若两个数的位置与其大小顺序相反，则称这一对数构成一个逆序；排序中逆序的总数称为它的逆序数，记作：如：逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式定义2如：

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列，例1求下列排列的逆序数，并指出其奇偶性.(1)(2)解：

逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式观察：(1)每一项选自不同行不同列元素乘积；特点：

(2)取正号“+”的项，列标排列：123,231,312——偶排列;(3)取负号“-”的项，列标排列：132,213,321——奇排列;(4)项数是排列的个数3！=6，且含正负号的项数各一半.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式类似地，n阶行列式的定义如下：逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式例2利用行列式定义计算4阶行列式由定义可知，当时，故注：

利用行列式定义计算时，保证行标按照标准排列,再根据列标的逆序数确定项数的正负.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式上三角行列式主对角线以下其余元素均为零的行列式特点：

上三角行列式的值等于其主对角线上各个元素的乘积.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式上三角行列式副对角线以下其余元素均为零的行列式注：

上三角行列式的值的正负由逆序数决定.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式下三角行列式主对角线以上其余元素均为零的行列式特点：

下三角行列式的值等于其主对角线上各个元素的乘积.逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式下三角行列式副对角线以上其余元素均为零的行列式注：

下三角行列式的值的正负由逆序数决定.例3利用行列式定义计算行列式由行列式定义可知，当时，故逆序数逆序数与特殊行列式特殊行列式感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞行列式|行列式的性质《线性代数》转置行列式行列式的性质转置性质思考：

例1当行列式的阶数较大时，根据定义计算行列式，一般比较繁琐.依据行列式的特点,发现其计算规律，能否简化行列式的计算？将行列式的行列互换，得到的新行列式称为的转置行列式，记作：定义1性质1则行列式与它的转置行列式具有相同的值，即行列式中行与列具有同等的地位，即对“行”的性质适用于“列”.注：

例2则

已知转置行列式行列式的性质转置性质性质2交换性质行列式的性质例题拓展交换行列式的两行(列),

行列式的值变号，即“交换行列”交换行：交换列：推论1交换性质行列式的性质例题拓展若行列式中有两行(列)对应元素相同，该行列式的值为零.例3已知则

例4已知则

性质3数乘性质行列式的性质例题拓展“数乘”数乘行：数乘列：中任一行(列)元素有公共因子可将行列式提取到的外面.即新行列式推论2数乘性质行列式的性质例题拓展行列式某两行或列元素成比例，则行列式的值等于零.例5例6已知则

性质4倍加性质行列式的性质例题拓展行:列:中某一行(列)元素的倍加到另一行(列)对应元素行列式即上，则行列式的值不变，“倍加”例7倍加性质行列式的性质例题拓展已知求

解

感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞行列式|行列式性质的应用《线性代数》上三角行列式行列式性质的应用练习拓展回顾：

上三角行列式：

1、复杂的行列式可以利用行列式的性质化为上三角行列式吗？问题：

2、如何转化为上三角行列式？有什么技巧？例1计算

解

上三角行列式行列式性质的应用练习拓展例2计算

解

主对角线：其他元素：每一行的和相同上三角行列式行列式性质的应用练习拓展例3计算

解

箭头型行列式：将一条除顶点外竖直角边上的元素化为零.技巧方法：

箭头型行列式：上三角行列式行列式性质的应用练习拓展总结上三角行列式行列式性质的应用练习拓展复杂行列式化为上三角行列式的步骤：Step1：

观察行列式的特点；Step2：

先化运用行列式的性质，将所在列其余元素依次由上而下化为0；Step3：

再将运用行列式的性质，将所在列以下其余元素依次由上而下化为0；依次类推化主对角线以下化为0；Step4：

计算上三角行列式的值.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》主讲人：王飞行列式|拉普拉斯展开定理《线性代数》代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开思考：

定义1若给定的行列式大于3阶，如何计算行列式的值？

降阶法去掉行列式中元素所在的第行第列元素，所得到剩余元素保持不变的行列式，称为这个元素的余子式；记作：则的代数余子式，记作：代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开例1解

求出三阶行列式中，元素分别对应的余子式和代数余子式.总结：行标列标和为奇数行标列标和为偶数代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开探究分析三阶行列式与代数余子式的关系结论：三阶行列式的值等于第一行元素与对应代数余子式乘积的和代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理阶行列式按行按列的Laplace展开定理等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即按行展开按列展开解

例2利用Laplace展开计算三阶行列式“按行”“按列”代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开解

例3代数余子式拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开利用Laplace展开计算四阶行列式技巧与方法：运用Laplace展开计算行列式尽可能选择零多的行或列感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞拉普拉斯|行列式应用《线性代数》零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展回顾按行展开按列展开等于它的任意一行（列）阶行列式按照拉普拉斯展开可知，行列式的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即定理1阶行列式中某一行(列)各元素与另外一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即行的零值定理列的零值定理零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展证明：

构造辅助行列式第行第行按第行展开行列式中有两行元素相同同理，可证：解

零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展例1已知4阶行列式中，第2行元素分别为2,1,3,5,其对应的余子式分别为4,2,-2,6,求其行列式的值.根据行列式的拉普拉斯展开定理可知，由题知，零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展例2根据零值定理可知，由题知，已知4阶行列式中,第2行元素分别为第3行元素余子式分别为求化简后得故解出：或解

零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展例3已知行列式求解

根据行列式的拉普拉斯展开定理可知，按照第1行展开

零值定理拉普拉斯展开应用例题拓展按第1列展开按第1列展开注：此例是利用代数余子式反推拉普拉斯展开定理计算行列式.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》主讲人：王飞行列式计算|递推法《线性代数》例1计算

平行行列式拉普拉斯展开的应用递推法特点：

主对角线元素是8，与之平行的上边元素是4，下边元素是3.平行行列式解

按第一列进行拉普拉斯展开得，第一行平行行列式行列式性质的应用递推法设即满足等式方程：（1）则（2）结合(1)、(2)式，则解得：由于则（3）（4）平行行列式拉普拉斯展开的应用递推法上式(3)、(4)可简化为二元一次方程组：解得：技巧方法：

平行行列式所用的这种计算方法---递推法平行行列式拉普拉斯展开的应用递推法感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》主讲人：王飞克拉姆法则|线性方程组《线性代数》线性方程组克拉姆法则例题拓展思考：

初中学习过二元一次方程组，采用高斯加减消元法进行求解，

当变量的个数有多个时计算量较大，有更好的方法吗？解二元一次线性方程组回顾故解为定理1元线性方程组的系数行列式则方程组有唯一解线性方程组克拉姆法则例题拓展线性方程组克拉姆法则例题拓展表示将系数行列式中的第其中列的元素换成方程组常数项阶行列式，即其余元素保持不变所构成的注：

时,定理1称为克拉姆法则.当系数行列式线性方程组克拉姆法则例题拓展例1解

解三元一次线性方程组故方程解为：非齐次线性方程组解克拉姆法则推论1元线性方程组无解或解不唯一，则例2非齐次线性方程组有无穷解，求解：

由推论1可知，解得齐次线性方程组解克拉姆法则推论2元齐次线性方程组(i)系数行列式则方程组只有零解.则(ii)方程组有非零解,例3当取何值时，下列齐次线性方程组有非零解？解

齐次线性方程组解克拉姆法则由推论2可知，齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式等于零.故或时，齐次线性方程组有非零解.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞平行四边形|

面积《线性代数》回顾“叉乘”

两个夹角为非零向量所确定的一个向量满足：(1)方向：大小：(2)右手法则：指向记作：几何意义表示以向量为邻边的平行四边形面积向量积面积与行列式平行四边形案例及实验

行列式表示空间向量积的行列式表示：向量积面积与行列式平行四边形案例及实验

面积表示二阶行列式的几何意义：由四个点平行四边形的面积构成的向量积面积与行列式平行四边形案例及实验二阶行列式的绝对值表示以行列式两行构成的向量为邻边的平行四边形面积解

例1因此，所求平行四边形的面积为23求由点构成的平行四边形的面积.由题知，向量积面积与行列式平行四边形案例及实验数学实验解

MATLAB实验编程过程：MATLAB实验编程求上述四个点构成平行四边形的面积输入命令：>>A=[00];%输入四个点ABCD坐标b=[34];C=[19];D=[-25];

D1=[B-A;D-A]%创建二阶矩阵

d=

det(D1)%输入行列式D1

abs(d)%输入行列式的绝对值输出结果：D1=

34

-25

d=

23向量积面积与行列式平行四边形案例及实验主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞平行六面体|体积《线性代数》混合积混合积体积与行列式平行六面体案例及实验三个非零向量所确定的一个数满足：称为的混合积(1)向量积：平行六面体底面面积：数量积：(2)平行六面体高：

向量在上的投影

是与的夹角

行列式表示空间向量混合积的行列式表示：已知空间向量的坐标分别为：

几何意义以三个向量为邻边确定的平行六面体的体积混合积体积与行列式平行六面体案例及实验例1因此，所求平行六面体的体积为9解求一个顶点在相邻顶点在的平行六面体的体积.混合积体积与行列式平行六面体案例及实验数学实验解

MATLAB实验编程过程：MATLAB实验编程求上述四个点构成平行六面体的体积输入命令：>>A=[111];%输入四个点ABCD坐标b=[102];C=[132];D=[-211];

D1=[B-A;C-A;D-A]%创建三阶矩阵

d=

det(D1)%输入行列式D1

abs(d)%输入行列式的绝对值输出结果：

D1=

0-11

021

-300d=

9ans=

9混合积体积与行列式平行六面体案例及实验主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞插值多项式|多项式曲线《线性代数》定义插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验如：满足多项式关键：已知多个点的函数值，如何求多项式的系数？系数是否唯一？通过观察得到在点处的函数值当满足这些函数值的表达式为多项式时，称为插值多项式定理已知的个互异节点则存在唯一的次多项式满足克拉姆法则插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验的非齐次线性方程组.根据克拉姆法则，（1）式有唯一解的充要条件由可知，满足(1)不全为0时，式（1）是关于未知变量当常数项系数行列式系数求解“范德蒙德行列式”元素依次换成对应的常数项因为不同节点处故系数行列式根据克拉姆法则，式（1）的唯一解为其中为系数行列式中将第列插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验例1解

系数行列式为所求多项式为求一个2次多项式使其满足由题知，故多项式系数为插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验数学实验解

MATLAB实验编程过程：输入命令：>>D=[111;124;1-39];b=[0328]';D1=[b,D(:,2),D(:,3)];D2=[D(:,1),b,D(:,3)];D3=[D(:,1),D(:,2),b];D=

det(D);D1=det(D1);D2=det(D2);D3=det(D3);X=[D1/DD2/DD3/D]%输入系数矩阵D%输入常数矩阵B%计算系数行列式D%分别输入替换矩阵D1,D2,D3%计算替换行列式D1,D2,D3%依次求多项式的系数a0,a1,a2MATLAB实验编程求使其满足插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验结果绘图解

MATLAB实验结果绘图：输出结果：>>D=20D1=20.0000D2=-60D3=40X=1.0000-3.00002.0000MATLAB实验编程求使其满足所求多项式为故多项式系数为绘出图形：>>x=0:0.2:5;

ezplot('2*x^2-3*x+1')插值多项式多项式系数插值多项式案例及实验主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

矩阵|矩阵概念及表示《线性代数》矩阵概念矩阵概念及表示矩阵表示案例2020年抗疫过程中，京东公司的医疗物资调运，医疗物资有甲、乙、丙三个产地，送到A、B、C、D、E、F六个医院，2月份的调运情况如下表：医院产地AB

CDEF甲9102030149乙1681871216丙101125141123思考：

上述医疗物资的调运方案可以用数表如何表示？物资数表定义1甲乙丙由个数构成行列的数表称为阶矩阵，记作：矩阵行第列的元素中第矩阵概念矩阵概念及表示矩阵表示矩阵表示同型矩阵通常情况下，用英文大写字母表示矩阵：为了方便记忆书写，有时简记：如：

表示2行3列的矩阵A.均为阶矩阵,即矩阵有相同的行与列.如：

是同型矩阵.与矩阵概念矩阵概念及表示矩阵表示相等矩阵均为阶矩阵,且满足记作：例1且已知矩阵求的值.根据矩阵相等易知，解：

故矩阵概念矩阵概念及表示矩阵表示感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵|特殊矩阵《线性代数》特殊矩阵行列矩阵零矩阵所有元素均为0的矩阵，记作：如：

行矩阵如：

1行列的矩阵，记作：列矩阵如：

行1

列的矩阵，记作：方阵矩阵的行数和列数相等，记作：如：

对角矩阵方阵中除主对角线元素外其余元素为零，记作：如：

主对角线元素：方阵中所有元素.如：的主对角线元素为1,3,4.特殊矩阵对角矩阵数量矩阵主对角线上元素都相等的对角方阵，记作：如：

是3阶数量矩阵.单位矩阵主对角线上元素是1的对角方阵，记作：如：

注单位矩阵在矩阵运算中起到数字“1”的作用.特殊矩阵单位矩阵上三角矩阵主对角线以下元素都是0的方阵，记作：如：

下三角矩阵主对角线以上元素都是0的方阵，记作：如：

是3阶上三角矩阵.是3阶下三角矩阵.特殊矩阵三角矩阵对称矩阵反对称矩阵阶方阵中，满足元素如：

是3阶对称矩阵.阶方阵中，满足元素如：

是3阶反对称矩阵.特点：关于主对角线对称的元素相等.特点：主对角线元素为零，关于主对角线对称的元素互为相反数.特殊矩阵对称矩阵感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵运算|线性运算《线性代数》加减法为矩阵称与的和(差)，记作：即满足加减法线性运算数乘例题拓展例1已知求思考：已知则解：加减法线性运算数乘例题拓展数乘数乘以矩阵中每个元素得到的矩阵称为与的积.记作：即如：

则运算规律交换律：结合律：加减法线性运算数乘例题拓展例2已知求解：加减法线性运算数乘例题拓展思考：已知求满足解：加减法线性运算数乘例题拓展由题知，因此，感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵运算|乘积及性质《线性代数》案例自动化工厂由车间I、车间II、车间III生产甲、乙两种商品.三个车间一天内生产甲、乙产品的数量矩阵及甲、乙产品的单价和单位利润矩阵分别为车间I车间II车间III甲乙单价利润甲乙将该厂三个车间一天内各自的总产值和总利润用矩阵表示出来.思考：启发：总产值

=

生产数量×产品单价总利润

=

生产数量×产品单位利润案例引入矩阵乘积乘积法则例题拓展车间I车间II车间III

甲乙

单价利润甲乙三个车间一天内各自的总产值和总利润矩阵为车间I车间II车间III总产值总利润案例引入矩阵乘积乘积法则例题拓展车间I记作：乘积称为矩阵与的乘积.A的列数等于B的行数.矩阵乘积特点

第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数才能进行相乘.满足案例引入矩阵乘积乘积法则例题拓展例1已知求解：案例引入矩阵乘积乘积法则例题拓展例2已知求解：注：或不满足交换律案例引入矩阵乘积乘积法则例题拓展例3解：注：不满足消去律已知求案例引入矩阵乘积乘积法则例题拓展运算规律分配律：结合律：其他规律：例4将方程组用矩阵形式表示系数矩阵变量矩阵常数矩阵即案例引入矩阵乘积乘积法则例题拓展感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵运算|方阵的幂《线性代数》定义规定：在中学数学中，同学们学过幂函数.如：当时，若将看作矩阵，那该如何定义“幂矩阵”？思考：当时，例1已知求为设阶方阵，为正整数，则称为的次幂.个的连乘积，记作：即概念法则方阵的幂方幂类型运算规律（1）（2）矩阵结合律注：（1）一般情况下，矩阵不满足交换律（2）当与可交换时，即幂等矩阵幂零矩阵阶方阵满足阶方阵满足如：如：概念法则方阵的幂方幂类型对角阵方幂例2解：为设阶对角矩阵，即已知3阶对角矩阵求对角阵方幂特点

对角阵的方幂等于其对角线元素的方幂.概念法则方阵的幂方幂类型乘积方幂矩阵结合律例3已知求解：其中概念法则方阵的幂方幂类型幂等方幂例4已知求解：当时，是幂等矩阵.概念法则方阵的幂方幂类型下三角数学归纳法例5已知求解：概念法则方阵的幂方幂类型感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵运算|上下三角方幂《线性代数》矩阵多项式例1解：设是的多项式.当是阶方阵，是单位矩阵，称的矩阵多项式.已知求矩阵多项式上下三角方幂方阵行列式二项式展开矩阵形式满足条件：设为阶方阵,且则回顾：高中阶段学习的二项式展开定理是什么？幂零矩阵矩阵多项式上下三角方幂方阵行列式例2已知求解

设其中矩阵多项式上下三角方幂方阵行列式性质（1）（2）（3）（4）例3解：已知3阶方阵求且矩阵多项式上下三角方幂方阵行列式感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞逆矩阵|逆矩阵的定义《线性代数》回顾问题：

实数运算中，若，一定存在实数满足则称是的倒数或负一次方，记作：若将实数换作矩阵，该如何定义矩阵的“倒数”？定义阶方阵，满足则称矩阵是的逆矩阵.记作：同理，是的逆矩阵，记作：注：基本概念逆矩阵定义练习拓展判定方法(2),不满足是不可逆或奇异或退化矩阵.则称(1),满足是可逆或非奇异或非退化矩阵.则称例1可逆，且它的逆矩阵为基本概念逆矩阵定义练习拓展判定方法例2设矩阵验证为可逆矩阵，且解：

故可逆，且发现满足例3设问是否可逆？若可逆，并求出其逆矩阵.解：

故可逆，且思考：

给定一个抽象的矩阵方程，该如何判断求解一个矩阵的逆矩阵？根据逆矩阵的定义，必须表示为两个矩阵乘积等于单位矩阵基本概念逆矩阵定义练习拓展判定方法判定方法(1)，观察矩阵方程的次幂与所求矩阵的次幂；(2)，采用矩阵多项式因式分解的方法与技巧进行拆分与组合转换.例4解：

故可逆，且基本概念逆矩阵定义练习拓展判定方法已知证明：阶方阵满足可逆，并求由可知，两边同时减去方法一：因式分解的转化故可逆，且基本概念逆矩阵定义练习拓展判定方法方法二：因式分解的拆分注：矩阵多项式进行拆分时，根据其各次幂的系数、常数项系数与所求矩阵系数的关系确定因式分解后各个因子的乘积.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞逆矩阵|伴随矩阵法《线性代数》为的伴随矩阵，记作：定义若给定一个含有数值元素的方阵，如何求解它的逆矩阵？思考：设阶方阵是行列式中元素对应的代数余子式,则称代数余子式的转置基本概念伴随矩阵练习拓展可逆判定例1设矩阵求的伴随矩阵并验证解：

基本概念伴随矩阵练习拓展可逆判定同理：定理1重要的结论---逆矩阵的求解证明：

根据矩阵乘法与拉普拉斯展开定理可知，基本概念伴随矩阵练习拓展可逆判定定理2矩阵可逆的充要条件是且结论例2设矩阵求的逆矩阵解：

因为故可逆.时，当的逆矩阵为基本概念伴随矩阵练习拓展可逆判定例3设矩阵求解：

因为故可逆.求逆矩阵方法总结1.求A的行列式；2.求A的伴随矩阵；3.代入逆矩阵公式.基本概念伴随矩阵练习拓展可逆判定感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞逆矩阵|逆矩阵的性质《线性代数》性质可逆矩阵具有下列性质基本性质逆矩阵的性质练习拓展性质应用(1)(2)(3)(4)(5)(6)(9)(10)(7)(8)例1且求：已知3阶可逆矩阵解：

基本性质逆矩阵的性质练习拓展性质应用(1),(2),(3),(1),(2),(3),例2解：

基本性质逆矩阵的性质练习拓展性质应用设3阶方阵求满足根据可知，由得根据可知，方法二：方法一：例3设矩阵求解：

根据及逆矩阵的性质可知，首先，故可逆.基本性质逆矩阵的性质练习拓展性质应用感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞逆矩阵应用|矩阵方程《线性代数》左乘矩阵

矩阵方程当可逆时，逆矩阵的应用左乘矩阵方程启发：

根据Crammer法则和矩阵的乘积表示，当线性方程组中的系数行列式时，方程组有唯一解，可以借助逆矩阵求解矩阵方程.例1其中求解矩阵方程解：

由可知,可逆.且故例2其中解：

又设矩阵满足矩阵方程求由可知，则可逆,且逆矩阵的应用左乘矩阵方程则逆矩阵的应用左乘矩阵方程解

右乘矩阵

矩阵方程当可逆时，例3其中求解矩阵方程由可知,可逆.且故逆矩阵的应用右乘矩阵方程感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞分块矩阵|概念与运算《线性代数》案例引入分块矩阵概念运算例题拓展引例生活中灯光主要靠电路板进行控制，利用板基绝缘材料隔离开表面铜箔导电层，使得电流沿着预先设计好的路线在各种元器件中流动完成诸如做功、放大、衰减、调制、解调、编码等功能，常常需要分解为不同板块的功能控制不同的区域.定义1将矩阵用若干条横线与若干条纵线分成若干小块，每个小块称为矩阵的子块；以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.如：

(1)：则案例引入分块矩阵概念运算例题拓展(2)：(3)：列分块行分块案例引入分块矩阵概念运算例题拓展数乘加减的分块法一致，阶矩阵为同型矩阵.即每个子块则：案例引入分块矩阵概念运算例题拓展乘积案例引入分块矩阵概念运算例题拓展且矩阵的列的分法与的行的分法相同，则其中，解

则例1已知计算将与分块：则案例引入分块矩阵概念运算例题拓展

又因案例引入分块矩阵概念运算例题拓展转置已知则定理1设与可逆，则证明：

令则故案例引入分块矩阵概念运算例题拓展解

例2已知求令则又因案例引入分块矩阵概念运算例题拓展案例引入分块矩阵概念运算例题拓展(1)(2)(3)(4)主对角线的分块三角矩阵的逆等于主对角线各自求逆，B所在行的逆、B及其列的逆乘积的相反数.副主对角线的分块三角矩阵的逆等于副对角线求逆交换，副对角线为：先求B所在行的逆、B及其列的逆乘积的相反数，再交换.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞分块矩阵|分块对角矩阵《线性代数》回顾：

对角矩阵基本概念分块对角矩阵运算性质定义如何定义分块对角矩阵？思考：

主对角线子块均为方阵,其余子块全是零矩阵.则称为分块对角矩阵或拟对角矩阵或准对角矩阵.记作：例1将下列方阵分为分块对角矩阵.其中：其中：注意：

分块对角矩阵的每个子块方阵的阶数不一定相等.基本概念分块对角矩阵运算性质性质1为同型的阶分块对角矩阵，为同型矩阵.子块则基本概念分块对角矩阵运算性质性质2为阶分块对角矩阵，子块为则例2已知求解

将矩阵分块为其中：基本概念分块对角矩阵运算性质解

性质3例3将矩阵分块为为阶分块对角矩阵，子块为均为可逆矩阵，则已知求基本概念分块对角矩阵运算性质解

性质4为阶分块对角矩阵，子块为则已知求思考：

故则令基本概念分块对角矩阵运算性质感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵初等变换|初等变换《线性代数》定义1对矩阵的行作以下三种变换之一，称为矩阵的初等行变换初等变换矩阵初等变换等价矩阵(1)交换矩阵的第行与第行，记作：如：

交换第1行与第2行，交换第2行与第3行(2)一个非零数乘以矩阵的第行，记作：如：

的第3行乘以-2(3)将矩阵的第行乘以行，记作：倍加到第如：

初等变换矩阵初等变换等价矩阵定义2类似地，对矩阵的列作以下三种变换称为矩阵的初等列变换(1)交换矩阵的第列与第列，记作：(2)一个非零数乘以矩阵的第列，记作：(3)将矩阵的第列乘以列，记作：倍加到第矩阵的初等行与列变换统称为矩阵的初等变换.思考：

一个矩阵经过初等变换后化为一个新的矩阵，二者有什么关系？如：

初等变换矩阵初等变换等价矩阵定义3矩阵经过有限次初等变换化为新的矩阵则称矩阵与等价.记作：性质等价矩阵有下列性质：（1）反身性：（2）对称性：若则（3）传递性：若则如：

初等变换矩阵初等变换等价矩阵感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵初等变换|矩阵类型《线性代数》例1行阶梯型矩阵的三种类型行最简形标准形思考：

一个矩阵经过初等变换后化为怎样的矩阵？设矩阵试对施行初等行变换.解：

对施行初等行变换,有观察有什么特点？2.线的下方元素均为0;1.画一条阶梯线；3.每个台阶只有一行；4.台阶数是非零行行数.定义1若矩阵满足下列条件（1）零行(元素全为0)位于非零行下方；（2）各个非零行的主元(首个非零元素)的列标随着行标的增大而增大.如：

“是”“否”称为行阶梯形矩阵.行阶梯型矩阵的三种类型行最简形标准形定义2若矩阵满足下列条件（1）所有非零行的第一个非零元素均为1；（2）主元所在列其余元素均为零的行阶梯形矩阵.如：

称为行最简形矩阵.行最简形矩阵行阶梯型矩阵的三种类型行最简形标准形定义3若矩阵满足下列条件（1）主元(第一个非零元素)均为1；（2）主元所在行与列其余元素均为零的行最简形矩阵.如：

称为标准形矩阵.标准形矩阵行阶梯型矩阵的三种类型行最简形标准形定理(1)任意矩阵都可经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵.（2）任意矩阵都可经过若干次初等变换(行与列变换)化为标准形矩阵.思考：

(1)一个矩阵的行阶梯形、行最简形及标准形矩阵是否唯一确定？三者关系(1)行阶梯矩阵(2)行最简形矩阵(3)标准形矩阵启发：

行阶梯形矩阵不唯一行最简形矩阵唯一标准形唯一.(2)如何将一个矩阵化为上述三种矩阵？行变换行变换列变换行阶梯型矩阵的三种类型行最简形标准形解

例2设将化为行阶梯形，行最简形，标准形矩阵.对进行初等变换，有行阶梯形矩阵行最简形矩阵标准形矩阵行阶梯型矩阵的三种类型行最简形标准形感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞初等矩阵|初等矩阵《线性代数》定义矩阵的初等变换建立矩阵的等价关系，如何用等式来刻画？基本概念初等矩阵定理性质应用举例由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵.思考：

三种初等行(列)变换相对应三种初等矩阵.下面以行变换为例.(1)交换单位矩阵行与第行，记作：的第第行第行如：

的第(2)一个非零数乘以单位矩阵行，记作：第行如：

(3)将单位矩阵行乘以行，记作：倍加到第的第第行第行如：

基本概念初等矩阵定理性质应用举例问题：

矩阵的初等变换建立矩阵的等价关系，可以用初等矩阵来刻画，如何通过初等矩阵进行表示？定理1如：

设是阶矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以一个相对应的阶的初等矩阵.基本概念初等矩阵定理性质应用举例矩阵乘积定理2如：

设是阶矩阵，对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以一个相对应的阶的初等矩阵.基本概念初等矩阵定理性质应用举例注：定理1和2建立矩阵初等变换与矩阵乘法的关系，同时给出等价矩阵的等式刻画.性质基本概念初等矩阵定理性质应用举例初等矩阵具有下列性质：转置：

行列式：

解

例1基本概念初等矩阵定理性质应用举例设求说明：交换矩阵的第二行与第三行互换说明：矩阵的第一列乘以2加到第三列.解

例2基本概念初等矩阵定理性质应用举例设将化为行最简形的过程用矩阵乘法表示.解

例3基本概念初等矩阵定理性质应用举例设求根据矩阵的初等变换、初等矩阵及矩阵乘法的关系，可知.表示先对的第一行乘以-1加到第三行得到新矩阵，再交换第二行与第三行.表示先交换的第二行与第三行得到新矩阵，再将第三列乘以-1加到第一列.感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞初等变换应用|矩阵方程《线性代数》定理1例1设矩阵利用初等行变换求若则对阶方阵的行列式阶矩阵进行初等行变换，当左边的矩阵变成时，右边的矩阵就同步变为初等行变换解：

初等变换的应用逆矩阵矩阵方程例2设矩阵利用初等行变换求解

初等变换的应用逆矩阵矩阵方程求逆矩阵方法总结1.建立(A,E)矩阵；2.化A为单位矩阵E；3.化E为A的逆矩阵.初等变换的应用逆矩阵矩阵方程矩阵方程初等行变换(1)矩阵方程当可逆时，(2)矩阵方程当可逆时，初等列变换初等变换的应用逆矩阵矩阵方程例3其中求解矩阵方程解

因为则方法一：方法二：初等变换的应用逆矩阵矩阵方程感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵的秩|初等变换与秩《线性代数》定义思考：矩阵中任取行列，位于这些行与列交叉处的元素按照原来的位置保持不变形成的阶行列式，称为矩阵的阶子式.如：

1阶子式：2阶子式：启发：的阶子式有多少个？矩阵6个3个K阶子式矩阵的秩矩阵的秩初等变换定义如：

1阶子式不全为02阶子式：3阶子式：K阶子式矩阵的秩与初等变换矩阵的秩初等变换阶矩阵中存在全为零，则称的阶子式阶子式的秩.为矩阵不全为零，而任何为矩阵的最高阶非零子式，则称记作：说明K阶子式矩阵的秩与初等变换矩阵的秩初等变换规定：零矩阵的秩的非零子式的最高阶数就是矩阵的秩.矩阵阶矩阵中行满秩：

阶矩阵中列满秩：

阶方阵中满秩矩阵：降秩矩阵：阶方阵中例1解：

2阶子式：计算矩阵的秩.3阶子式是全为零的行列式，故观察矩阵特点：行阶梯形矩阵，非零行有2行,零行有1行.思考：行阶梯形矩阵的秩跟非零行的行数有什么关系？任意矩阵可化为行阶梯形矩阵，它们的秩之间存在什么关系？K阶子式矩阵的秩与初等变换矩阵的秩初等变换启发：回顾K阶子式矩阵的秩与初等变换矩阵的秩初等变换如：

如果一个矩阵经过若干次初等变换变成矩阵则称矩阵与矩阵等价.记作：思考：矩阵与等价，它们的秩相等吗？定理矩阵与等价，则初等变换不改变矩阵的秩K阶子式矩阵的秩与初等变换矩阵的秩初等变换启发：矩阵与等价化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数将矩阵化为行阶梯形矩阵因为行阶梯形矩阵的非零行有2行，故如：

例2K阶子式矩阵的秩与初等变换矩阵的秩初等变换解

根据的值讨论矩阵的秩.(1)当时，(2)当时，(4)当时，(3)当时，感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》主讲人：王飞矩阵的秩|秩的性质《线性代数》定理1行变换秩的性质列变换行列变换设是阶矩阵，若则对可逆矩阵有例1设是阶矩阵，求解：故矩阵可逆.因此定理2设是阶矩阵，若则对可逆矩阵有例2行变换秩的性质列变换行列变换解：已知且求显然，故可逆.根据初等变换与矩阵关系，则即因此，解得定理3设是阶矩阵，则对若阶可逆矩阵阶可逆矩阵有推论4若是阶矩阵，则存在阶可逆矩阵阶可逆矩阵使得行变换秩的性质列变换行列变换注：

将矩阵通过初等行变换化为行阶梯型矩阵后，得到矩阵的秩，通过推论4便可直接写出矩阵的标准形，不需要经过行最简形和初等列变换。例3解

已知求的标准形.行变换秩的性质列变换行列变换观察的秩为故的标准形为感谢您的观看！主讲人：王飞《线性代数》《线性代数》线性方程组|高斯消元法《线性代数》线性方程组增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元个方程个未知变量的线性方程组的一般形式：系数矩阵变量矩阵常数矩阵矩阵形式增广矩阵注：

线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元（1）当时，（2）当不全为零时，齐次线性方程组非齐次线性方程组增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元例1写出非齐次线性方程组的增广矩阵.解：

线性方程组的增广矩阵为：增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元在中学阶段，学过消元法解简单线性方程组，常用的三种变换是什么？（1）互换两个方程的位置；回顾：

（2）用一个不等于零的数乘以某个方程；（3）一个方程的k倍加到（减去）另外一个方程.不难发现，三种变换不会改变方程的同解性.线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的,对原线性方程组施行三种变换，对应于将增广矩阵施行三种初等行变换得到同解的新方程组的增广矩阵.启发：

增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元例2解线性方程组线性方程组①②③①②①③④⑤⑥增广矩阵增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元⑤④⑤⑥⑦⑦⑧⑨⑩⑩⑧⑩⑨增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元增广矩阵化为行最简形矩阵,可得上述解线性方程组的过程，可以通过其增广矩阵施行初等行变换实现的方法，(1)写出方程组的增广矩阵,对其施行初等行变换化为行阶梯形——消元过程；称为高斯消元法.观察可知，用消元法解方程组的步骤:(2)对行阶梯形矩阵施行初等行变换化成行最简形，从而直接写出原方程组的解——回代过程.例3利用高斯消元法解线性方程组解

故线性方程组的解为：增广矩阵高斯消元法例题拓展高斯消元主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞线性方程组|非齐次解判定《线性代数》几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定几何案例(1)(2)(3)两条直线位置关系OOO增广矩阵系数,增广的秩与解唯一解无穷解无解几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定相容性线性方程组有解,则称该线性方程组相容，否则称为不相容.思考:线性方程组相容时，有唯一解或无穷解，该如何求解和表达它的解？启示:线性方程组的解可以通过增广矩阵化为行阶梯形或行最简形.通过几何案例发现，线性方程组可以通过系数矩阵与增广矩阵的秩判定解的情况.定理1线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等.(2)则方程组有唯一解.(3)则方程组有无穷解.(1)则方程组无解.几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定证明:对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行最简形矩阵，即初等行变换（i）当时，故线性方程组无解;几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定（ii）当时，故线性方程组有解;矩阵同解的矩阵对应的方程组为（1）当时，易知线性方程组有唯一解，即几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定（2）当时，易知线性方程组有无穷解.将看作自由未知量，给定一组数可得线性方程组的通解为：例1解非齐次线性方程组几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定解

线性方程组对应的增广矩阵为可知故线性方程组无解.例2解非齐次线性方程组几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定解

可知故线性方程组有唯一解，即例3求非齐次线性方程组的通解.解

增广矩阵故几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定

矩阵转化为则即非齐次线性方程组有无穷多解.故非齐次线性方程组的通解令自由未知量几何案例非齐次解的判定例题拓展解的判定主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞线性方程组|齐次解判定《线性代数》解的判定齐次方程解的判定例题拓展定理2线性方程组一定有解：零解和非零解.(1)则方程组只有零解.(2)则方程组有非零解.回顾:非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵的秩相等.时,齐次线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩是相等的，当启示:即注:对齐次线性方程组更关心是否有非零解.例1利用高斯消元法求解齐次线性方程组解

故故线性方程组有无穷解.解的判定齐次方程解的判定例题拓展

矩阵转化为则故齐次线性方程组的通解令自由未知量解的判定齐次方程解的判定例题拓展齐次线性方程组的系数矩阵是方阵时，能否借助其行列式判定解？思考:定理3(1)齐次线性方程组有零解的充要条件是系数行列式(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式例2根据的取值讨论齐次线性方程组解的情况.解:则解的判定齐次方程解的判定例题拓展(1)当时，故齐次线性方程组只有零解；解的判定齐次方程解的判定例题拓展(2)当时，故齐次线性方程组有无穷解.注:当为方阵时，可借助的行列式是否为零判定方程组为零解或非零解.故齐次线性方程组的通解为令自由未知量主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量组相关性|线性表示《线性代数》定义1向量组向量组线性表示例题拓展线性表示如：

由个数组成的有序数组称为维向量.行向量.列向量.矩阵角度

例1已知求解：

引例向量组向量组线性表示例题拓展线性表示非齐次线性方程组：系数矩阵：向量组向量组向量组线性表示例题拓展线性表示观察：

线性方程组是否有解向量方程：是否存在一组数满足定义2对维向量组如果存在数使则称向量是向量组的一个线性组合；或称向量可由向量组线性表示.例2则即可由向量组线性表示.向量组向量组线性表示例题拓展线性表示已知向量组如何判断能否由线性表示？回顾思考：

非齐次线性方程组有解有解定理1向量可由向量组线性表示的充分必要条件是向量组的秩等于向量组的秩.即向量组向量组线性表示例题拓展线性表示例3已知判断能否由向量组线性表示？解：

对增广矩阵施行初等行变换，得由故可唯一线性表示为向量组向量组线性表示例题拓展线性表示例4已知判断能否由向量组线性表示？解：

对增广矩阵施行初等行变换，得由故可由线性表示，但不唯一.向量组向量组线性表示例题拓展线性表示同解方程组为即故总结：

向量能否由向量组线性表示的判定步骤Step1：

写出增广矩阵Step2：

将增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形；Step3：

根据是否相等判定线性表示；与Step4：

在线性表示情况下，化增广矩阵为行最简形，确定表示系数.主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量组相关性|线性相关《线性代数》引例案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性非齐次线性方程组：第二个方程减去第一个方程就得到第三个方程,即第三个方程是多余的.也就是说原方程与线性方程组是同解方程组.1、如何判断线性方程组中是否有多余的方程？思考：

2、若有多余的方程，如何找出多余的方程？观察：

案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性定义1设维向量组若存在不全为零的数使则称向量组线性相关.例1存在不全为零的数使得故向量组线性相关.案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性定义2设维向量组若存在全为零的数则称向量组线性无关.例2对任意的一组数则当且仅当使线性无关有已知向量组如何判断线性相关性？回顾思考：

齐次线性方程组一定有解有解定理1向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组即零解非零解有非零解，向量组线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组即有零解，定理2案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性解

例3已知判断线性相关性？对系数矩阵施行初等行变换，得由案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性故线性无关.例4设向量组根据的取值，讨论线性相关性.解

分析：通过行列式的值是否为零可以判定其线性相关性.向量组表示为是3阶方阵，根据定理1和2，(1)当或时，即线性相关.(2)当且时，即线性无关.案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性总结：

判定向量组线性相关性的步骤：Step1：

写出系数矩阵Step2：

将系数矩阵进行初等行变换化为行阶梯形；Step3：

通过判定向量组的线性相关性.注：

当向量组为方阵时，可借助其行列式判定其线性相关性.案例导读向量组线性相关性例题拓展相关性主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量组的秩|极大无关组《线性代数》向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组思考：

当增广矩阵的行向量线性相关时，出现多余的方程，一个线性方程组中会有多少个多余方程？多余方程的个数由什么来确定？定义1设维向量组由组成，有个向量满足条件：(1)向量组线性无关；(2)任意向量线性表示；可由则称是向量组的一个极大线性无关组.注：

由条件(2)可知,线性相关.向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组例1求的极大无关组.解：

因对应的分量不成比例，故线性无关.又因故可由线性表示，所以是的一个极大无关组.同理：与也是的极大无关组.说明：

一个向量组的极大无关组不唯一,但任意两个极大无关组所含向量的个数相同.定义2个数称为向量组的秩，记作：向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组设维向量组所含极大无关组向量的求的秩.例2解：

因此，例3解：

令施行初等行变换，得故向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组已知求该向量组的秩和一个极大无关组.一个极大无关组为或总结：

求解向量组的秩、极大线性无关组及其表示的步骤：Step1：

写出向量组Step2：

将向量组进行初等行变换化为行最简形矩阵；Step3：

通过观察行最简形矩阵得到向量组的秩向量组秩向量组的秩例题拓展极大无关组Step4：

找到秩为的一个极大无关组及其余向量的表示.取是一个极大无关组，则其余向量：主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量空间|基本概念《线性代数》定义1设是维向量非空集合，如满足下列运算：基本概念向量空间生成空间则向量加法和数乘是封闭运算，并称集合构成一个向量空间.如：

直线空间(1)(1)任意则(2)任意则维向量的全体组成的集合是一个向量空间.二维平面空间(2)三维立体空间(3)运算规律(1)加法交换律:设是维向量空间，则满足：(2)加法结合律:(3)零元律:(4)负元律:(5)单位元律:(6)结合律:(7)数分配律:(8)元素分配律:基本概念向量空间生成空间子空间设是一个线性空间，是的一个非空子集，满足对向量加法和数乘是封闭运算，则称是的一个子空间.例1几何空间中，过原点的平面上所有向量构成几何空间的一个子空间.定理1线性空间的一个非空子集是线性空间的充分必要条件为对向量的线性运算是封闭的.基本概念向量空间生成空间验证：是向量空间.例2已知验证：不是向量空间.解设解而对数乘不封闭，故不是向量空间.例3已知设则对数乘和加法封闭，故是向量空间.基本概念向量空间生成空间定义2设基本概念向量空间生成空间令则构成的子空间，称为向量组的生成空间，记作：例4已知是验证：的生成子空间.根据生成空间的定义，此题留作同学们课后练习.例5齐次线性方程组的解向量的全体：构成的生成子空间.解首先，即设则即即对数乘与加法是封闭的，构成的生成子空间.注：

向量组生成空间是齐次线性方程组的解空间.基本概念向量空间生成空间主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量空间|基、维数与坐标《线性代数》定义1设是向量空间，且满足基与维数基、维数与坐标坐标(1)线性无关;(2)线性表示.中任一向量均可由则称为向量空间的一个基,称为向量空间的维数，记作：并称是维向量空间.如：

不难判断，线性无关，且因此，向量空间的一个基是向量空间中有向量组维数例1中维基本单位向量组求的一组基和维数.解：

易知线性无关，且故的一组基是维数基与维数基、维数与坐标坐标说明(1)只含零向量的向量空间没有基,规定维数为零.

(2)向量空间的基不唯一,但基所含向量个数唯一确定.(3)向量空间中任意一个极大无关组都是的基.(4)对维向量空间任意个线性无关的向量均可作为的一个基，故的维数是称维向量空间为(5)将看作向量组，则它的秩就是向量空间的维数.启发：

求向量空间的一个基和维数，本质就是向量组的极大无关组及其秩基与维数基、维数与坐标坐标例2解：

已知生成的子空间,求它的一个基和维数.由下列向量组行变换故的一组基是维数线性无关.基与维数基、维数与坐标坐标定义2若是向量空间的基，对任意的存在唯一的数使则称数为向量在基下的坐标.记为：如：

则在基下的坐标为线性无关(基),向量空间中的向量组思考：

给定向量空间中的一个基，如何求解另一向量在这个基下的坐标？启发：

定义出发易知，所求坐标就是非齐次线性方程组的唯一解.矩阵初等变换行最简形矩阵秩及唯一解基与维数基、维数与坐标坐标例3解：

已知中的两组基：行变换及求向量分别在两个基下的坐标.由题易知：故在基下的坐标为易得：故在基下的坐标为基与维数基、维数与坐标坐标主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞向量空间|基与坐标变换《线性代数》定义1已知中的两个基：及且即基变换公式称为基到基的可逆过渡矩阵.思考：

同一个向量在不同基下有不同坐标，那么向量在不同基下的坐标有什么关系？基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换例1已知中的两个基：及满足则基到基的可逆过渡矩阵为基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换根据矩阵的乘法可知，定理1已知向量空间中的两个基：及且向量在基及下的坐标分别为则或坐标变换公式基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换例1(1)求由基到的过渡矩阵.(2)写出坐标变换公式.是向量空间中的两个基，已知向量组及解：

设到的过渡矩阵为根据基变换公式，有则行变换基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换故过渡矩阵为(2)设向量在基及下的坐标分别为则坐标变换公式为：基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换Step1：

写出向量组Step2：

对进行初等行变换化为Step3：

写出过渡矩阵Step4：

写出坐标变换公式基变换基变换与坐标变换例题拓展坐标变换总结：

基到基的过渡矩阵的求解步骤：主讲人：王飞《线性代数》感谢您的观看！

主讲人：王飞线性方程组|齐次解的结构《线性代数》齐次方程解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系矩阵形式：思考：

当齐次线性方程组有非零解（无穷解）时，（1）解与解之间有什么关系？（2）解的结构是怎样？性质1解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系若是方程组的解，则是方程组的解;(1)是方程组的解.(2)证：

是方程组的解.故是的解.推论1性质2解的性质齐次方程组解的结构通解结构基础解系也是方程组的解.若均是方程组的解，则它们的线性组合例1已知是齐次