专题4.5 相似三角形的性质-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

内容概览内容概览教学重难点1.重点(1)掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单(2)理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其【即学即练1-3】已知△ABC∽△DEF,AM、DN分别为BC边，EF边上的高，且AM=3已知DEF的面积为27,那么VABC的面积为.3DEF的面积为27,题型精讲题型精讲【答案】70CC【变式1】如图，Rt△ABC∽RtADE,且∠B=60°,CD=2,DE=1,【变式2】如图，在RtVABC中，∠C=90°,AC=3则则则,即故答案为：2:3.故答案为：3:4.故答案为：2:3.【典例4】已知△ABC∽△DEF,若VABC与DEF的周长比为2:3,则BC:EF=.【答案】【答案】2:3【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，比的平方.【答案】9【答案】9求解.【详解】解：图两个相似三角形的相似比是2:3,且较小的三角形的周长是6, 【变式3】已知△ABC∽△DEF,相似比为1:3,则VABC与DEF的周长比为 相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案.题型05利用相似三角形对应面积的比成比例【典例5】若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是__·【答案】1:9【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢固掌握其性质是解题的关键.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.【详解】解P2两个相似三角形的相似比是【变式1】如果两个相似三角形面积之比为1:9,那么它们对应高之比为【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，对应高之比等于相似比求解即可.【详解】解：2两个相似三角形面积之比为1:9,【变式2】两个相似三角形的周长比是4:9,则它们的面积之比是【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键.根据“相似三角形【详解】解：两个相似三角形的周长比是4:9,【变式3】已知两个等边三角形的面积比为3:2,那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方.似三角形面积的比等于相似比的平方.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.(2)由(1)可得△ABC∽△DEC,解得EC=9或EC=-9(不符题意，舍去),则EC的长为9.(1)△ABE与ECD相似吗?为什么?(2)设△ABE的边BE上的高为h₁,CDE的边CD上的高为h₂.若△ABE的面积9,△CDE的面积为4,求的值及BCE的面积.【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相键.(1)利用平行可得到∠A=∠CED,∠BEA=∠D,可证明△ABE∽△ECD;(2)利用面积可求得相似比，再利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比可求VBEC同底，可知其面积比等于,可求得BCE的面积.2BSBCE=6.【变式3】如图，点E在平行四边形ABCD的边CD的延长线上，连接BE交AD于点F.(2)若AF=2FD,求△ABF与四边形BCDF的面积比的值.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键.(1)利用平行四边形性质得AB//CD,证明△ABF∽△DEF,即可求证；(2)利用AF=2FD,△ABF∽△DEF即可求证.【详解】(1)证明：②四边形ABCD是平行四边形，即AF:DF=AB:DE;一、单选题A.1:4B.3:4C.1:82.如图，△ABC∽△A₁B₁C₁,AD,A₁D₁分别是VABC,△A₁B₁C₁的角平分线，若的值【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键.根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解.3.如图，VABC中，点D、E分别在AB、AC上，且下列结论正确的是()B.VADE与VABC的面积比为1:9C.VADE与VABC的周长比为1:2D.连接CD,则VADE与DEC的面积比为1:3A4.如图，在□ABCD中，AB=3,AD=5,AE平分∠BAD交BC于F,交DC延长线于E,则的值为【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和运用相关知识成为解题的关键.即AD=DE=5;再由线段的和差可得CE=2;然后根据AD//BC可得△AED∽△FEC,然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可.【详解】解：∵ABCD,AD=6cm,且PN=2PQ,则矩形PQMN的周长为()A.14.4cmB.7.2cmC.11则PN=2PQ=2x.6.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且CE:BE=1:3,连接AE,过点E作EF⊥AE,交CD于点F,连接AF并延长AF交BC的延长线于点G,若CG=3,则正方形的边AD长为()A.14B.13C.12【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质.根据正方形的性质可得AD=AB=BC,得到求出x,即可求解.【答案】9:49故答案为：9:49.9.如图，在VABC中，点D,E分别是AC,BC边上的点，且DE//AB,【答案】10【答案】10【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌平方.根据条件证明△ABC∽△DEC,得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求积，最后利用面积的和差即可求解.【详解】解：∵DE//AB,∴四边形ABED的面积为SABc-SDEc=18-8=10,故答案为：10.10.如图，已知VABC,△DCE,FEG【答案】【答案】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键.如图：由题意A、D、E共线，连接AD,AQ,由全等三角形和等腰三角形的性质可得AB=CD=EF,最后根据三角形等分线的性质即可解答.点G,H在BC上.若每个小正方形的边长为1,则VABC的周长为【答案】【答案】1或3或9如图(1),当PA'//AC时，∠A'PD=∠ADP,图(1)图(2)如图(2),当A'P//BC时，点A'在点P左侧时，∠A'PG=∠B,即如图(3),当PA'//BC,点A'在点P右侧时，取AB的中点E,AEB图(3)D综上所述，AP的长为1,3或9,故答案为：1或3或9.(2)CF=4.(2)解：如图，连接BD交AC于点O,即15.如图，在ABCD中，点E在AD的延长线上，BE与CD交于点F.,求ABE的面积.是解题关键.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质(2)DF²=FM·FN,理由为：由(1)中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到【详解】(1)证明：∵DF⊥AB,AD、BE是VABC的高，(2)解：DF²=FM·FN,延长交AD的延长线于点F.设四边形ABCD的面积为S.【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积比是解题的关键.(2)利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可；(3)利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可.;(2)解：∵,BC=6,图3∠GDA=90°再根据ASA证明CDG≌FDA,则可得CG=FA=2,则BF=AB-FA=2,进而可得BF=FA.(3)作EM⊥BC于M点