4.4 实对称矩阵的对角化_第1页
4.4 实对称矩阵的对角化_第2页
4.4 实对称矩阵的对角化_第3页
4.4 实对称矩阵的对角化_第4页
4.4 实对称矩阵的对角化_第5页
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主讲人：王飞实对称矩阵|对角化《线性代数》基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化并非所有的矩阵都与对角矩阵相似，是否存在一类矩阵一定能对角化？性质1思考：

实对称矩阵的特征值都是实数.例1解回顾：实对称矩阵阶方阵满足由已知求它的特征值.特征值为：实数基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化性质2实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交.证明：设的两个特征值分别为它们分别对应的特征向量为则由于故内积即与正交.作差：基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化例2验证：得其特征值为：由例1可知，令已知验证其特征向量正交.当时，则得特征向量当时，则得特征向量不难验证，故的特征向量正交.基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化思考：

实对称矩阵是否一定相似于对角矩阵？定理1设是阶实对称矩阵，则存在正交矩阵使问题：

表明：

(1)实对称矩阵一定可以对角化.(2)对角矩阵元素为的特征值.启示：

特征值特征向量两两正交如何寻找正交矩阵对角化？使实对称矩阵基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化对角化方法Step1：

求出的全部特征值为对角矩阵化实对称矩阵的具体计算步骤：正交矩阵Step2：

对的每个特征值求齐次线性方程组的基础解系，即为的对应于的线性无关特征向量；Step3：

将对应特征值的特征向量进行施密特正交化；Step4：

将个正交特征向量单位化，写出正交矩阵则解

例3则的特征值基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化已知求正交矩阵使为对角矩阵.(i)当时，则得线性无关的特征向量：(ii)当时，则得线性无关的特征向量：基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化由于故正交.将正交化，得取将单位化，得基本性质实对称矩阵对角化例题拓展对角化令则为正交矩阵，且注：

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需对属于同一特征值的线性无关

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